5-6几种重要的微分方程应用模型(12,blue)
微分方程模型(全)
第四步：了解问题中所涉及的原则或物理定律。
第五步：依据 第二、第三、第四步 建立微分 方程。 还有已知的对应某个 t 的 y 的值（可 能还有 y 的导数的值）就是求解微分方程所 需要的初始值。
第六步：求微分方程的解并给出问题的答案。 下面我们从易到难给出微分方程模型之应 用案例
例1 火车启动
例 1：火车启动
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 溶液浓度
如果有一个实际问题，要找一个量 y ， 与另一个量 t（时间或其他变量）的关系， 这种关系涉及量 y 在每个 t 时的瞬时变化率， 而且这个瞬时变化率与量 y 与 t 的关系可以 确定，那么这样的问题通常可以通过微分 方程来解决。 利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步:
题目：一列火车从静止开始启动，均匀地加速，
五分钟时速度达到 300 千米。问：这段时间内 该火车行进了多少路程？
例1 火车启动
解 这个问题相对比较简单，问题与“加速”、 “速度”有关，所以与导数有关； 涉及的量为： “时间”（小时），“路程”（千米），“速 度”（千米/小时），“加速度”（常数 a ）;
例2 细菌增长
解 这个问题也比较简单。 问题与“增长率”有关，所以与导数有关；
涉及的量为： “时间”（小时），“细菌总数”（个）， “速度”（个/小时）; 有（待定）函数关系的两个量定为： 细菌总数 y ，时间 t ； 涉及的原则或物理定律： 导数＝增长率.
微分方程(组)模型
③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自 变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的 字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为 确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及 到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的 实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的 方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型 二、微分方程的数学形式 三、微分方程（组）的MATLAB解法 四、减肥的数学模型 五、人口增长数学模型 六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型 七、硫磺岛战役案例
微分方程模型
b x b x x x x ln y ( x) x x ln ( 1) a d a a d a a
所求曲线的近似曲线方程（折衷法）
y1 y2 折衷法 y 2 b x x y ( x) x x ln ( 1) a d a 2 a
K MM1
MA AB MA M1B d
o
N1 M1
M2 N M A B
D
x
N1MA 相似于 oMC
MA d y x
y MA d x
K MM 1
y x d
x-d
C(x,0) C2(x+d,0)
再计算 K MM 2
oNC 相似于 oM2C2
M 2D y d x y x
14
c
12
的数量成定比，
生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以
设 t 为死后年数，
y(t ) xc14 (t ) xc12
14 12
则t 0时, y y 0 , 即活体中 c 与 c 数量的比例 .
dxc14 dt
积分得
xc14 8000
t 8000
dy y dt 8000
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化
率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分
方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关
系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：
1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性
理论方法。
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程
5-6几种重要的微分方程应用模型
dx = k0 − kx dt x(0) = 0
k0 −kt x(t) = (1− e ) k
高等数学
05-06-24
C
k0 −kt (1− e ) C(t) = Vk
平衡浓度
k0 Vk
k0 Vk
O
t
高等数学
05-06-25
