带电粒子磁场中的多解问题讲解
带电粒子在磁场中运动的多解问题课件
期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电 场的影响，不计离子所受重力．求：
(1)磁感应强度B0的大小； (2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场， 正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
正离子在MN之间可 能会有怎样的运动 情况如何？
多解问题
(1)明确带电粒子ห้องสมุดไป่ตู้电性和磁场方向； (2)正确找出带电粒子运动的临界状态； (3)结合带电粒子的运动轨迹利用圆周运动的周期性进行分 析计算。
的偏转角；若已知弧长，则可由 t＝vl求时间． (4)粒子轨迹圆与边界相切时，是粒子能否射出边界的临界状态， 求出此圆的半径可得到能否射出边界的速度大小．
如图所示,在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ,在MOQ 范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上 ,∠MOQ＝60°,这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B。离子源 中的离子带电荷量为＋q,质量为m,通过小孔O1进入两板间电压为 U的加速电场区域(可认为初速度为零)，离子经电场加速后由小孔 O2射出,再从O点进入磁场区域Ⅰ,此时速度方向沿纸面垂直于磁场 边界MN,不计离子的重力。 (1)若加速电场两极板间电压U＝U0， 求离子进入磁场后做圆周运动的半径R0； (2)在OQ上有一点P，P点到O点的 距离为L，若离子能通过P点,求加 速电压U和从O点到P点的运动时间。
如图示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方 有一匀强电场，电场强度为E。屏MN与y轴平行且相距L。一质 量m，电荷量为e的电子，在y轴上某点A自静止释放，如果要使 电子垂直打在屏MN上，那么： (1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？ (2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
3. 临界状态不唯一形成多解：带电粒子 在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由 于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可 能穿过去了，也可能转过180°从入射 界面这边反向飞出，如图所示，于是形 成了多解.
高三物理-带电粒子在磁场中运动的多解问题
高三物理-带电粒子在磁场中运动的多解问题1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．如图15甲所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b.图152．磁场方向不确定形成多解：有些题目只已知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b.3．临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图16甲所示．图164．运动的周期性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图乙所示．典例1(多选)如图17所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是()图17A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场 答案 AC解析 如图所示，作出刚好从ab 边射出的轨迹①、刚好从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和刚好从ad 边射出的轨迹④.由从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.可知，从ad 边射出磁场经历的时间一定小于13t 0；从ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于13t 0，小于56t 0；从bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于56t 0，小于43t 0；从cd 边射出磁场经历的时间一定是53t 0.典例2 如图18所示，在坐标系xOy 中，第一象限内充满着两个匀强磁场a 和b ，OP 为分界线，在磁场a 中，磁感应强度为2B ，方向垂直于纸面向里，在磁场b 中，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向外，P 点坐标为(4l,3l )．一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从P 点沿y 轴负方向射入磁场b ，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O ，不计粒子重力．求：图18(1)粒子从P 点运动到O 点的最短时间是多少？ (2)粒子运动的速度可能是多少？ 答案 (1)53πm 60qB (2)25qBl 12nm(n ＝1,2,3，…)解析 (1)设粒子的入射速度为v ，用R a 、R b 、T a 、T b 分别表示粒子在磁场a 中和磁场b 中运动的轨道半径和周期，则有R a ＝m v 2qB ，R b ＝m v qB ，T a ＝2πm 2qB ＝πm qB ，T b ＝2πm qB当粒子先在磁场b 中运动，后进入磁场a 中运动，然后从O 点射出时，粒子从P 点运动到O 点所用的时间最短，如图所示．根据几何知识得tan α＝3l 4l ＝34，故α＝37°粒子在磁场b 和磁场a 中运动的时间分别为 t b ＝2×(90°－α)360°T b ，t a ＝2×(90°－α)360°T a故从P 点运动到O 点的时间为 t ＝t a ＋t b ＝53πm60qB(2)由题意及上图可知n (2R a cos α＋2R b cos α)＝(3l )2＋(4l )2 解得v ＝25qBl12nm(n ＝1,2,3，…)．题组1 对洛伦兹力的理解1．如图1是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹．云室放置在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里．云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用．分析此运动轨迹可知粒子( )图1A ．带正电，由下往上运动B．带正电，由上往下运动C．带负电，由上往下运动D．带负电，由下往上运动答案A解析由图可以看出，上方的轨迹半径小，说明粒子的速度小，所以粒子是从下方往上方运动；再根据左手定则，可以判定粒子带正电．2．(多选)如图2所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为0.5 T的匀强磁场，一质量为0.2 kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为0.1 kg、带电荷量q＝＋0.2 C的滑块，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．现对木板施加方向水平向左、大小为0.6 N的恒力，g取10 m/s2，则()图2A．木板和滑块一直做加速度为2 m/s2的匀加速运动B．滑块开始做匀加速直线运动，然后做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动C．最终木板做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10 m/s的匀速直线运动D．最终木板做加速度为3 m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为10 m/s的匀速直线运动答案BD解析由于动摩擦因数为0.5，静摩擦力能提供的最大加速度为5 m/s2，所以当0.6 N的恒力作用于木板时，系统一起以a＝FM＋m＝0.60.2＋0.1m/s2＝2 m/s2的加速度一起运动，当滑块获得向左运动的速度以后磁场对其有竖直向上的洛伦兹力，当洛伦兹力等于重力时滑块与木板之间的弹力为零，此时有Bq v＝mg，解得v＝10 m/s，此时摩擦力消失，滑块做匀速直线运动，而木板在恒力作用下做匀加速直线运动，a′＝FM＝3 m/s2，所以B、D正确．题组2带电粒子在匀强磁场中的运动3．(2016·四川理综·4)如图3所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为v b时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b，当速度大小为v c时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c，不计粒子重力．