概率论与数理统计05常见连续型分布
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气象中的月平均气温、湿度、降水量等 整理ppt 24
（4） 标准正态分布N (0,1)
密度函数 (x)
1
x2
e2
2
x
分布函数 (x)
1
t2
e 2dt
2
其值有专门的表供查. 25
（2） P(XX)P(X P (X ,X ) )
整理ppt 15
P(X) P(X )
Hale Waihona Puke Baidu
e3() e3
e3
由 e3 P(X ) ,知元件寿命至少为β的概率等于已 使用时间为α的条件下,剩余寿命至少为β的概率, 这一性质被称为指数分布的无记忆性.
故又把指数分布称为“永远年轻”的分 布
整理ppt 16
1 f (x) ba
0
(a x b) 其他
则称X服从区间( a , b)上的均匀分布或称X服从
参数为 a , b的均匀分布，记作
X~U(a,b)
整理ppt 4
* 显然 f (x)0，且
b
f(x)dx
1 dx 1
a ba
* 对于 a,b 中任一子区间 c,d ，有
d
P (cXd)
d
x dc
且在 x = 时, f (x) 取得最大值
1 2
2. 在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的
点处有拐点
3. 曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
4. 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状 整理ppt 18
• 正态分布图象
整理ppt 19
— 位置参数
即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形
０
xa
F(x)
xa ba
axb
１
xb
整理ppt 7
f ( x)
a
b
F( x)
a
b 整理ppt
x
x
8
例2 宁波的３６３路公共汽车每隔15分钟一趟，
若一乘客到某站点的时间是随机的，问其候车时间 超过8分钟的概率是多少？
解 设X为候车时间，则X在[0,15]上服从均匀分布， 其概率密度函数为
f
(x)
(3) 正态分布
若随机变量 X 的概率密度函数为
f(x)
1
(x)2
e 22
2
x
, 为常数， 0
则称 X服从参数为 , 2 的正态分布 记作 X~ N ( , 2 )
正态分布是德国数学家高斯在研究误差理论时得到的， 故正态分布也称为高斯分布.
整理ppt 17
f (x) 的性质：
1. 图形关于直线 x = 对称, 即f ( + x) = f ( - x)
整理ppt 14
例 4: 设某种电子元件的寿命 X(以年记)服从参 数λ=3 的指数分布,求
(1) 寿命在 0.5 年和 1 年之间的概率; (2) 设已经正常使用了α年,求还能够继续使用 β年的概率.
解（1）P(0.5X1) 0 1 .5 3 e 3 x d x e 3 x 1 0 .5 e 1 .5 e 3
高尔顿钉板试验
这是什么曲线?
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1O 2 3 4 5 6 7 8
整理ppt
x
23
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 炮弹弹着点； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 一个地区的家庭年收入； 一个班的某门课程的考试成绩； 成年人的各种生理指标： 身高、体重、血压、视力、智商等
1 15
0
0≤x≤15 其他
15
1
P (8 X 1) 5 8f(x )d x 1(1 5 5 8 ) 0 .47
整理ppt 9
(2) 指数分布 若 X的概率密度函数为
ex, x0
f (x) 0,
其他 > 0 为常数
则称X服从参数为 的指数分布，记作
X~E()
整理ppt 10
* 显然 f (x)0 ，且
为什么叫“正态”分布
正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态， 它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布 是自然界的一种“正常状态 ( normal )”的分布.
正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用 正态分布来近似，在数理统计中解决实际问题时用 得最多的就是正态分布或与正态分布有关.
整理ppt 22
状不变化，只是位置不同。
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.
若 1< 2 则
1
21
1
22
前者取
附近值的概率更大。
整理ppt 20
整理ppt 21
服从正态分布的指标有什么特点
一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每 个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.
*
f(x )d x
e x d x 1
0
整理ppt 11
容易求得，指数分布的分布函数为
1ex， x0 F(x)0， x 0
整理ppt 12
P(a X b) bexdx a F(b) F(a)
ea eb 应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命
指数分布 常作为各种“寿命”
动物的寿命
整理ppt
分布的近似
13
例3 假设某元件的寿命服从参数 = 0.0015的指数
分布，求它使用1000小时后还没有坏的概率.
解 设X为该元件的寿命，则
P(X 1000) f (x)dx 1000 0.0015e0.0015xdx e1.5 1000 0.223
当 axb时
x
x
F (x) f(x)d x 0d x0
F (x )xf(x )d x a 0 d x x 1d x x a
ab a b a
整理ppt 6
当 xb 时
x
a
b1
x
F ( x )f( x ) d x 0 d x d x 0 d 1 x
a b a b
即
cba ba
即 X落在 a中,b任 一子区间 中c的,d概 率只与区间长度
有关,而与位置无关,这反映了某种“等可能性”,即 在
区间 上a,b“ 等可能取值”
整理ppt 5
例1:设连续型随机变量X在[a,b]上服从均匀分布， 求其分布函数.
解 因为
1
f
(
x)
b
a
0
(a x b) 其他
所以当 xa时
第二章
随机变量及其分布
整理ppt 1
第三讲
常见的连续性 随机变量的分布
整理ppt 2
导读内容
1、常用连续型随机变量的分布有哪些？它 们的概率密度函数是怎样的？
2、均匀分布、正态分布和指数分布有哪些 重要应用？如何解决实际问题？请查找资 料举例说明。
整理ppt 3
常见的连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布 若X的概率密度函数为
（4） 标准正态分布N (0,1)
密度函数 (x)
1
x2
e2
2
x
分布函数 (x)
1
t2
e 2dt
2
其值有专门的表供查. 25
（2） P(XX)P(X P (X ,X ) )
整理ppt 15
P(X) P(X )
Hale Waihona Puke Baidu
e3() e3
e3
由 e3 P(X ) ,知元件寿命至少为β的概率等于已 使用时间为α的条件下,剩余寿命至少为β的概率, 这一性质被称为指数分布的无记忆性.