例 由物理学Newton冷却定律知， 由物理学Newton冷却定律知 冷却定律知， 保持不变的前提下， 在环境温度 T0 保持不变的前提下， 物体温度 T 的变化率与当时物体温 之差成正比。 度 T 和所处环境温度 T0 之差成正比。 外界温度为20℃ 恒温） 在外界温度为20℃（恒温）时，一 物体在20分钟之内由 分钟之内由100℃降到60℃ 物体在20分钟之内由100℃降到60℃， 冷却规律； 40分钟时 求（1）冷却规律；（2）40分钟时 物体的温度； 物体的温度；（3）多长时间物体降 30℃ 至30℃？
高等数学
05-06-12
例 在中东巴勒斯坦地区一个山洞里 发现的古人骨中， 发现的古人骨中，同位素14C与12C之 比仅为活组织的6 24% 比仅为活组织的 6.24% ， 已知 14C 每 年衰减1 8000， 年衰减1/8000，试问此人活在多少年 前？
高等数学
05-06-13
室模型 是将整个机体设想成若干个房 认为药物在体内的吸收、分布、 室，认为药物在体内的吸收、分布、 代谢、消除的过程在房室之间进行， 代谢、消除的过程在房室之间进行， 并假设药物在房室中的分布是均匀 的。
(x + y) ×30 = 750 (x − y) ×50 = 750
x = 20 y = 5
答：船速每小时20千米。 船速每小时20千米 千米。
各种微分方程模型
第三章 微分方程模型当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了.经济增长模型本节的模型将首先建立产值与资金、劳动力之间的关系，然后研究资金与劳动力的最佳分配，设投资效益最大，最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到有效增长。
3.1.1.道格拉斯（Douglas ）生产函数用()Q t ,(),()K t L t 分别表示某一地区或部门在时刻t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作()((),())Q t F K t L t = （1）其中F 为待定函数。
对于固定的时刻t ，上述关系可写作(,)Q F K L = （2）为寻求F 的函数形式，引入记号/,/Z Q L y K L == （3）Z 是每个劳动力的产量，y 是每个劳动力的投资，如下的假设是合理的：Z 随着y 的增加而增长，但增长速度递减。
进而简化地把这个假设表示为(),()01aZ cg y g y ya ==<< （4）显然函数g （y ）满足上面的假设，常数c>0可看成技术的作用。
由（3）（4）即可得到(2）式中F 的具体形式为10,1<<=-αααLK cQ （5）由（5）式容易知道Q 有如下性质0,,0,2222<>∂∂∂∂∂∂∂∂LK Q Q L QK Q （6）记K Q Q k ∂∂=,Q K 表示单位资金创造的产值；Q L , LQ∂∂ 表示单位劳动力创造的产值，则从（5）式可得Q L K QL QK Q Q Q Q LKLK=+-==,1,αα （7）（7）式可解释为：a 是资金在产值中占有的份额，1-a 是劳动力在产值中占有的份额。
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型 微分方程是数学中一类重要的方程，广泛应用于自然科学、工程技术和社会经济等各个领域。
本文通过介绍常见的微分方程模型，帮助读者了解微分方程的基本概念和应用方法，并通过举例说明，使读者更加清楚地理解微分方程的实际应用。
一、常微分方程的基本概念 常微分方程是指未知函数与其导数之间的关系式，通常使用符号形式表示。
其中，未知函数是关于一个自变量的函数。
2. 方程类型 常微分方程包括一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是一阶导数的微分方程。
高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高导数是高于一阶导数的微分方程。
1. 简单增长模型 简单增长模型常用于描述物种的繁殖或种群的增长过程。
假设种群数量是一个未知函数N(t)，t表示时间。
简单增长模型的一阶常微分方程形式为dN/dt = kN，其中k是增长率常量。
举例：假设某个种群的初始数量是100个，增长率为0.05个/年，求10年后的种群数量。
解法：将初始条件代入简单增长模型方程，得到dN/dt =0.05N。
然后解这个一阶常微分方程，得到N = 100e^(0.05t)。
代入t = 10，可求得10年后的种群数量为N = 100 * e^(0.05*10)。
2. 简谐振动模型 简谐振动模型常用于描述弹簧振子或电路中的振荡状态。
假设振动的位移或电流是一个未知函数x(t)，t表示时间。
简谐振动模型的二阶常微分方程形式为d^2x/dt^2 + ω^2x = 0，其中ω是振动的角频率。
举例：某个弹簧振子的质量为1kg，弹簧的劲度系数为4N/m，初始位移为1m，初始速度为0m/s，求振子在t = 2s时的位移。
解法：将初始条件代入简谐振动模型方程，得到d^2x/dt^2 + 4x = 0。
然后解这个二阶常微分方程，得到x = 1 * cos(2t)。
