A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法(同名4066)

A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法(同名4066)

手拉手模型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点

结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC

变形：

例 1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD

∆

与BCE

∆，连结AE与CD，证明

（1）DBC

ABE∆

∆

≅

(2)DC

AE=

(3)AE 与DC 之间的夹角为︒

60

(4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //

变式精练1：如图两个等边三角形

ABD

∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，

证明（1）DBC ABE ∆≅∆

（2）DC AE =

（3）AE 与DC 之间的夹角为︒

60

（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

变式精练2：如图两个等边三角形ABD

∆，连结AE与

∆与BCE

CD，

证明（1）DBC

≅

∆

ABE∆

(2）DC

AE=

(3）AE与DC之间的夹角为︒60

(4）AE与DC的交点设为H,BH平分

∠

AHC

例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE

AG,,二者相交于点H

问：（1）CDE

≅

∆是否成立？

ADG∆

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多

少度？

（4）HD是否平分AHE

∠？

例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结CE

AG,,二者相交于点H

问：（1）CDE

∆是否成立？

≅

ADG∆

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分AHE

∠？

例4：两个等腰三角形

ABD

∆与

BCE

∆，其中

BD AB =,,EB CB =α

=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，

问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？

（4）HB 是否平分AHC ∠？

例5：如图，点A. B. C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC和三角形

CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数

倍长与中点有关的

线段

倍长中线类

☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未

知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

△ABC 中

方式1： 延长AD 到E ，

AD

是BC

边

中

线

使DE=AD ， 接BE

方式2：间接倍长

作CF ⊥AD

于

F ，

延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于 E

使DN=MD ，

连

接

BE

D

A E

D

A F

D B

A N

D B

A

M

连接CD

【例1】

已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2

AM AB AC <+． M

C

B

A

【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，

，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +．

F E C

B

A

【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)

【例2】如图，已知在ABC

∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上

一点，延长BE交AC于F，AF EF

=，求证：AC BE

=．

F

E

D C

B

A

【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD

上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =

F

E

D

C

B

A

【练2】如图，在△ABC 中，AB>AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G. 求证：BF=CG .