则()图3A ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1B ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2C ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1D ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2 答案 A解析 带正电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图所示，由几何关系得，r c ＝2r b ，θb ＝120°，θc ＝60°，由q v B ＝m v 2r 得，v ＝qBr m ，则v b ∶v c ＝r b ∶r c ＝1∶2, 又由T ＝2πm qB ，t ＝θ2πT 和θb＝2θc 得t b ∶t c ＝2∶1，故选项A 正确，B 、C 、D 错误．4．(多选)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k 倍．两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动．与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子( ) A ．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k 倍 B ．加速度的大小是Ⅰ中的k 倍 C ．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k 倍 D ．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等 答案 AC解析 设电子的质量为m ，速率为v ，电荷量为q ，B 2＝B ，B 1＝kB 则由牛顿第二定律得：q v B ＝m v 2R ①T ＝2πR v ②由①②得：R ＝m v qB ，T ＝2πm qB ，所以R 2R 1＝k ，T 2T 1＝k根据a ＝v 2R ，ω＝v R 可知a 2a 1＝1k ，ω2ω1＝1k所以选项A 、C 正确，选项B 、D 错误．5．如图4所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点．有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P 点进入磁场．这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的13.将磁感应强度的大小从原来的B 1变为B 2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B 2B 1等于( )图4A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 B解析 当轨道半径小于或等于磁场区半径时，粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径．如图所示，当粒子从13圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨道直径为PQ ，粒子都从圆弧PQ 之间射出，因此轨道半径r 1＝R cos 30°＝32R ；若粒子射出的圆弧对应弧长为“原来”的一半，即16周长，对应的弦长为R ，即粒子运动轨迹直径等于磁场区半径R ，半径r 2＝R2，由r ＝m v qB 可得B 2B 1＝r 1r 2＝ 3.题组3 带电粒子在有界磁场中的运动6．如图5所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一个粒子源S .某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T6(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( )图5A.T 3B.T 2C.2T 3D.5T 6 答案 B解析 由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动．由粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，弦长也越短，所以从S 点作OC 的垂线SD ，则SD 为最短弦，可知粒子从D 点射出时运行时间最短，如图所示，根据最短时间为T6，可知△O ′SD 为等边三角形，粒子圆周运动半径R ＝SD ，过S 点作OA 的垂线交OC 于E 点，由几何关系可知SE ＝2SD ，SE 为圆弧轨迹的直径，所以从E 点射出，对应弦最长，运行时间最长，且t ＝T2，故B 项正确．7．如图6所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH 为大圆的水平直径．两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场．间距为d 的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔．一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子由小孔下方d2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场．不计粒子的重力．图6(1)求极板间电场强度的大小；(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小． 答案 (1)m v 2qd (2)4m v qD 或4m v3qD解析 (1)设极板间电场强度的大小为E ，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得qE ·d2＝12m v 2① 由①式得E ＝m v 2qd②(2)设Ⅰ区磁感应强度的大小为B ，粒子做圆周运动的半径为R ，由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2R③如图所示，粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况．若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系得R ＝D 4④联立③④式得B ＝4m vqD⑤ 若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得R ＝3D4⑥ 联立③⑥式得B ＝4m v3qD⑦8．为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转．扇形聚焦磁场分布的简化图如图7所示，圆心为O 的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布．峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，谷区内没有磁场．质量为m ，电荷量为q 的正离子，以不变的速率v 旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示．图7(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r ，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针； (2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T ；(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B ′和B 的关系．已知：sin (α±β )＝sin αcos β±cos αsin β，cos α＝1－2sin 2α2.答案 (1)m v qB 逆时针 (2)2π3 (2π＋33)mqB(3)B ′＝3－12B 解析 (1)离子在峰区内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2r峰区内圆弧半径r ＝m vqB由正离子的运动轨迹结合左手定则知，旋转方向为逆时针方向 (2)如图甲，由对称性，峰区内圆弧的圆心角θ＝2π3每个圆弧的弧长l ＝2πr 3＝2πm v3qB每段直线长度L ＝2r cos π6＝3r ＝3m v qB周期T ＝3(l ＋L )v 代入得T ＝(2π＋33)mqB(3)如图乙，谷区内的圆心角θ′＝120°－90°＝30° 谷区内的轨道圆弧半径r ′＝m vqB ′由几何关系r sin θ2＝r ′sin θ′2由三角关系sin 30°2＝sin 15°＝6－24代入得B ′＝3－12B .。
带电粒子在磁场运动的多解问题
带电粒子在磁场运动的多解问题洛仑兹力作用下带电粒子的多解问题的成因：①带电粒子的电性不确定形成的多解，带电粒子可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同，形成双解。
②磁场方向不确定形成多解。
若已知磁感应强度的大小，而末说明磁场的方向，则应考虑因磁场方向的不确定而形成的多解。
③临界状态不唯一形成多解，如带电粒子在洛仑兹力作用下通过有界磁场时，它可能穿过去，也可能偏转1800从入射界面反向飞出。
④运动的往复性形成多解。
如带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往具有往复性，因而形成多解。
例题：如图所示空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B 。
折线的顶角090A ∠=，P 、Q 是折线上两点，AP AQ L ==。
现有一质量为m 、电荷量为q 的带负电的微粒从P 点沿PQ 方向射出后经折线的顶点A 到达Q 点，求：(1)初速度v 应满足的条件；(2)微粒从P 点到达Q 点的时间。