代入t = 2，可求得振子在t = 2s时的位移为x = 1 * cos(4)。
著名的微分方程
著名的微分方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理、工程、生物学等领域。
著名的微分方程不计其数，下面我将介绍几个具有代表性的微分方程。
1.一阶线性微分方程一阶线性微分方程是微分方程中最基本的类型之一。
它的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知的函数。
这个方程的解可以通过求解一个一阶的常微分方程得到。
2.二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程是一个具有形式为：ay'' + by' +cy = 0的方程。
其中a、b、c都是常数。
这个方程的解可以用特征方程的根来表示。
3.二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程是指具有形式为：ay'' + by' + cy =f(x)的方程。
其中f(x)是一个已知的函数。
这个方程的解可以通过特解和齐次解的线性组合得到。
4.指数衰减方程指数衰减方程是一种特殊的微分方程，具有形式为：dy/dx = -ky。
其中k是一个正常数，代表衰减速率。
它的解可以表示为y = Ce^(-kx)，其中C是一个常数。
5.生长方程生长方程是描述物种或人口数量随时间变化的微分方程。
常见的生长方程包括：指数增长方程、logistic方程和Gompertz方程等。
这些方程可以通过多种方法求解，例如分离变量法、线性变换法等。
6.波动方程波动方程是描述波动现象的微分方程，具有形式为：∂^2u/∂t^2 =c^2 ∂^2u/∂x^2。
其中u是波动的振幅，t和x分别表示时间和空间坐标。
这个方程描述了波在空间和时间上的传播。
以上只是介绍了微分方程的一些基本类型和应用领域的几个例子，实际上微分方程的研究内容非常丰富。
在数学领域，还有很多著名的微分方程定理和解法，例如：皮卡定理、格林函数法、变分法等。
微分方程的研究不仅有助于理解自然规律和现象，也为科学和工程领域提供了重要的分析工具。
微分方程的经典模型
模型分析
问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重 （记为W）关于时间t的函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可微函数， 我们就能找到一个含有的
dW 微分方程。 dt
模型假设
W0 ； 1.W ( t ) 表示 t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为 2. W ( t ) 关于 t 连续而且充分光滑；
模型建立
游击作战模型的形式：
，
(t) f (x, y) x (t) g(x, y) y x(0) x , y(0) y 0 0
, 由假设2、3，甲乙双方的战斗减员率分别为
f(x ,y ) c x y
g (x ,y )dxy
结合以上两表达式，并代入 c、d 的值，可得游击作战的数学模型
或被歼灭）的一方为败。因此，如果 K K0 ，则乙的兵力减少到
甲方兵力降为“零”，从而乙方获胜。同理可知， K0
K0 胜。而当
a
时
时，甲方获
时，双方战平。
2 2 bx ay 0 甲方获胜的充要条件为 0 0
代入a 、b 的表达式，进一步可得甲方获胜的充要条件为
2 2 r p x r p y x x 0 y y 0
模型建立 根据假设得到一般的战争模型
x ( t) f( x ,y ) x u ( t) y ( t) g ( x ,y ) y v ( t) x ( 0 )x , y ( 0 )y 0 0
正规作战模型
模型假设
1.不考虑增援，并忽略非战斗减员；
得：
其解为：
i(t) i0e
k0t
模型分析与解释
这个结果与传染病初期比较吻合，但它表明病人人数将按指数规律 无限增加，显然与实际不符
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型引言微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然界中的各种现象和规律。
微分方程模型是一类特定形式的微分方程，常用于解决实际问题。
本文将介绍几个常见的微分方程模型，并讨论它们在不同领域中的应用。
1. 简单增长模型简单增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率。
这个模型可以应用于人口增长、细菌繁殖等问题。
例如，在人口学中，我们可以使用简单增长模型来预测未来人口数量的变化趋势。
2. 指数衰减模型指数衰减模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数衰减的规律。
它可以用以下形式表示：dNdt=−rN其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示衰减率。
这个模型可以应用于放射性元素的衰变、药物的消失等问题。
