微分方程模型及软件求解
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
随机微分方程 matlab
随机微分方程 matlab随机微分方程是描述随机过程演化的一种数学模型，广泛应用于物理、生物、经济等领域。
Matlab是一种强大的数值计算软件，可用于求解随机微分方程，本文将介绍如何用Matlab求解随机微分方程及其应用。
一、随机微分方程的概念随机微分方程是一种以随机变量为右端函数的微分方程。
在物理、生物、经济等领域中，很多自然现象都是随机的，例如粒子的运动、细胞分裂、金融市场的波动等。
因此，用随机微分方程来描述这些现象就显得尤为重要。
随机微分方程包含两部分——确定性微分方程和随机项。
其中，确定性微分方程用来描述系统的演化规律，而随机项则考虑到随机因素对系统的影响。
二、求解随机微分方程的方法求解随机微分方程的方法有很多，比较常用的是Monte Carlo方法和数值解法。
1. Monte Carlo方法Monte Carlo方法是一种用随机数模拟概率分布的方法，无需求解精确解。
具体来说，可以通过生成大量随机数，对随机微分方程进行模拟。
其中，最简单的方法是欧拉-马尔可夫算法。
该算法模拟的随机过程是离散的，它把时间线离散化并在每个时间点上计算方程的解。
它的主要缺点是精度较低。
2. 数值解法数值解法是常用的求解随机微分方程的方法。
由于随机微分方程难以精确解析，因此数值解法是比较实用的。
数值解法的主要思路是把随机微分方程转化成有限差分方程，在有限时间间隔内求解方程的解。
这种方法需要精确的数值算法，通常使用维纳过程、泊松过程等随机过程进行数值求解。
三、Matlab求解随机微分方程在Matlab中，求解随机微分方程的方法主要是用随机过程来描述随机项，然后使用ODE求解器求解确定性微分方程。
1. 算法概述求解随机微分方程的一般流程如下：生成随机过程，描述随机项的变化规律。
将随机微分方程分解成确定性微分方程和随机项两部分。
通常采用Ito型随机微分方程，在分解时需要注意使用Ito公式。
使用ODE求解器（例如ode45、ode23等）求解确定性微分方程的解。
caputo分数阶微分方程求解 matlab 概述及解释说明
caputo分数阶微分方程求解matlab 概述及解释说明1. 引言1.1 概述在科学和工程领域中，微分方程是一种常见的数学模型，用于描述物质或现象之间的相互关系。
传统的微分方程主要基于整数阶导数进行建模和求解。
然而，许多现实中的问题不能仅用整数阶微分方程来完全描述，因此引入了分数阶微积分的概念。
Caputo分数阶微积分是世界上最早发表的一种分数阶导数定义方法之一，它在描述长尾动力学、非平衡统计物理、带记忆材料等领域具有广泛应用。
使用Caputo分数阶微积分可以更准确地对现实世界中各种复杂过程进行建模和仿真。
1.2 文章结构本文将首先介绍Caputo分数阶微积分的基本概念和定义，然后重点关注Caputo分数阶微分方程及其特性。
接下来，我们将详细探讨MATLAB在求解Caputo分数阶微分方程中所起到的关键作用，并提供实际示例以说明其应用方法和步骤。
随后，我们将选择一个具体的Caputo分数阶微分方程案例进行研究和求解，并通过结果及讨论来评估算法的效率。
最后，我们将对本文进行总结，并提出现有问题和未来工作方向的展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍Caputo分数阶微分方程在MATLAB中的求解方法，并通过案例研究和讨论来验证其有效性和实用性。
通过本文的阐述，读者将能够理解Caputo分数阶微积分的基本概念、MATLAB在求解Caputo分数阶微分方程中所采用的方法以及其应用领域。
此外，本文还旨在鼓励读者进一步研究该领域并探索新的解决方案。
2. Caputo分数阶微分方程概述：2.1 分数阶微积分简介分数阶微积分是传统整数阶微积分的推广，它引入了非整数阶导数和非整数阶积分的概念。
与整数阶微积分不同，分数阶导数和积分可以表现出一种记忆性的特点，使得在描述复杂自然现象、非线性动力学系统、多尺度问题等方面具有更好的适用性。
2.2 Caputo分数阶导数定义与性质Caputo导数是一种常用的描述物理过程中记忆效应的方法。
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
matlab微分方程模型
matlab微分方程模型Matlab微分方程模型是一种基于Matlab软件的数学建模方法，用于解决微分方程相关的问题。
微分方程是描述物理、工程和数学问题的重要工具，通过建立微分方程模型，可以对各种现象进行定量分析和预测。
在Matlab中，可以使用ode45函数求解常微分方程（ODE）或者ode15s函数求解刚性ODE。
这些函数可以通过数值方法近似求解微分方程的解析解，从而得到问题的数值解。
具体来说，可以通过在Matlab中定义微分方程的右侧函数，然后使用相应的ode函数进行求解。
例如，考虑一个简单的一阶线性微分方程模型：dy/dx = -ky，其中k为常数。
我们可以通过在Matlab中定义这个微分方程的右侧函数，并使用ode45函数求解。
具体步骤如下：1. 在Matlab中定义微分方程的右侧函数：function dydx = myODE(x,y)k = 0.1; % 设定常数k的值dydx = -k*y;end2. 使用ode45函数求解微分方程：xspan = [0 10]; % 设定求解区间y0 = 1; % 设定初始条件[x,y] = ode45(@myODE, xspan, y0);3. 绘制得到的数值解：plot(x,y);xlabel('x');ylabel('y');title('Solution of dy/dx = -ky');通过以上步骤，我们可以得到微分方程dy/dx = -ky的数值解，并绘制出解的图像。
这个简单的例子展示了如何使用Matlab微分方程模型求解微分方程。
除了一阶线性微分方程，Matlab微分方程模型还可以用于解决更复杂的微分方程问题，包括高阶线性微分方程、非线性微分方程、偏微分方程等。
通过定义相应的微分方程函数和合适的求解方法，可以在Matlab中进行数值求解。
此外，Matlab还提供了丰富的绘图和分析工具，可以对微分方程的解进行可视化和进一步分析。
modelica求解偏微分方程
Modelica求解偏微分方程1. 引言在科学与工程领域中，许多实际问题可以通过数学模型来描述。
