高中数学：(五) 数列的概念与通项公式

课时达标训练(五) 数列的概念与通项公式

[即时达标对点练]

题组1 数列的概念及分类

1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，13，132，1

33，…

B ．sin

π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π

13

，… C ．－1，－12，－13，－1

4，…

D ．1,2,3,4，…，30

解析：选C 数列1，13，132，1

33，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；

数列sin

π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π

13

，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－12，－13，－1

4，...是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4， (30)

递增数列，但不是无穷数列．

2．已知下列数列：

(1)2 014，2 016，2 018，2 020，2 022； (2)1，12，14，…，1

2

n －1，…；

(3)1，－23，3

5，…，（－1）n －

1·n 2n －1，…；

(4)1，0，－1，…，sin n π

2

，…； (5)9，9，9，9，9，9.

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．

解析：分析可知：(1)是有穷递增数列； (2)是无穷递减数列；

(3)是摆动数列，是无穷数列； (4)是摆动数列，是无穷数列； (5)是常数列，是有穷数列．

★答案★：(1)(5) (2)(3)(4) (1) (2) (5) (3)(4) 题组2 根据数列的前几项写出通项公式

3．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( )

A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)

B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1)

C ．a n ＝(－1)n ＋

1·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)

解析：选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)．

4．一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列不可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n 3－6n 2＋12n －6 C ．a n ＝12n 2－1

2

n ＋1

D ．a n ＝

6

n 2－6n ＋11

解析：选C 对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n

＝n 3－6n 2＋12n －6，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于C ，若a n ＝12n 2－1

2n ＋1，当

n ＝3时，a 3＝4≠3，不符合题意；对于D ，若a n ＝6

n 2－6n ＋11

，则

a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，

符合题意．故选C.

5．写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)112，223，334，44

5，…；

(4)1，11，111，1 111，….

解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.

(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋

1(2n －1)．

(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为n n ＋1

，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋n

n ＋1＝n 2＋2n n ＋1

.

(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，1

9×9 999，…，易知数列9，99，999，

9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝1

9

(10n －1)．

题组3 数列通项公式的应用

6．已知数列的通项公式a n ＝⎩

⎪⎨⎪

⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2a 3等于( )

A ．70

B ．28

C ．20

D ．8 解析：选C a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10， ∴a 2a 3＝2×10＝20.

7．数列3，3，15，21，…，则3 3 是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第9项 D ．第10项 解析：选A a n ＝6n －3，由6n －3＝33，得n ＝5. 8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；

(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 解：(1)a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n 2－28n ＝－49，解得n ＝7或n ＝7

3(舍去)，

所以－49是该数列的第7项； 由3n 2－28n ＝68，解得n ＝－2或n ＝

34

3

，均不合题意，所以68不是该数列的项． [能力提升综合练]

1．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14

解析：选C 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13.

2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.1

5 B ．5 C ．

6 D.log 23＋log 31325

解析：选B a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×

lg 32lg 31＝lg 32

lg 2

＝log 232＝log 225＝5. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝cos n π2，则该数列的首项a 1和第4项a 4分别为( ) A ．0,0

B ．0,1

C ．－1,0

D ．－1,1

解析：选B ∵a n ＝cos

n π

2

， ∴a 1＝cos π

2＝0，a 4＝cos 2π＝1.

4．下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝

1n （n ＋2）

(n ∈N *)，那么1

120 是这个数列的第10