例如，在医学中，我们可以使用指数衰减模型来预测药物在人体内的浓度随时间的变化。
3. 指数增长模型指数增长模型描述了一个系统中某个物质或某个群体数量随时间指数增长的规律。
它可以用以下形式表示：dN dt =rN(1−NK)其中，N表示物质或群体的数量，t表示时间，r表示增长率，K表示系统的容量。
这个模型可以应用于生态学中研究种群数量随时间变化的问题。
例如，在生态学中，我们可以使用指数增长模型来研究某种生物在特定环境下的种群动态。
4. 鱼类生长模型鱼类生长模型描述了鱼类体重随时间变化的规律。
它可以用以下形式表示：dW dt =rW(1−WK)其中，W表示鱼类的体重，t表示时间，r表示生长速率，K表示饱和重量。
这个模型可以应用于渔业学中研究鱼类养殖和捕捞的问题。
例如，在渔业学中，我们可以使用鱼类生长模型来预测鱼类的生长轨迹和最优捕捞量。
5. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间变化的规律。
它可以用以下形式表示：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)表示物体在位置x处、时间t时的温度，α表示热扩散系数。
微分方程模型
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
常见的微分方程模型
常见的微分方程模型微分方程是数学的一个重要分支，广泛应用于自然科学和工程领域。
它描述了物理现象、社会问题和自然现象的变化规律，能够帮助我们理解和预测各种现象的发展趋势。
下面将介绍一些常见的微分方程模型。
1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是最简单且常见的微分方程之一。
它可以描述许多实际问题，比如放射性衰变、人口模型等。
一阶线性微分方程的一般形式可以写为dy/dt = f(t) * y + g(t)，其中f(t)和g(t)是已知函数，y是未知函数。
2. 指数衰减模型指数衰减模型是描述某种变化过程的常见微分方程。
它可以用来描述放射性物质的衰变、人口增长的趋势等。
指数衰减模型的一般形式是dy/dt = -ky，其中k是常数。
这个方程表示y的变化速率与y本身成比例，且反向。
3. 扩散方程扩散方程是描述物质或能量传递过程的微分方程。
它可以用来研究热传导、扩散现象等。
扩散方程的一般形式是∂u/∂t = D ∇²u，其中u是未知函数，D是扩散系数，∇²是Laplace算子。
这个方程表示u 的变化率与u的二阶导数成正比。
4. 多体问题多体问题是描述多个物体之间相互作用的微分方程模型。
它可以用来研究天体运动、分子碰撞等问题。
多体问题的方程通常包括牛顿第二定律和对应的初始条件，如F = ma和相关的速度、位置初值条件。
5. 随机微分方程随机微分方程是考虑了随机因素的微分方程模型。
它可以用来研究金融市场的波动、生态系统的不确定性等。
随机微分方程的方程形式通常会引入一个随机项，如dy/dt = f(t, y) dt + g(t, y) dW，其中dW是布朗运动，表示随机项。
以上介绍的是一些常见的微分方程模型，它们在理论和实际应用中都具有重要的地位。
通过研究这些模型，我们可以深入理解各种现象背后的数学规律，并且为实际问题提供解决方案。
微分方程模型不仅有助于推动数学的发展，还在科学研究、工程设计和技术创新等领域中发挥着重要作用。
各类常微分方程模型分析
各类常微分方程模型分析常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是数学中的一个重要分支，是描述物理、化学、生物等自然界现象的一种数学工具。
而ODE模型就是从ODE方程构建出来的数学模型，是理解自然现象、预测未来趋势、设计优化控制策略的基础。
本文将介绍几种常见的ODE模型及其应用，希望能够对读者深入理解ODE模型的构建和分析提供启发和帮助。
一、指数增长模型指数增长模型是ODE中最简单的一种，它描述的是某个物种数量在到达一定条件后呈指数增长趋势的现象。
常见应用是在生态学和人口学领域中，例如病毒感染人群数量、野生动物种群数量等的变化趋势。
其ODE方程形式如下：$$\frac{dN}{dt}=rN$$其中，$N$表示物种数量，$t$表示时间，$r$表示物种增长率。
解析解为：$$N=N_0*e^{rt}$$其中，$N_0$表示初始数量。
二、洛伦兹模型洛伦兹模型是ODE中的一个著名模型，由美国数学家洛伦兹于1963年提出，它描述的是某个系统中两个变量之间的交互作用，例如空气中湍流的运动。
其ODE方程形式如下：$$\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)$$$$\frac{dy}{dt}=x(\rho-z)-y$$$$\frac{dz}{dt}=xy-\beta z$$其中，$x,y,z$为三个变量，$\sigma,\rho,\beta$为常数。
洛伦兹模型的解决方式是数学上的数值计算方法，例如欧拉方法、改进的欧拉方法、梯形法、龙格库塔法等。
三、容器模型容器模型是ODE中的一个典型模型，它描述的是容器内流体的动力学行为，例如饮水机里水的流动、石油管道中石油的流动等。