其中一类常见的问题是偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）的建模与求解。
PDEs广泛应用于物理、化学、生物、经济等领域，例如流体力学、热传导、电磁场等。
Modelica是一种面向对象的建模和仿真语言，它提供了一种灵活且强大的方法来描述和求解各种物理系统。
本文将介绍如何使用Modelica来建立和求解偏微分方程。
2. Modelica简介Modelica是由Modelica协会开发的一种开放标准，用于描述动态系统的行为和结构。
它提供了一种统一的建模语言，可以用于描述各种不同领域中的物理系统。
Modelica基于对象-连接（object-oriented）方法，并使用方程（equation）来描述系统行为。
用户可以定义自己的组件（component），并通过连接这些组件来构建更复杂的系统。
Modelica不仅仅适用于模拟静态和动态行为，还能够处理包括代数方程、常微分方程和偏微分方程在内的各种数学方程。
3. 偏微分方程建模在Modelica中，可以使用partial关键字来定义偏微分方程。
偏微分方程通常涉及空间变量和时间变量，因此需要使用空间域和时间域进行建模。
下面是一个简单的一维热传导方程的建模示例：model HeatConductionimport Modelica.Constants.pi;import Modelica.SIunits.Conversions.*;import Modelica.SIunits.TemperatureDifference;parameter Real L = 1 "Length of the rod";parameter Real A = 0.01 "Cross-sectional area of the rod";parameter Real rho = 7800 "Density of the rod";parameter Real cp = 500 "Specific heat capacity of the rod";parameter Temperature T_initial = 300 "Initial temperature of the rod";Modelica.Thermal.HeatTransfer.Interfaces.HeatPort_a port_a annotation(Placement(transformation(extent={{-110,-10},{-90,10}})));equationder(T) = (1/(rho*cp*A))*der(T_port_a);initial equationT = T_initial;end HeatConduction;在上述示例中，我们定义了一个名为HeatConduction的Modelica模型。
微分方程的matlab求解
数学实验
2、龙格-库塔法
龙格-库塔法是利用泰勒展式将y(x+h)在x处展开，并 取其前面若干项来近似y(x+h)而得到公式 y(x+h) y(x) + h j (x, y(x), h) 如果y(xn) yn，则y(xn+1)的近似值为：
yn+1 = yn + h j (xn, yn, h), n = 0, 1,…
精确解 1 1.0048
1.0187 1.0408 1.0703 1.1065 1.1488 1.1966 1.2493 1.3066 1.3679
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向前欧拉 向后欧拉 1 1 1 1.0091
matlab微分方程组求解代码
一、概述Matlab是一款功能强大的数学软件，它可以对微分方程组进行求解并得到精确的数值解。
微分方程组是描述自然现象的数学模型，经常出现在物理、化学、生物等领域的科学研究中。
掌握如何使用Matlab 对微分方程组进行求解是非常重要的。
二、微分方程组求解基本原理微分方程组是由多个未知函数及其导数的方程组成。
通常情况下，微分方程组很难直接求解，需要借助数值方法进行近似求解。
Matlab 提供了丰富的工具和函数来解决微分方程组求解的问题，其中最常用的是ode45函数。
三、Matlab微分方程组求解代码示例以下是一个简单的二阶微分方程组的求解代码示例：```function dydt = myODE(t, y)dydt = zeros(2,1);dydt(1) = y(2);dydt(2) = -y(1) - 0.1*y(2);end[t, y] = ode45(myODE, [0 20], [1 0]);plot(t, y(:,1))```在这个示例中，我们首先定义了一个函数myODE来描述微分方程组的右端。
然后使用ode45函数对微分方程组进行求解，得到了微分方程组的数值解，并利用plot函数进行了可视化展示。
四、常见问题及解决方法在使用Matlab进行微分方程组求解时，可能会遇到一些常见问题，以下是一些常见问题及解决方法：1. 参数设置错误：在使用ode45函数时，需要正确设置求解的时间范围和初始条件，否则可能得到错误的结果。
可以通过仔细阅读ode45函数的文档来解决这个问题。
2. 数值稳定性：对于一些复杂的微分方程组，数值求解可能会遇到数值稳定性问题，导致结果不准确。
可以尝试调整ode45函数的参数或者使用其他数值解法来提高数值稳定性。
五、总结通过本文的介绍，我们了解了在Matlab中如何对微分方程组进行求解。
Matlab提供了丰富的工具和函数来解决微分方程组求解的问题，有效提高了微分方程组求解的效率和精度。
《偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题》
北京航空航天大学偏微分方程概述及运用matlab求解微分方程求解常见问题姓名徐敏学号********班级380911班2011年6月偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题徐敏摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程关键词MATLAB 偏微分方程程序如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
一，偏微分方程概述偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。