解析：(1)根据运动学的特性知，微粒能从P 点到达Q 点应满足,1,2,3L nx n ==其中x 为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为2π或32π。
设圆弧的半径为R ，则222R x =，所以1,2,3,R n ==(2)如图所示，当n 取奇数时，微粒从P 点到Q 点的过程中圆心角的总和为13222n n n ππθπ=⋅+⋅= 微粒从P 点到Q 点的所用的时间相应为：122,1,3,5,m m t n n qB qB ππ=⋅==其中当n 取偶数时，微粒从P 点到Q 点过程中所用的时间相应为2m m t n n qB qBππ=⋅=⋅，其中24,6n =，，。
巧思：该例形成多解的原因是磁场方向与的改变及半径与PA 、AQ 的关系，找出R 与L 的关系是钥匙的关键。
注意：解决此类问题，很容易犯的错误是考虑不全面，没有考虑睿到各种可能的情况。
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问
题
引言
带电粒子在强磁场中的运动问题一直是物理学中的重要研究方
向之一。
在强磁场中，带电粒子在受到洛伦兹力的作用下呈现出多
解和临界现象，这在某些情况下对粒子的运动轨迹和性质产生重要
影响。
多解现象
在强磁场中，由于洛伦兹力的作用，带电粒子的运动方程出现
多解的情况。
这是由于洛伦兹力与粒子运动速度与磁场方向夹角的
正弦函数关系所导致的。
当速度与磁场方向夹角为不同值时，洛伦
兹力的大小和方向也会有所变化，从而使得粒子的运动轨迹不唯一。
临界现象
在某些情况下，带电粒子在强磁场中的运动可能会出现临界现象。
临界现象是指当带电粒子的运动速度与磁场强度达到一定比例
关系时，粒子的运动状态出现急剧变化，其轨迹和动力学性质发生
显著变化。
临界现象在物理学中具有重要的理论和实际意义，在磁共振成像、粒子加速器等领域的研究中得到了广泛应用。
结论
带电粒子在强磁场中运动的多解和临界问题是一个复杂而有趣的研究领域。
多解现象使得粒子的运动轨迹不唯一，而临界现象则带来了粒子运动状态的突变。
对这些问题的深入研究和理解将有助于推动物理学和应用科学的发展，为实际应用提供更多的可能性。
带电粒子在磁场中运动的多解问题课件
带电粒子的磁场运动与电磁场理论、量子力学等物理学分支密切相关。
通过研究带电粒子的磁场运动，可以促进对其他物理现象的理解和应用，如电磁场中的能量流动、量子隧穿效应等。
06
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的多解问题的扩大和展望
考虑带电粒子在电场和磁场中的复杂运动，以及电场力对粒子运动的影响。
引入电场力的研究
分析多粒子系统在磁场中的运动，研究粒子间的相互作用和系统的集体行为。
多粒子系统的研究
探讨带电粒子在磁场和其他力场（如重力场、弹性力场等）中的耦合运动。
引入其他力场
解析方法的发展
寻找新的解析方法，用于求解带电粒子在磁场中运动的方程，以便更精确地预测其运动轨迹。
实际应用前景
THANKS
感谢您的观看。
$m$：粒子的质量
$\frac{dv}{dt}$：粒子的加速度
圆的参数方程：$(x, y) = (r \cos\theta, r \sin\theta)$
$\theta$：圆心角
$r$：圆的半径
边界条件：在某些问题中，带电粒子在磁场中的运动可能受到某些边界的限制，例如管道、盒子等，需要针对具体问题设定边界条件。
解析几何是研究几何形状和空间位置关系的数学分支，通过代数方法描述几何对象。
解析几何
极坐标系是一种用极径和极角来描述空间位置的坐标系，常用于描述圆形或旋转对称性的问题。
极坐标系
03
CHAPTER
带电粒子在磁场中运动的解法
分离变量法适用于带电粒子在匀强磁场中的运动问题。
适用范围
基本思想
优缺点
多解问题
例1：在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕竖直 方向的轴O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动， 磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示．若小球运动到A点时， 绳子突然断开，关于小球在绳断开后可能的运动情况，以下 说法正确的是（ ） A．小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径增大 B．小球仍做逆时针匀速圆周运动，但半径减小 C．小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变 D．小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小
解析：(2)要使正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁场，v0 的方向应如图所示，在 d 两板之间正离子只运动一个周期即 T0 时，有 r＝ 。当在两板之间正离子运动 n 4 个周期即 nT0 时， 有 r＝ d (n＝1,2,3，„)。 4n
联立求解，得正离子的速度的可能值为 B0qr πd v0＝ m ＝ (n＝1,2,3„)。 2nT0
Bqd Bqd [答案] (2＋ 2) m (q 为正电荷)或(2－ 2) m (q 为负电荷)
二．磁场B、速度V等方向不确定形成多解 • 有些题目只告诉了B、V大小，而未具体指出方向， 此时必须要考虑方向不确定而形成的多解。 • 如图(2)，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场， 如B垂直向里，其轨迹为a，如B垂直向外，其轨迹 为b。
一．带电粒子电性不确定形成多解 • 如图(1)，带电粒子以相同的初速度v垂直进 入匀强磁场的条件下，如带正电，其轨迹 为a，如带负电，其轨迹为b。
例1如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，
MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的 带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界 NN′射出，求粒子入射速率v的最大值可能是多少。
专题：
带电粒子在磁场中运动的多解问题原因分析：
带电粒子在磁场中的多解问题
应旳圆心角为 或 3
B
22
设圆弧旳半径为R，则有2R2=x2，可得：
R L 2n
v2 qvB m
R
v qBL 2m n
n=1、2、3、……（
n取奇数
⑶当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角旳总和为
1
n
2
n 3
2
2n
t1
2n
m qB
2 m
qB
n
其中n=1、3、5、……
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角旳总和为
mv0 a 2mv0 L＜b。试求磁场旳左边界距坐标原点 旳e可B能距离．（eB成果可用反三角函数表达）
解： 设电子在磁场中作圆周运动旳轨道半径为r, 则
解得
eBv0 r
m mv 0
v02 r
①
②
eB
y P v0
x
0
Q
⑴当r>L时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，
由几何关系有 sin L eBL③
v0
c
（2）当v0最大时：
R1
R1
cos 60
L 2
得R1 = L
则
vmax
qBR1 m
qBL m
当v0最小时： R2 R2 sin 30
L 2
得R2 = L/3
则
vmin
qBR2 m
qBL 3m
a
600
O
qBL
qBL
b B
3m v0 m
300
d
v0
c
带电粒子从ab边射出磁场，当速度为 vmax 时，
运动时间最短,
150 5m
t min
T 360
带电粒子磁场中的多解问题讲解
粒子运动径迹的分析及判定
例3如图，矩形MNPQ区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场， 有5个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场， 在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧．这些粒子
的质量、电荷量以及速度大小如下表所示．
粒子 编号
质量
电荷量 (q＞0)
速度 大小
1
m
2q
v
2 2m
2q
2v
联立①②得：R＝mqBv③
T＝2qπBm④
将已知代入③得 R＝2 m⑤
由轨迹图知：
tanθ＝Rr ＝ 33，则 θ＝30°
则全段轨迹运动时间：t＝2×36T0°×2θ＝T3 ⑥ 联立④⑥并代入已知得：
2 m t＝ 3qB
= 2×3.14×3.2×10－26 3×1.6×10－19×0.10
s＝4.19×10－6 s.
本部分内容讲解结束
1．如图，ABCD是边长为的正方形。质量为m、电荷 量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强 磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点 射出磁场。不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
带电粒子在磁场中运动的多解问题
一、带电粒子电性(+q-q)不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可 能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．
思考如图带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如 带正电，其轨迹为a；如带负电，则其轨迹为b.