其ODE方程形式如下：$$\frac{dV}{dt}=Q_{in}-Q_{out}$$其中，$V$表示容器内的液体体积，$t$表示时间，$Q_{in}$表示进入容器内的流量，$Q_{out}$表示从容器内流出的流量。
著名的微分方程
著名的微分方程
以下是一些著名的微分方程：
1. 欧拉方程（Euler's equation）：描述了理想流体的运动。
它
是一个二阶非线性常微分方程。
2. 黑-斯科达方程（Black-Scholes equation）：用于金融领域的
期权定价模型，描述了证券价格变化的随机过程。
3. 热传导方程（Heat equation）：描述了温度分布随时间和空
间的变化，常用于描述热传导现象。
4. 波动方程（Wave equation）：描述了波动现象，比如声波、电磁波等在空间中传播的方式。
5. 拉普拉斯方程（Laplace's equation）：描述了没有源或汇的
场的静态分布，常出现在电势、温度等问题中。
6. 斯托克斯方程（Stokes equation）：描述了低速流体流动的
运动方程。
7. Navier-Stokes方程（Navier-Stokes equation）：描述了流体
的运动，是流体力学领域的基本方程之一。
8. 昆虫飞行方程（Equation of insect flight）：用于描述昆虫在
飞行中的空气动力学行为的微分方程。
以上只是一小部分著名的微分方程，微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学、经济学等各个领域。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
微分方程模型
微分方程模型一、 一阶常微分方程模型在很多实际问题的研究中，经常要涉及各变量的变化率问题。
这些问题的解决通常要建立相应的微分方程模型。
微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理，力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学，人口预测等社会科学方面的应用则是在类比，假设等措施下建立起来。
（一）人口模型人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可微性。
但由于短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。
基于此原因，为了成功应用数学工具，我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。
此假设条件在非自然科学的问题中常常用到。
1、指数增长模型（Malthus 人口模型）美国人口学家Malthus(1766-1834)于1798年根据百余年人口统计资料提出了著名的人口指数增长模型。
模型假设：在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成比。
模型建立：设)(t N 为t 时刻的人口述，考察时间区间t t ∆+上的人口变动。
t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(令0→∆t 可以得到微分方程模型⎪⎩⎪⎨⎧=>=00)(0,N r N r rN dt dN 可以解得此方程的解为)(00)(t t r e N t N -=模型分析和应用：(1)当0>r 时，人口将随着时间的增加无限的增长，这是一个不合理的模型，因为一个环境的资源不可能容纳无限增长的人口，从生态环境的角度分析也可以看出其中的不合理性。
一般说来，就一个种群的发展规律看，在种群的发展初期种群数的变化是和指数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年增长率递增的现象），但是随着人口数的增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的现象。
再考虑到环境适应程度的制约，想象人口的增长不可能超过某个度。
(2)对于其中常数增长率r 的估计可以使用拟合或者参数估计的方法得到。
(3)在实际情况下，可以使用离散的近似表达式t r N t N )1()(0+=作为人口的预测表达式。
微分方程数学模型应用举例
微分方程数学模型应用举例
1. 生物学模型：微分方程可以用于描述生物系统中的各种动态过程。
例如，Lotka-Volterra模型是一种描述捕食者和被捕食者之间相互作用的微分方程模型，可以用于研究食物链中物种的数量和相互关系。
2. 经济学模型：微分方程可以用于描述经济系统中的各种变化和趋势。
例如，Solow增长模型是一种描述经济增长和资本积累的微分方程模型，可以用于分析国家经济发展的长期趋势。
3. 物理学模型：微分方程可以用于描述物理系统中的各种动态过程。
例如，带有阻尼和驱动力的简谐振动可以用二阶线性常微分方程来描述，可以用于研究机械系统中的振动现象。
4. 化学反应动力学模型：微分方程可以用于描述化学反应中物质浓度随时间变化的关系。