许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。
早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。
逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。
偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。
在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。
很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。
比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。
Matlab求解微分方程及偏微分方程
第四讲Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的, 特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一.相关函数、命令及简介1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数, D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve（＜eqnl，,，eqn2函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解. 但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver,其一般格式为：［T,Y］=solver（odefun,tspan,yO）说明：（1 ）solver 为命令ode45、ode23、odel 13、odel5s、ode23s、ode23t、ode23tb、odel5i 之一.（2）odefun是显示微分方程），=f （t,y）在积分区间tspan =［心心］上从心到“用初始条件儿求解.（3）如果要获得微分方程问题在其他指定时间点bG©…心上的解，则令（span = 『“，•••『/■］（要单调的）.（4）因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供T多种求解器solver,对于不同的ODE问题，采用不同的solver.程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.。
rossler微分方程组matlab
一、引言Rossler微分方程组是混沌动力系统的一个经典模型，由德国数学家Rossler在1976年提出。
这个方程组描述了一个三维空间中的混沌运动，对于非线性动力学和混沌理论的研究具有重要意义。
在数学建模和工程应用中，对Rossler微分方程组的数值求解和仿真分析也具有重要意义。
而在数值求解中，Matlab作为一个功能强大的数学分析软件，能够很好地发挥作用，本文将结合Rossler微分方程组的相关理论和Matlab的数值求解技巧，介绍如何使用Matlab对Rossler微分方程组进行仿真分析。
二、Rossler微分方程组的数学模型1. Rossler方程的形式Rossler微分方程组由下列三个微分方程组成：dx/dt = - y - zdy/dt = x + aydz/dt = b + z(x - c)其中，x、y、z是三个未知函数，t是自变量，a、b、c是模型中的参数，通常取a=0.2，b=0.2，c=5.7。
Rossler方程组具有混沌特性，其解在相空间中呈现出复杂的、不可预测的运动轨迹。
2. Rossler系统的特性Rossler系统具有混沌、奇点和吸引子等重要特性，其中混沌现象是其最为显著的特征之一。
混沌运动是指一种复杂、无序、无规律的非周期性运动行为，通常表现为对初始条件敏感和长时间运动的随机性。
三、Matlab数值求解Rossler微分方程组1. Matlab对微分方程组的求解在Matlab中，可以使用ode45等数值求解器对微分方程组进行求解。
以Rossler微分方程组为例，使用Matlab进行数值求解的一般步骤如下：（1）定义微分方程组：将微分方程组写成一个m文件；（2）选择数值求解器：在m文件中调用Matlab中的数值求解器，如ode45；（3）设定初值和积分区间：设置初值和积分区间，并定义求解选项；（4）调用数值求解器：调用ode45等数值求解器，得到微分方程组的数值解。
2. Matlab对Rossler微分方程组的仿真分析使用Matlab对Rossler微分方程组进行仿真分析，可以得到系统的相图、时间序列图、Lyapunov指数等重要结果。
微分方程模型以及算法
微分方程模型以及算法郑小洋数学与统计学院1.微分方程发展历史；2.微分方程模型的应用领域；3.建立微分模型的常见方法；4.常微分方程模型：算法；MATLAB程序；实例。
5.偏微分方程模型：算法；MATLAB程序；实例。
参考文献及资料[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003.[2]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[3]常微分方程的解法[4]偏微分方程的数值解[5]2007年全国大学生数学建模竞赛题1.微分方程发展历史十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与力学中的新问题。
结果是在天体力学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。
偏微分方程的研究要比常为分方程晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔（D’Alembert）（1717-1783）、L.欧拉（Euler）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli)（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange)（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace)（1749-1827）、S.泊松(Poisson)（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier)（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。