二、磁场(B)方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指 出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强 度方向不确定而形成的多解．
高考复习专题八—带电粒子在磁场中运动的多解问题(解析版)
微讲座(八)——带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解．形成多解的原因有以下几个方面：一、带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在初速度相同的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b.二、磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量，有时题目中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向．此时必须要考虑磁感应强度方向的不确定而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b.三、临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下穿越有界磁场时，由于带电粒子的运动轨迹是圆周的一部分，因此带电粒子可能穿越了有界磁场，也可能转过180°能够从入射的那一边反向飞出，就形成多解．如图丙所示．丙丁四、带电粒子运动的周期性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往具有周期性的运动，形成了多解．如图丁所示．(电性不确定)(2016·河南漯河模拟)如图甲所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界．现有质量为m，电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间．[解析]本题没有明确粒子究竟带何种性质的电荷，所以粒子的轨迹可能是图乙中的两条．由q v B ＝m v 2R 和T ＝2πR v 得：T ＝2πmqB .若粒子带正电，由左手定则判断，轨迹如图乙中左边圆弧所示，轨迹圆弧为56圆周，粒子在磁场中运动的时间为：t 1＝56T ＝5πm 3qB .若粒子带负电，由左手定则判定，轨迹如图乙中右边圆弧所示，轨迹圆弧为16圆周，粒子在磁场中运动的时间为：t 2＝16T ＝πm 3qB.[答案]5πm 3qB 或 πm 3qB(临界状态不唯一)(2016·山东部分名校二模)如图所示，M 、N 为平行板电容器的两极板，M 板的上表面涂有一种特殊材料，确保粒子和M 板相撞后以原速率反弹且电荷量不变，其上方有一腰长为2a ，θ＝45°的等腰直角三角形区域，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场．N 板上的O 为粒子发射源，现有一质量为m ，电荷量为q 的带负电粒子从粒子发射源O 发射(发射速度忽略不计)后经电场加速，从M 板上距离B 点为 2a 的小孔P 垂直于BC 进入磁场，若粒子从P 点进入磁场后经时间t 第一次与M 板相撞，且撞击点为B 点，不计粒子重力与空气阻力的影响．(1)求M 、N 之间的电势差U MN ；(2)若粒子从AB 边射出磁场区域且不和M 板相撞，磁感应强度满足什么条件？ (3)若仅将磁场反向，粒子至少和M 板相撞一次后射出磁场，磁感应强度满足什么条件？ [解析](1)如图甲所示，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径为 R 1＝2a 2① t ＝πR 1v ② v ＝2πa2t③ 粒子在平行板电容器中加速，根据动能定理qU ＝m v 22④由①②③④联立解得 U ＝m π2a 24qt 2⑤粒子带负电在平行板电容器中加速，所以M 板的电势高于N 点电势 U MN ＝m π2a 24qt 2.⑥(2)粒子恰从B 射出时，粒子半径最小， 磁感应强度B 1最大 T ＝2πm qB 1⑦T ＝2t ⑧联立①②③⑦⑧得B 1＝πmqt⑨粒子的轨迹与AC 边相切时，半径最大(如图乙所示)，磁感应强度B 2最小，由几何关系知R 2＝2a ⑩ q v B 2＝m v 2R 2⑪得B 2＝πm2qt⑫磁感应强度应满足的关系为 πm 2qt ≤B 2≤πmqt.⑬ (3)磁场反向后粒子向右偏转，轨道与AC 边相切时，磁感应强度最小(如图丙所示)，由几何关系得R 3＝(32－4)a ⑭ q v B 3＝m v 2R 3⑮联立各式解得B 3＝（1＋2）2πm2qt ⑯磁感应强度应满足的关系 B 3≥（1＋2）2πm 2qt.[答案] (1)m π2a 24qt 2 (2)πm 2qt ≤B 2≤πmqt (3)B 3≥（1＋2）2πm 2qt(粒子运动的周期性)(2015·高考重庆卷)如图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场．其中MN 和M ′N ′是间距为h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O 和O ′，O ′N ′＝ON ＝d ，P 为靶点，O ′P ＝kd (k 为大于1的整数)．极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U .质量为m 、带电量为q 的正离子从O 点由静止开始加速，经O ′进入磁场区域．当离子打到极板上O ′N ′区域(含N ′点)或外壳上时将会被吸收，两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过，忽略相对论效应和离子所受的重力．求：(1)离子经过电场仅加速一次后能打到P 点所需的磁感应强度大小； (2)能使离子打到P 点的磁感应强度的所有可能值；(3)打到P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间． [解析] (1)离子经一次加速的速度为v 0，由动能定理得qU ＝12m v 20①离子的轨道半径为R 0，则R 0＝12kd ②由洛伦兹力提供向心力，q v 0B ＝m v 20R 0③联立①②③式得B ＝22Uqmqkd.(2)设离子在电场中经过n 次加速后到达P 点，根据动能定理和牛顿第二定律得 nqU ＝12m v 2n ④q v n B ＝m v 2nr n ⑤r n ＝kd 2⑥联立④⑤⑥式解得v n ＝2nqU m ，B ＝22nUqmqkd当离子经过第一次加速，在磁场中偏转时， qU ＝12m v 21⑦q v 1B ＝m v 21r 1⑧联立④⑤⑥⑦⑧式解得r 1＝kd 2n由于d 2<r 1≤kd2，解得1≤n ＜k 2，且n 为整数，所以n ＝1，2，3，…，k 2－1.磁感应强度的可能值为B ＝22nUqm qkd (n ＝1，2，3，…，k 2－1)．(3)当离子在电场中加速(k 2－1)次时，离子打在P 点的能量最大 此时磁感应强度B ＝22（k 2－1）Uqmqkd最终速度v n ＝2（k 2－1）qUm离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πm qB ＝πmkd 2（k 2－1）Uqm离子在磁场中运动的时间 t 1＝2（k 2－1）－12T ＝（2k 2－3）πmkd 22Uqm （k 2－1）根据牛顿第二定律，离子在电场中运动的加速度 a ＝qE m ＝qUmh离子在电场中运动的全过程等效为初速度为0的匀加速直线运动，根据速度公式v n ＝at 2，得离子在电场中的运动时间t 2＝v na＝h2（k 2－1）mUq.[答案] (1)磁感应强度大小：22Uqmqkd(2)磁感应强度的所有可能值：22nUqmqkd (n ＝1，2，3，…，k 2－1)(3)在磁场中运动的时间：（2k 2－3）πmkd22Uqm （k 2－1） 在电场中运动的时间：h2（k 2－1）mUq求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧1．分析题目特点，确定题目多解性形成原因．2．作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)．3．若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件.1．(多选)(2016·河南商丘模拟)一质量为m ，电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是( )A.4qB mB.3qB mC.2qB mD.qB m解析：选AC.依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bq v ＝m v 2R ，得v ＝4BqR m ，此种情况下，负电荷做圆周运动的角速度为ω＝v R ＝4Bq m ；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bq v ＝m v 2R ，v ＝2BqRm ，此种情况下，负电荷做圆周运动的角速度为ω＝v R ＝2Bqm，应选A 、C.2．(2016·合肥市二模)如图所示，在一个边长为a 的正六边形区域内存在磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里的匀强磁场．三个相同带正电的粒子，比荷为qm ，先后从A 点沿AD 方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用．