例如，化学反应速率方程可以用一阶或二阶线性微分方程来描述，可以用于研究化学反应速率的变化规律。
5. 环境科学模型：微分方程可以用于描述环境系统中的各种变化和相互作用。
例如，Black-Scholes模型是一种描述金融市场中期权价格变化的微分方程模型，可以用于分析金融市场的波动和风险。
6. 工程科学模型：微分方程可以用于描述工程系统中的各种动态过程。
例如，控制系统中的传递函数可以用微分方程表示，可以用于研究系统的稳定性和响应特性。
这些只是微分方程在数学模型中的一些应用举例，实际上微分方程在各个学科领域中都有广泛的应用。
几种重要的微分方程应用模型
生态竞争模型的解可以表现出多种动态行为，如周期振荡和混沌运动等， 取决于物种之间的竞争参数。
斐波那契序列模型
01
斐波那契序列是一个经典的数学序列，每个数字是前两个数字 的和。
02
斐波那契序列模型可以用于描述许多自然现象，如植物生长、
模型等。
02 线性微分方程模型
线性微分方程的解法
分离变量法
通过将方程中的未知函数和其导数分 离到等式的两边，从而将微分方程转 化为代数方程。
变量代换法
通过引入新的变量来简化微分方程， 例如使用积分因子或积分因子法。
参数法
当微分方程中包含参数时，可以通过 令参数等于某个特定的值来求解微分 方程。
幂级数法
拉普拉斯变换法
将高阶微分方程转化为代数方 程，适用于初值问题和具有特
定边界条件的问题。
阻尼振动模型
1 2
线性阻尼
阻尼力与速度成正比，导致振动逐渐减小并趋于 静止。
非线性阻尼
阻尼力与速度的幂函数相关，如速度的二次方、 三次方等，导致振动表现出不同的非线性行为。
3
阻尼振动应用
描述机械系统、电磁振荡器等物理系统的振动现 象，用于预测系统的稳定性和动态响应。
热传导方程的一般形式为：$frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u$，其中 $u$ 表示温度分布，$alpha$ 是热扩散系数，$nabla^2$ 表示拉普拉斯算子。
波动方程模型
01
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，如声波、光波和水 波等。
02
它的一般形式为：$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u$，其中 $u$ 表示波动场，$c$ 是波速。
微分方程的应用解决实际问题
微分方程的应用解决实际问题微分方程（differential equation）是研究自变量与其导数之间关系的方程，它在物理、工程、经济等各个领域具有广泛的应用。
通过对微分方程的求解，我们可以获得关于变量的函数，并使用这些函数解决实际问题。
本文将探讨微分方程在实际问题中的应用，并介绍其中一些经典的例子。
一、人口增长模型人口增长模型是微分方程在生物学和人口统计学中的重要应用之一。
假设一个封闭的人口系统，不考虑人口迁移和死亡，仅考虑人口的出生与人口的自然增长，可以建立如下微分方程：dp/dt = rp其中，p表示人口数量，t表示时间，r表示人口的增长速率。
这个简单的微分方程描述了人口的变化率和人口数量之间的关系。
通过解这个微分方程，我们可以预测未来的人口数量，进行人口规划。
二、弹簧振动模型弹簧振动是物理学中经典的问题，通过微分方程可以精确描述。
考虑一个带质量的弹簧系统，弹簧的位移与时间的关系可以由如下的二阶微分方程表示：m(d^2x/dt^2) + kx = 0其中，m表示质量，k表示弹簧的劲度系数，x表示位移。
这个微分方程描述了弹簧振动的力学原理。
通过求解这个微分方程，我们可以得到弹簧的振动频率和振幅等信息，以及在真实的弹簧系统中进行振动控制和设计。
三、放射性衰变问题放射性衰变是核物理学中的重要研究内容，也可以通过微分方程来描述。
放射性核素的数量随时间的变化满足以下微分方程：dp/dt = -λp其中，p表示放射性核素的数量，t表示时间，λ表示衰变常数。
这个微分方程描述了放射性核素的衰变速率与剩余核素数量之间的关系。
通过求解这个微分方程，我们可以计算出放射性核素的衰变速率、半衰期等相关信息，为核能研究和核工业提供重要的理论支持。
四、热传导问题热传导是热力学和材料科学中的重要问题，在微分方程的框架下可以得到精确的解析解。
考虑一个一维热传导问题，热传导方程可以表示为：d^2u/dx^2 = α(du/dt)其中，u表示温度场，x表示空间坐标，t表示时间，α表示热传导系数。
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
微分方程模型及其应用
微分方程模型及其应用微分方程模型及其应用微分方程模型及其应用摘要：微分方程模型应用于解决实际问题有非常大的研究空间，本文重点讨论了微分方程的原理，微分方程思想对于解决现实问题的启示以及现实生活中利用微分方程模型解决具体问题的案例，旨在进行微分方程理论学习之余提出自己的一些思考。
关键词：微分方程;模型;应用对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个(偏)微分方程或方程组。