它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他在1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。
在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程t T k z T y T x T ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂2222222，其中k 是一个参数，其值依赖物体的质料。
几种重要的微分方程应用模型
生态竞争模型的解可以表现出多种动态行为，如周期振荡和混沌运动等， 取决于物种之间的竞争参数。
斐波那契序列模型
01
斐波那契序列是一个经典的数学序列，每个数字是前两个数字 的和。
02
斐波那契序列模型可以用于描述许多自然现象，如植物生长、
模型等。
02 线性微分方程模型
线性微分方程的解法
分离变量法
通过将方程中的未知函数和其导数分 离到等式的两边，从而将微分方程转 化为代数方程。
变量代换法
通过引入新的变量来简化微分方程， 例如使用积分因子或积分因子法。
参数法
当微分方程中包含参数时，可以通过 令参数等于某个特定的值来求解微分 方程。
幂级数法
拉普拉斯变换法
将高阶微分方程转化为代数方 程，适用于初值问题和具有特
定边界条件的问题。
阻尼振动模型
1 2
线性阻尼
阻尼力与速度成正比，导致振动逐渐减小并趋于 静止。
非线性阻尼
阻尼力与速度的幂函数相关，如速度的二次方、 三次方等，导致振动表现出不同的非线性行为。
3
阻尼振动应用
描述机械系统、电磁振荡器等物理系统的振动现 象，用于预测系统的稳定性和动态响应。
热传导方程的一般形式为：$frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u$，其中 $u$ 表示温度分布，$alpha$ 是热扩散系数，$nabla^2$ 表示拉普拉斯算子。
波动方程模型
01
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，如声波、光波和水 波等。
02
它的一般形式为：$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u$，其中 $u$ 表示波动场，$c$ 是波速。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
3.微分方程模型(缉私艇追击走私船问题)解析
c 2
1 1 r
x c
1r
r
1 ，1
c r1
x
cr r2 1
dy
1
x
r
c
r
dx 2 c x
y(c) 0
当 x 0 时， y 缉私艇不可能追赶上走私船。
3)
r 1 ，
y
1 2
x2 c2 2c
c ln
x c
当 x 0 时， y ， 缉私艇不可能追赶上走私船。
微分方程模型实例2——缉私艇追击走私船问题
六. 实验任务
1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地 方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全 速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计 算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ (3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 (4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于
t=t+dt; jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2); jstxb=[jstxb,jstx]; jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx^2+(a*t-jsty)^2); jstyb=[jstyb,jsty]; zscy=a*t; zscyb=[zscyb,zscy]; end zscxb=zeros(length(zscyb)); plot(jstxb,jstyb,zscxb,zscyb,'*')
5.3.2 缉私艇追击走私船问题
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此即所求死亡年数。微分方程模型及软件求解
二 放射性核废料处理问题
以前 ，美国原子能委员会把浓缩的放射性废 料装入密封的圆桶里，然后扔到水深为300英 尺的海里。 生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过 程中破裂而造成放射性污染？ 美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）。 又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否 会因与海底碰撞而破裂？ 美国原子能委员会：微分决方程模不型及软会件求解。
A
水面1 水面2
hh B
t 时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从 小孔流出的水量。
A hB s
s是水在 t 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离 微分方程模型及软件求解
变规律衰减。
微分方程模型及软件求解
建立模型
设 t 为死后年数， y(t)xc14 (t)xc12(t)
c c 则 t0时 ,yy0,即活1体 与 4 1数 2 中量.的
dxc14 xc14
dt
8000
dy y dt 8000
t
y Ce 8000
t