已知编号为①的粒子恰好从F 点飞出磁场区域，编号为②的粒子恰好从E 点飞出磁场区域，编号为③的粒子从ED 边上的某一点垂直边界飞出磁场区域．求：(1)编号为①的粒子进入磁场区域的初速度大小； (2)编号为②的粒子在磁场区域内运动的时间；(3)编号为③的粒子在ED 边上飞出的位置与E 点的距离．解析：(1)设编号为①的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的圆心为O 1，半径为r 1，初速度大小为v 1，则q v 1B ＝m v 21r 1由几何关系可得r 1＝a 2sin 60°，解得v 1＝3Bqa3m .(2)设编号为②的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的圆心为O 2半径为r 2，线速度大小为v 2，周期为T 2，则q v 2B ＝m v 22r 2，T 2＝2πr 2v 2解得T 2＝2πmBq由几何关系可得，粒子在正六边形区域磁场运动过程中，转过的圆心角为60°，则粒子在磁场中运动的时间t ＝T 6＝πm3Bq.(3)设编号为③的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的圆心为O 3，半径为r 3，由几何关系可得AE ＝2a cos 30°＝3ar 3＝AE sin 30°＝23aO 3E ＝AEtan 30°＝3aEG ＝r 3－O 3E ＝(23－3)a . 答案：(1)3Bqa3m (2)πm 3qB(3)(23－3)a 3.如图所示，在NOQ 范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在MOQ 范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M 、O 、N 在一条直线上，∠MOQ ＝60°，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B .离子源中的离子带电荷量为＋q ，质量为m ，通过小孔O 1进入两板间电压为U 的加速电场区域(可认为初速度为零)，离子经电场加速后由小孔O 2射出，再从O 点进入磁场Ⅰ，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN ，不计离子的重力．(1)若加速电场两极板间电压U ＝U 0，求离子进入磁场后做圆周运动的圆心为O 3半径R 0； (2)在OQ 上有一点P ，P 点到O 点的距离为L ，若离子能通过P 点，求加速电压U 和从O 点到P 点的运动时间．解析：(1)离子在电场中加速时，由动能定理得：U 0q ＝12m v 20－0离子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力： q v 0B ＝m v 20R 0联立以上两式解得R 0＝1B2U 0mq. (2)离子进入磁场后的运动轨迹如图所示，由几何关系可知 OP ′＝P ′P ″＝R要保证离子通过P 点， 则需满足L ＝nR解得U ＝B 2L 2q2mn 2，其中n ＝1，2，3，….离子在磁场中运动的周期T ＝2πmqB故离子从O 点到P 点运动的总时间t ＝n ·T 2π·π3＝πnm3qB ，其中n ＝1，2，3，….答案：(1)1B2U 0mq (2)πnm 3qB(n ＝1，2，3，…) 4．(2014·高考江苏卷)某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示. 装置的长为 L ，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为 B 、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d .装置右端有一收集板，M 、N 、P 为板上的三点，M 位于轴线 OO ′上，N 、P 分别位于下方磁场的上、下边界上. 在纸面内，质量为 m 、电荷量为－q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成 30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达 P 点. 改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．(1)求磁场区域的宽度 h;(2)欲使粒子到达收集板的位置从 P 点移到 N 点，求粒子入射速度的最小变化量Δv ； (3)欲使粒子到达 M 点，求粒子入射速度大小的可能值．解析：(1)设粒子在磁场中的轨道半径为r ，粒子的运动轨迹如图所示．根据图中几何关系知L ＝3r sin 30°＋3d cos 30°，且磁场区域的宽度h ＝r (1－cos 30°) 解得：h ＝⎝⎛⎭⎫23L －3d ⎝⎛⎭⎫1－32. (2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨迹半径为r ′，洛伦兹力提供向心力，则有 m v 2r ＝q v B ，m v ′2r ′＝q v ′B ， 由题意知3r sin 30°＝4r ′sin 30°， 解得粒子速度的最小变化量 Δv ＝v －v ′＝qB m ⎝⎛⎭⎫L 6－34d .(3)设粒子经过磁场共n ＋1次由题意知L ＝(2n ＋2)d cos 30°＋(2n ＋2)r n sin 30° 且m v 2nr n＝q v n B ，解得v n ＝qB m ⎝⎛⎭⎫L n ＋1－3d ⎝⎛⎭⎫1≤n <3L 3d －1，n 取整数. 答案：(1)⎝⎛⎭⎫23L －3d ⎝⎛⎭⎫1－32 (2)qB m ⎝⎛⎭⎫L 6－34d (3)qB m ⎝⎛⎭⎫L n ＋1－3d ⎝⎛⎭⎫1≤n <3L 3d －1，n 取整数 5．(2014·高考重庆卷)如图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为1.8h ，质量为m 、带电量为＋q 的粒子从P 点垂直于NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g .(1)求电场强度的大小和方向；(2)要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值；(3)若粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值． 解析：(1)设电场强度大小为E由题意可知mg ＝qE 得E ＝mgq，方向竖直向上．(2)如图甲所示，设粒子不从NS 边飞出的入射速度最小值为v min ，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r 1和r 2，圆心的连线与NS 的夹角为φ.由r ＝m v qB ，有r 1＝m v minqB ，r 2＝m v min 2qB ＝12r 1由(r 1＋r 2)sin φ＝r 2，r 1＋r 1cos φ＝h 联立各式解得v min ＝(9－62)qBhm.甲 乙(3)如图乙所示，设粒子入射速度为v ，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r 1和r 2，粒子第一次通过KL 时距离K 点为x .由题意有3nx ＝1.8h (n ＝1，2，3，…)32x ≥（9－62）h 2，x ＝r 21－（h －r 1）2 得r 1＝⎝⎛⎭⎫1＋0.36n 2h2，n <3.5 即n ＝1时，v ＝0.68qBh m ；n ＝2时，v ＝0.545qBh m ；n ＝3时，v ＝0.52qBhm .答案：(1)mg q 方向竖直向上 (2)(9－62)qBhm(3)0.68qBh m 0.545qBh m 0.52qBhm。
带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
的距离L；
解析 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子
在MO边界射出点为N
由洛伦兹力提供向心力得 解得 R＝mqBv②
qvB＝mRv2①
由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角 α＝60°③
则 O、N 间的距离 L＝R＝mqBv。④
答案
mv qB
mv qB
(2)粒子在磁场中的运动时间；
解析 设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期
带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
学习目标
会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题， 提高思维分析综合能力。
目录
CONTENTS
01 研透核心考点 02 提升素养能力
1
研透核心考点
考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
考点二 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
4qBL D. 5m
解析 若粒子恰好从 A 点射出磁场，则轨道半径为 r1＝L2，由 qv1B＝mvr112可得 v1＝qBmr1＝q2BmL；若粒子恰好从 B 点射出磁场，则轨道半径为 r2＝L，由 qv2B ＝mvr222可得 v2＝qmBL。为使粒子不能经过正方形的 AB 边，粒子的速度 v<v1＝ q2BmL或 v>v2＝qmBL，故 A 正确。