所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。
一、微分方程数学原理解析在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。
要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。
这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。
微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。
随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。
而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述)，即用数学式子(如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等)来描述(表述、模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
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高等数学
05-06-29
例 设一容器内有400L盐溶液，其 中含盐25g，以16L/min的速率向容 器内注入每升含有1.5g盐的盐水溶液， 采用搅拌使容器内各部分具有相同 的浓度，并同时以8L/min的速率从 容器中排出溶液，求 t 时刻容器内溶 液的含盐量。
高等数学
05-06-30
例 有一容器内盛盐水100L，含盐 50g，现将每升含盐量2g的盐水以每 分钟5L的速率注入容器并不断地搅 拌使混合液迅速达到均匀，问在任 一时刻 t 容器内的含盐量 x(t) 是多少？
高等数学
05-06-31
例 有一容器内盛盐水100L，含盐 50g，现将清水以每分钟5L的速率注 入容器并不断地搅拌使混合液迅速 达到均匀，同时混合液以相同的速 率流出容器，问在任一时刻 t 容器内 的含盐量 x(t) 是多少？
高等数学
05-06-32
课堂讨论题 一容器内有100L盐溶 液，其中含盐54g，清水以3L/min的 速度流入容器，以相同的速度流出， 采用搅拌以使容器内各部具有相同 的浓度，求在任一时刻 t 及1h后容器 内的含盐量是多少？
高等数学
05-06-16
二、药物动力学室模型 （1）快速静脉推注 （2）口服给药 （3）静脉滴注
高等数学
05-06-17
设 x(t) 为体内 t 时刻的药量，D 为一次注射的剂量，k>0 为消除速率 常数，V 为室的理论容积，称为表 观分布容积。 D
dx kx kt x(t ) De dt x ( 0) D
V V0 eΒιβλιοθήκη 0a(1 e
at
)
V V0 e
当 at+ 时
0t
0
a
Vmax V0 e
高等数学
05-06-41
V
V0 e
0
a
指数曲线
Gompertz曲线
O
t
高等数学
05-06-42
小结：数学模型，数学建模 建立数学模型的方法和步骤 放射性同位素衰变模型 药物动力学室模型（快速静脉推 注，口服给药，静脉滴注） 牛顿冷却模型 溶液连续稀释模型 种群增长模型 肿瘤生长的数学模型
答：船速每小时20千米。
高等数学
05-06-05
航行问题建立数学模型的基本步骤： 1.作出简化假设（船速、水速为常数）； 2.用符号表示有关量（x,y 表示船速和水 速）； 3.用物理定律（匀速运动的距离等于速 度乘以时间）列出数学式子（二元一次 方程）； 4.求解得到数学解答（x=20, y=5）； 5.回答原问题（船速每小时20千米）。
V x(t)
k
高等数学
05-06-18
血药浓度半衰期（生物半衰期）
C
ln 2 0.693 T k k
C ( t ) C0 e
kt
C0
C0/2 O
T
t
高等数学
05-06-19
例 用某药进行静脉注射，其血药浓 度下降是一级速率过程。第一次注 射后，经一小时浓度降至初始浓度 的 2 2 ，问要使血药浓度不低于初 始浓度的一半，问经过多长时间要 进行第二次注射？
高等数学
05-06-09
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
高等数学
05-06-10
一、放射性同位素衰变模型 二、药物动力学室模型 三、牛顿冷却模型
四、溶液连续稀释模型
五、种群增长模型 六、肿瘤生长的数学模型
高等数学
05-06-11
一级反应 若化学反应速率与反应物的浓 度成正比，称为一级反应。
如果在有限生存资源下，能够维持种 群生存的最大数量为 M，此值也称作饱和 种群量。种群未饱和程度可以用 (MN)/M 表示，则种群相对增长速率正比于 (MN)/M，这时描述种群增长的方程为
N 1 dN r (1 ) M N dt N |t 0 N 0
高等数学
高等数学
05-06-01
第六节 几种重要的 微分方程应用模型
高等数学
05-06-02