y y0 e 8000
当 y0.062 y0时 4 求t得 80 ln 0 .00 6 2 22 4y4r00
否判断此人生活在多少年前？
微分方程模型及软件求解
背景 c 14 年代测定方法是1949年美国芝加哥大学
利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究 断代的重要手段之一。
微分方程模型及软件求解
基本原理
裂变速率与剩余量成正比。 从星际空间射到地球的射线
Kc14=1/8000
宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反
海 水 63.99磅 / 英 尺 3,
假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比， 即
f cv,c0.08
微分方程模型及软件求解
2 建模与求解
受力分析：
FG F 浮 f
G527.436磅
o F浮
x
f
f cv,c0.08 G
F浮=海 水 V
y
=63.997.35470.327磅
微分方程模型及软件求解
G F浮 v()
微分方程模型及软件求解
由近似公式
ln1( x)xx2 2
G c2F浮ln1 (G cF v浮 )c vm y0
v2(30)0 3000 2(GF浮) m
v(30 )02g(GF 浮 )300 4.7 5英/秒 尺 G
微分方程模型及软件求解
3 结论：
若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒， 会因碰撞而破裂。 这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去 处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能 委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛 到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料 的深井。 我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置 核废料，防止放射性污染。
微分方程模型及软件求解
微分方程模型及软件求解
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变 化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微 分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接 关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。
古尸的年代鉴定问题 放射性核废料处理问题 流入--流出问题 人口问题 生物种群模型 兰彻斯特（Lanchester） 作战
模型
微分方程模型及软件求解
一 古尸年代鉴定问题
在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古 代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它 带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，
与 c的14比例c仅12 仅是活组织内的6.24%，能
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
微分方程模型及软件求解
微分方程模型
微分方程模型及软件求解
建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
微分方程模型及软件求解
（3）模拟近似法
应而生成具有放射性的 c 14 。从古至今，碳 c 14 不断产
生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。
大气中 c 14 处于动态平衡状态， c 14 经过一系列交换过
程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在
c 活体中，c 14 的数量与稳定的 12 的数量成定比，生物体
死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂
微分方程模型及软件求解
三 流入--流出问题
一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水， 由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从
小孔流出的速度为 v 2gh ，求在任一时
刻的水面高度和将水放空所需的时间。
通过解决此问题想到什么？
微分方程模Байду номын сангаас及软件求解
第一步列方程 设时刻 t的水面高度为 h tt时的水面高度为 hh h 等量关系：
根据牛顿第二定理
dv
g
F浮
cv
dt
mm
v(0) 0
可解得：
v(t)GF浮[1ec/tm] c
极限速度为：
v lti m v (t) G c F 浮 7 1 3 .8 6 英 尺 /秒 微分方程模型及软件求解
将速度 v 看成位置 y 的函数 v(y) ，由于
dv dvdyvdv dt dydt dy
代入：
dv
g
F浮
cv
dt
mm
v(0) 0
v
dv dy
g
F浮 m
cv m
v(0) 0 微分方程模型及软件求解
vdvgF浮 cv dy m m
其解为：
G c2F浮ln1 (G cF v浮 )c vm y0
仍未解出 v 是 y 的显函数。
v(300) v(), cv(300) v(300) 1
这几位工程师通过大量的实验证明: 若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时， 就会因碰撞而破裂。
圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英 尺/秒？ 通过建立数学模型来解决这一问题。
微分方程模型及软件求解
1 一些参数及假设：
G 527.436磅 ， g 32.2英 尺 / 秒 2 , V 7.35英 尺 3,