故又把指数分布称为“永远年轻”的分 布
整理ppt 16
1 f (x) ba
0
(a x b) 其他
则称X服从区间( a , b)上的均匀分布或称X服从
参数为 a , b的均匀分布，记作
X~U(a,b)
整理ppt 4
* 显然 f (x)0，且
b
f(x)dx
1 dx 1
a ba
* 对于 a,b 中任一子区间 c,d ，有
d
P (cXd)
d
x dc
且在 x = 时, f (x) 取得最大值
1 2
2. 在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的
点处有拐点
3. 曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线
4. 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状 整理ppt 18
• 正态分布图象
整理ppt 19
— 位置参数
即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形
０
xa
F(x)
xa ba
axb
１
xb
整理ppt 7
f ( x)
a
b
F( x)
a
b 整理ppt
x
x
8
例2 宁波的３６３路公共汽车每隔15分钟一趟，
若一乘客到某站点的时间是随机的，问其候车时间 超过8分钟的概率是多少？
解 设X为候车时间，则X在[0,15]上服从均匀分布， 其概率密度函数为
f
(x)
(3) 正态分布
若随机变量 X 的概率密度函数为
f(x)
1
(x)2
e 22
2
x
, 为常数， 0
则称 X服从参数为 , 2 的正态分布 记作 X~ N ( , 2 )
正态分布是德国数学家高斯在研究误差理论时得到的， 故正态分布也称为高斯分布.
整理ppt 17
f (x) 的性质：
1. 图形关于直线 x = 对称, 即f ( + x) = f ( - x)
整理ppt 14
例 4: 设某种电子元件的寿命 X(以年记)服从参 数λ=3 的指数分布,求
(1) 寿命在 0.5 年和 1 年之间的概率; (2) 设已经正常使用了α年,求还能够继续使用 β年的概率.
解（1）P(0.5X1) 0 1 .5 3 e 3 x d x e 3 x 1 0 .5 e 1 .5 e 3
高尔顿钉板试验
这是什么曲线?
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1O 2 3 4 5 6 7 8
整理ppt
x
23
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 炮弹弹着点； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 一个地区的家庭年收入； 一个班的某门课程的考试成绩； 成年人的各种生理指标： 身高、体重、血压、视力、智商等
1 15
0
0≤x≤15 其他
15
1
P (8 X 1) 5 8f(x )d x 1(1 5 5 8 ) 0 .47
整理ppt 9
(2) 指数分布 若 X的概率密度函数为
ex, x0
f (x) 0,
其他 > 0 为常数
则称X服从参数为 的指数分布，记作
X~E()
整理ppt 10
* 显然 f (x)0 ，且
为什么叫“正态”分布
正态分布密度呈现“中间高，两头低”的形态， 它描述了自然界大量存在的随机现象，所以正态分布 是自然界的一种“正常状态 ( normal )”的分布.
正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用 正态分布来近似，在数理统计中解决实际问题时用 得最多的就是正态分布或与正态分布有关.
整理ppt 22
状不变化，只是位置不同。
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.
若 1< 2 则
1
21
1
22
前者取
附近值的概率更大。
整理ppt 20
整理ppt 21
服从正态分布的指标有什么特点
一般说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每 个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.
*
f(x )d x
e x d x 1
0
整理ppt 11
容易求得，指数分布的分布函数为
1ex， x0 F(x)0， x 0
整理ppt 12
P(a X b) bexdx a F(b) F(a)
ea eb 应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命
指数分布 常作为各种“寿命”
动物的寿命
整理ppt
分布的近似
13
例3 假设某元件的寿命服从参数 = 0.0015的指数
分布，求它使用1000小时后还没有坏的概率.
解 设X为该元件的寿命，则
P(X 1000) f (x)dx 1000 0.0015e0.0015xdx e1.5 1000 0.223
当 axb时
x
x
F (x) f(x)d x 0d x0
F (x )xf(x )d x a 0 d x x 1d x x a
ab a b a
整理ppt 6
当 xb 时
x
a
b1
x
F ( x )f( x ) d x 0 d x d x 0 d 1 x
a b a b
即
cba ba
即 X落在 a中,b任 一子区间 中c的,d概 率只与区间长度
有关,而与位置无关,这反映了某种“等可能性”,即 在
区间 上a,b“ 等可能取值”
整理ppt 5
例1:设连续型随机变量X在[a,b]上服从均匀分布， 求其分布函数.
解 因为
1
f
(
x)
b
a
0
(a x b) 其他
所以当 xa时
第二章
随机变量及其分布
整理ppt 1
第三讲
常见的连续性 随机变量的分布
整理ppt 2
导读内容
1、常用连续型随机变量的分布有哪些？它 们的概率密度函数是怎样的？
2、均匀分布、正态分布和指数分布有哪些 重要应用？如何解决实际问题？请查找资 料举例说明。
整理ppt 3
常见的连续性随机变量的分布
(1) 均匀分布 若X的概率密度函数为