有一个交点，故粒子偏转角只可能为 40°，运动时间 t＝34600°°T＝29πqmB，A 正确， C 错误；若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与 ON 有 几个交点，粒子回到 OM 直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与 OM 成
【技巧】磁场 带电粒子在磁场中的多解问题
带电粒子在磁场中的多解问题山东省东营市仙河镇胜利第62中学（257237）高级教师 万洪禄带电粒子在磁场中的运动并不都是唯一解问题。
导致多解的因素比较多。
由于篇幅所限，本文只剖析由于带电粒子的电性、速度和磁场方向不确定引起的多解的问题。
一、带电粒子电性引起的多解带电粒子可能带正电，也可能带负电。
在没指明粒子电性时，就要分别从带正电和负电两种情况分析问题，这样就导致问题两解。
例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。
现有质量为m ，电荷量大小为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间。
解析 由于不知道粒子带的电性，故有带正电和负电两种情况.如果带正电，则粒子向左做圆周运动，图2中左上部分；如果带负电， 则粒子也做圆周运动，图2中右下部分。
根据2v qvB m R =和2R T v π=，解得2m T qB π= 带正电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角是1106θπ=，故运动时间 1155263m t T T qBθππ=== 带负电时，根据几何知识，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角是213θπ=，故运动时间221263m t T T qBθππ===。
答案533m m qB qB ππ或 点拨 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动时，要先根据初始条件和洛伦兹力方向并结合是否具有对称性，画出粒子向哪个方向偏转的圆周运动轨迹。
计算粒子在磁场中运动时间时，要先图1找到轨迹对应的圆心角θ，然后在根据2=)22m t T qBθθπππ=（计算时间。
二、带电粒子速度引起的多解 粒子速度大小不确定，或粒子速度大小与其他物理量的关系不确定，或者粒子的速度方向不确定，这三个方面都可能引起多解。
（1） 粒子速度方向引起多解例2 如图3所示，在半径为R 的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面（未画出）。
带电粒子在磁场中运动的多解问题
一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁
场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁
场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是
磁场力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ ）
A. 4qB
m
B.
3qB m
C. 2qB
m
D. qB
m
解析：当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,
解: 由
qvB1
m
v2 R1
qvB2
m
v2 R2
得粒子在磁场B1、B2的轨道半径分别为
R1
1cm
d 4
R1
2cm
d 2
若粒子经过P点的轨迹如图6所示，则
T2
2R2
v0
t2
T2 2
联立解得粒子运动的时间
t2
2
106 s
若粒子经过P点的轨迹如图7所示，则
T1
2R1
v0
t1 T1
⑴ 明确多解原因。
⑵ 分别设每种多解原因成立，进行分析求解。
⑶ 求解过程同带电粒子在磁场中圆周运动的分析方法，即：
① 画出运动轨迹；确定圆心。
② 利用几何关系计算半径。 ③ 由 qvB m v2 和圆周运动等知识求解。 注意：粒子飞r 入、飞出对称边界时存在对称性。
11:10
圆心角 偏转角 圆心角 2弦切角
y
mv0 Bq
t1
1
360
T
④
vB B
1
若粒子带正电，运动时间
R
v0
专题研究——带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，它可能穿过去， 也可能偏转180°从入射界面这边反向飞出．如图所示． 五.运动的重复性形成多解
当带电粒子在电场和磁场的的有界组合场中运动时，通常具有 往复性，因而形成多解．
解 :(1)设粒子过 N 点时的速度为 v，有 vv0＝cosθ , v＝2v0 粒子从 M 点运动到 N 点的过程，有 qUMN＝12mv2－12mv20
UMN＝3m2qv20
(2)粒子在磁场中以 O′为圆心做匀速圆周运动，半 径为 O′N，有 qvB＝mrv2 , r＝2mqBv0
(3)由几何关系得 ON＝rsinθ
蓝皮书P95例6
•蓝皮书P95例7
如图甲所示，M、N为竖直放置、彼此平行的两块平板，板间 距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直 于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一束 正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子的质量 为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁 感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的 影响，不计离子所受重力．求：
典型问题二：磁场的叠加
2．图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面积位 于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相等的电流，方向如图所 示。一带负电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运 动，它所受洛伦兹力的方向是（ ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下
典型问题三：安培力
磁场章末总结
典型问题一：基本概念：磁感应强度
1．下列说法中正确的是 ( ) A.电荷在某处不受电场力作用，则该处电场强度为零； B.一小段通电导线在某处不受磁场力作用，则该处磁感应强度一定 为零； C. 表征磁场中某点强弱，是把一小段通电导线放在该点时受到的磁
02带电粒子在磁场中运动的多解问题-高考物理磁场压轴综合题详解(解析版)
带电粒子在磁场中运动的多解问题知识要点带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解。
多解的形成原因一般包含4个方面:带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同初速度时,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解。
如图所示,带电粒子以速度v垂直匀强磁场进入,若带正电,其轨迹为a,若带负电,其轨迹为b磁场方向不确定形成多解磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度大小,而未说明磁感应强度方向,则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。
如图所示,带正电的粒子以速度v垂直匀强磁场进入,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过去了,也可能转过180°后从入射面边界反向飞出,如图所示,于是形成了多解运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多解,如图所示难题解析1.【2022苏北七市三检】如图所示，xoy竖直平面坐标系中，x轴上方有垂直于xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。
下方有沿+y 方向的匀强电场，电场强度大小为E 。
粒子源在坐标平面内从O 处发射速度大小、方向各不相同的粒子，粒子初速度方向与+x 方向夹角范围是[0，90°]，初速度大小范围是005,4v v ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
已知粒子的质量为m 、电荷量为+q ，不计粒子重力及粒子间相互作用。
（1）求粒子到达x 轴下方的最远距离d ；（2）求粒子第一次在磁场中运动时可能到达区域的面积S ；（3）若粒子源只沿+y 方向发射粒子，其它条件不变，发现x 轴上P 点左侧所有位置恰好均有粒子通过，求粒子从O 点运动到P 点所需的最短时间t 。
【答案】（1）202532mv d Eq=；（2）2222(5932)32m v S q B π+=；（3）064mv m t qB Eq π=+ 【解析】（1）当粒子的速度大小为054v ，且沿y 轴正向射出时粒子到达x 轴下方有最远距离d ，根据动能定理得：201524Eqd m v ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得：202532mv d Eq=（2）设速度大小为0v 的粒子在磁场中做圆周运动的半径为1r ，速度大小为054v 的粒子在磁场中做圆周运动的半径为2r ，粒子第一次在磁场中运动时可能到达区域如下图所示，1s 为粒子不能到达的区域面积。
关于带电粒子在磁场中的多解问题课件
r2
l
(d2 4l2 )qB v0 4dm