数学模型(mathematical model) 对于一个现实对象，为了一个 特定的目的，根据其内在规律，作 出必要的简化假设，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构称为 数学模型。
高等数学
05-06-03
数学建模(mathematical modeling) 建立数学模型的全过程（包括 表述、求解、解释、检验等），称 为数学建模。
高等数学
05-06-06
建立数学模型的方法和步骤：
（1）模型准备 在建模前应对实际问题 的背景有深入的了解，明确所要解决问 题的目的，并收集已有的各种资料和数 据。 （2）模型假设 由于实际问题错综复杂， 涉及面广，必须先将问题理想化，简单 化，即抓住主要因素，暂不考虑次要因 素，这是建模的关键一步。
一级速率过程 在某一变化过程中，一个量的 变化速率与当时的量成正比，称这 种动力学过程为一级速率过程。
高等数学
05-06-12
半衰期 在某一变化过程中物质剩余的 量变为初始量的一半时所用的时间， 称为半衰期。
高等数学
05-06-13
例 在中东巴勒斯坦地区一个山洞里 发现的古人骨中，同位素14C与12C之 14 比仅为活组织的 6.24% ，已知 C 每 年衰减1/8000，试问此人活在多少年 前？
05-06-35
流行病传播模型
如果感染通过一个团体内成员之 间的接触而传播，感染者不因死亡、 痊愈或隔离而被移除，易感染者最 终将成为感染者，则由此建立的模 型称为无移除的简单模型。
高等数学
05-06-36
某种上呼吸道感染的流行
记时刻 t 的易感人数和感染人数分别为 S，I， 并假设一个团体是封闭的，总人数为 N，不妨假 定开始时只有一个感染者，且团体中各成员之间 接触均匀，因而感染者的变化率和易感染者转为 感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的 乘积成正比。根据以上假定，可建立如下数学模 型
dI SI dt S N I
高等数学
05-06-37
由实验观察知道，细胞分裂时， 如果没有外界条件的限制，细胞的生 长速率与当时的细胞体积成正比。假 设 t 时刻的细胞体积为V(t)，则
dV V dt
高等数学
05-06-38
由实际经验知道，随着肿瘤的 增大，肿瘤细胞的生长速率 随时 间 t 增大而减小，其减小速率与当时 的大小成正比，比例系数为常数 a(a≥0)。于是，得到模型
高等数学
05-06-33
单一种群自然增长模型
在一定条件下，种群相对增长速率 与种群大小无关，是一个正常数 r，它 代表种群自然增长的能力，也称为自然 增长率。这时描述种群增长的方程为
1 dN r N dt N |t 0 N 0
高等数学
05-06-34
有限资源下单一种群增长模型
高等数学
05-06-20
设 xa—胃肠道（吸收部位）的药量 D x — 体内的药量 F Ka Ka— 吸收速率常数 K — 消除速率常数 V F — 所给剂量 D 中可吸收的分 x(t) 数，称为生物利用度(0F1)。
K
高等数学
05-06-21
初始条件 dxa K x a a dt xa (0) FD dx K x Kx x(0) 0 a a dt K a FD Kt K at x(t ) (e e ) Ka K
Cmax FD Kt m e V
O
tm
t
高等数学
05-06-24
设以恒定速率 k0 作静脉滴注 k0 V x(t) k
dx k 0 kx dt x(0) 0
k0 kt x(t ) (1 e ) k
高等数学
05-06-25
k0 Vk
C
k0 kt C (t ) (1 e ) Vk
dV V dt d a dt
高等数学
05-06-39
若 a=0，得
V V0 e
若 a>0，得
At
V V0 e
0
a
(1 e
at
)
上式称为高姆帕茨(Gompertz)函数。
高等数学
05-06-40
高姆帕茨(Gompertz)函数 当 at0 时
高等数学
05-06-22
K a FD K at Kt C (t ) (e e ) V (Ka K )
C
Cmax
AUC
0
FD C (t )dt VK
药物吸收的总量
O t
高等数学
05-06-23
Ka 1 ln 达峰时间 t m Ka K K
C Cmax
峰浓度
高等数学
05-06-14
室模型 是将整个机体设想成若干个房 室，认为药物在体内的吸收、分布、 代谢、消除的过程在房室之间进行， 并假设药物在房室中的分布是均匀 的。
高等数学
05-06-15
一室模型 是将机体看成一个动力学上同 质的单元，它适合于给药后，药物 立即进入血液循环，并能在瞬间分 布全身和达到动态平衡，并以一定 的速率从该室消除的情况。
高等数学
05-06-07
（3）模型构成 在所假设的基础上， 分清变量类型，利用适当的数学工 具刻划各变量之间的关系，建立相 应的数学模型。 （4）模型求解 根据建立的数学模 型，给出相应的数学求解方法，如 解方程，画图形，数值计算，利用 计算机技术等。
高等数学
05-06-08
（5）模型分析和检验 将所得的结 果与实际情况作分析比较，用已有 数据去验证，判断模型的正确性。 如果由模型分析或计算出来的理论 或数值与实际问题或实际数值较吻 合，则模型成功；如果两者差别很 大，则模型失败，需要重新修改模 型。