d/2
v0 乙
练1一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，
方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界
ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，
速度大小为v0 ，方向与ad边夹角为30°，如图所示。 已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。
A
+mq
v0
d
B
l
甲
分析：当粒子从左边射出时, 若运动轨迹半径最大,
则其圆心为图中O1点, 半径 r1=d/4。
r1
l
因此粒子从左边射出必须满足r≤r1。
O1
d/2 v0
由于
r mv 0 所以 qB
rBq v0 m
Bdq 乙 v0 4m
r即 2 2 v（ 0 r2 54qd m 2） B2 或 lvl02 ， q4m Br2ld 4ld 2r2O-d2/2
t1
1 T
360
2m
3Bq
若粒子带正电，它从O到B所用的时间为
t2
2 T
360
m
3Bq
2. 磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大 小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不 确定而形成多解。
例2. 一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B
的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀
速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作
用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍，则负电荷
做圆周运动的角速度可能是（
）
A. 4 qB
m
B. 3 qB
m
C. 2 qB
高中物理：带电粒子在磁场中运动的多解问题
高中物理：带电粒子在磁场中运动的多解问题
高中物理：带电粒子在磁场中运动的多解问题1、多解形成原因一般包含下述几个方面(1)带电粒子电性不确定形成多解；(2)磁场方向不确定形成多解
；(3)临界状态不唯一形成多解；(4)运动的往复性形成多解．?2、带电粒子在磁场中运动的多解模型例、如图所示，在x轴上方有匀强电场
，场强为E；在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图，在x轴上有一点M，离O点距离为L．现有一带电量为＋q的粒子，使其从静止
开始释放后能经过M点．如果把此粒子放在y轴上，其坐标应满足什么关系？（重力忽略不计）解析：由于此带电粒子是从静止开始释放的，要能经
过M点，其起始位置只能在匀强电场区域．物理过程是：静止电荷位于匀强电场区域的y轴上，受电场力作用而加速，以速度V进入磁场，在磁场中
受洛仑兹力作用作匀速圆周运动，向x轴偏转．回转半周期过x轴重新进入电场，在电场中经减速、加速后仍以原速率从距O点2R处再次超过x轴
，在磁场回转半周后又从距O点4R处飞越x轴如图所示（图中电场与磁场均未画出）故有L＝2R，L＝2×2R，L＝3×2R即?R＝L／2 n，（n=1、2、3……）……?①设粒子静止于y轴正半轴上，和原点距离为h，由能量守恒得mv2／2=qEh……②对粒子在磁场中只受洛仑兹力作用而作匀速圆周运动有：R＝mv／qB……③解①②③式得：h＝B2qL2／8n2mE（n＝l、2、3……）。
带电粒子在磁场中运动——极值多解问题模板
带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间 t＝t1＋t2 由以上各式可得 B1＝56πqmt ，B2＝53πqmt
答案
5πm 6qt
5πm 3qt
建模感悟 粒子在多个磁场中连续运动时，会画出不同 的轨迹，从复杂的轨迹中找出规律，寻找解决问题的突 破口，解这类问题时，关键在于能画出轨迹，想清楚粒 子的运动过程，借助圆周运动的特点解决问题．
1)
B
． R vO0
·
S
t
总r
(n
1)R
tan
n 1
n2
v
v
5．如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量
为m、带电量为q的正离子在小孔S处，以速度v0向着 圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在
最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均
无损失）
B
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒
碰撞从原孔射出，其运动轨迹具
有对称性．当发生最少碰撞次数
r
． R vO0
n=2时 600
r R cot 300 3R
·
O’
r
S
qvB m v2 B mv0 mv0
r
qr 3qR
t 3 1 T m 3R
6 qB v0
当发生碰撞次数n=3时
900
（1）若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？ （2）若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间 为多少？
例1.如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以 平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所 示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴 的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、 磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆 形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略 不计. （若磁场为矩形，或正三角形又如何？）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、带电粒子电性(+q-q)不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可 能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．
思考如图带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如 带正电，其轨迹为a；如带负电，则其轨迹为b.
二、磁场(B)方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指 出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强 度方向不确定而形成的多解．
本部分内容讲解结束
1．如图，ABCD是边长为的正方形。质量为m、电荷 量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强 磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点 射出磁场。不计重力，求： （1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
A．小物块一定带负电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀加速直线运动 C．小物块在斜面上运动时做加速度增大且速度也增大的变加速
直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小物块对斜面压力为零时的
速率为mgBcqosθ
[答案]C
[解析] 小物块沿斜面下滑对斜面作用力为零时受力分析如图所 示，小物块受到重力 mg 和垂直于斜面向上的洛伦兹力 F，故小 物块带负电荷，选项 A 正确； 小物块在斜面上运动时合力等于 mgsinθ 保持不变，做匀加速直 线运动，选项 B 正确，选项 C 错误； 小物块在斜面上下滑过程中，当小物块对斜面压力为零时有 qvB ＝mgcosθ，则有 v＝mgqcBosθ，选项 D 正确．
3 3m
－3q
3v
4 2m
2q
3v
5 2m
－q
v
由以上信息可知,从图中a、b、c处进入的粒子对应表中的 编号分别为( ) A．3、5、4 B．4、2、5 C．5、3、2 D．2、4、5
【解析】 根据左手定则可知 a、b 带同种电荷，c 所带电荷 与 a、b 电性相反，粒子运动的轨道半径 r＝mqBv∝mqv，而由 题图可知，半径最大的粒子有两个，b 是其中之一，a 和 c 两粒子的半径相等，其大小处于中间值，因此分析表中数据 并结合粒子电性的限制可知，半径最大的粒子的编号为 3 和 4，半径最小的粒子的编号为 1，半径处于中间的粒子的编 号为 2 和 5.又据题图可知有 3 种粒子的电性相同(包括 a、b)， 另两种粒子的电性也相同(包括 c),但与前 3 种的电性相反, 综合以上情况可知,只有选项 D 正确．
联立①②得：R＝mqBv③
T＝2qπBm④
将已知代入③得 R＝2 m⑤
由轨迹图知：
tanθ＝Rr ＝ 33，则 θ＝30°
则全段轨迹运动时间：t＝2×36T0°×2θ＝T3 ⑥ 联立④⑥并代入已知得：
2 m t＝ 3qB
= 2×3.14×3.2×10－26 3×1.6×10－19×0.10
s＝4.19×10－6 s.
四、运动的周期性形成多解 带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时， 运动往往具有往复性,从而形成多解．如图所示． 带负电粒子的周期性运动：
练习长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图 所示,磁感应强度为B，板间距离为L，板不带电．一质量为m、 电荷量为q带正电的粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂 直磁感线以速度v水平射入磁场欲使粒子不打在极板上，可采 用的方法是( )
(2)要使正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁 场，v0 的方向应如图所示，两板之间正离 子只运动一个周期即 T0 时，有 r＝d4(2 分)
当两板之间正离子运动 n 个周期即 nT0 时，有: r＝4dn(n＝1,2,3，…)(2 分) 联立求解，得正离子的速度的可能值为 v0＝Bm0qr＝2πndT0(n＝1,2,3，…)．(2 分)
(2)在图中过 O2 向 AO1 作垂线，联立轨迹对称关系侧移总距 离 d＝2rsin2θ＝2 m.
【答案】 (1)4.19×10－6 s (2)2 m
例 6 质量为 m、带电量为 q 的小物块从倾角为 θ 的光滑绝缘斜面 上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感 应强度为 B，如图所示．若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作 用力恰好为零，则下列说法中错误的是( )
A．使粒子的速度 v<B4qmL B．使粒子的速度 v>B4qmL C．使粒子的速度 v<5B4mqL D．使粒子的速度B4qmL<v<5B4mqL
解析：选 A. 当速度较大时将从右边飞出 则 R2＝L2＋R－12L2 所以 R＝54L＝mqBv，故 v＝54qmBL 即 v>54qmBL时,从右边飞出. 当 v 较小时从左边飞出，由14L＝mqBv得：v＝q4BmL 即 v<q4BmL时,从左边飞出．
【解析】 (1)依题意，粒子经电场加速射入磁场时的
速度为 v
由动能定理 qU＝12mv2 得 v＝
2qU m
①
粒子在磁场中做匀速圆周运动，其圆心在 E 点，
如图所示，半径 r1＝a ②
由洛伦兹力提供向心力：qvB＝mvr12③
由①②③式得：B＝=πr/v可知，粒子速率恒定，半径越大，运动 时间越长。如图，轨迹与EC边相切时，半径最大。 设圆周半径为r2.
【答案】 D
带电粒子在直线边界磁场中的运动
例4如图所示，在一底边长为2a，θ＝30°的等腰三角形 区域内(D在底边中点)，有垂直纸面向外的匀强磁场．现有一 质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从静止开始经过电势差 为U的电场加速后，从D点垂直于EF进入磁场，不计重力与空 气阻力的影响． (1)若粒子恰好垂直于EC边射出磁场，求磁场的磁感应强度B 为多少？ (2)改变磁感应强度的大小，粒子进入磁场偏转后能打到ED板， 求粒子从进入磁场到第一次打到ED板的最长时间是多少？
由图中几何关系 r2＋sirn2θ＝a 得：r2＝13a④
最长时间 t＝πvr2⑤ 由以上各式联立得：
t＝π3a
m 2qU
【答案】
1 (1)a
2mU πa q (2) 3
m 2qU
【方法总结】 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程 序解题法——三步骤 (1)画轨迹：即画出轨迹，并确定圆心,几何方法求半径． (2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系,偏转角 度与圆心角、运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期 相联系． (3)用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期 公式、半径公式．
A
B
D
C
你 能 看 出 入 射 点 的 轨 迹 是 什 么 吗 ？
D A
CD
C
E
B A
B
D
E
A
C
pq
F
B
x
x asin
y a cos
O y
(1)该离子通过两磁场区域所用的时间.
(2)离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距 离为多大？(侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离)
解：(1)离子在磁场中做匀速圆周运动，在左右两区域的运
动轨迹是对称的，如图，设轨迹半径为R，圆周运动的周
期为T.
由牛顿第二定律得
qvB＝mvR2①
又 T＝2πvR②
粒子运动径迹的分析及判定
例3如图，矩形MNPQ区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场， 有5个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场， 在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧．这些粒子
的质量、电荷量以及速度大小如下表所示．
粒子 编号
质量
电荷量 (q＞0)
速度 大小
1
m
2q
v
2 2m
2q
2v
思考
如图，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场,如果 B垂直纸面向里,其轨迹为a；如果B垂直纸面向外, 其轨迹为b.
三、临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由 于粒子运动轨迹是圆弧状,因此，它可能穿过去了， 也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如 图所示，于是形成了多解．
练习如图所示，质量为 m、电荷量为 q 的带正电小球中间有一 孔，套在足够长的绝缘细杆上，杆与水平方向成 θ 角，杆与球 的动摩擦因数为 μ.此装置放在沿水平方向、磁感应强度为 B 的 匀强磁场中．若从高处将小球无初速度释放，小球在下滑过程 中加速度的最大值和运动速度的最大值分别是多少？
[答案]gsinθ
(1)磁感应强度B0的大小； (2)要使正离子从O′孔垂直于 N板射出磁场，正离子射入 磁场时的速度v0的可能值．
解题样板 (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力 qv0B0＝mvr20(2 分) 做匀速圆周运动的周期
T0＝2vπ0r(2 分) 联立两式得磁感应强度
B0＝2qπTm0 .(2 分)
带电粒子在圆形边界磁场内运动的问题
例 5 如图所示，有两个靠在一起的半径 r＝23 3m 的等大圆柱 形区域内，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度 B ＝0.10 T，左区圆心为 O1，磁场向里，右侧区圆心为 O2，磁 场向外．两区域切点为 C.今有质量 m＝3.2×10－26 kg、带电 荷量 q＝1.6×10－19 C 的某种离子，从左侧区边缘的 A 点以速 度 v＝106 m/s 正对 O1 的方向垂直磁场射入，它将穿越 C 点 后再从右侧区穿出．求：
mBqgsiμnθ＋cosθ
带电粒子在磁场中运动的周期性多解问题
例7如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间 距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂 直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示， 设垂直纸面向里的磁场方向为正方向．有一群正离子在t＝0 时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带 电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感 应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电 场的影响，不计离子所受重力．求：