数学：20.2矩形的判定课件(华师大版八年级下)
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A D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B
C
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
P110练习 1． 如图，AB、CD是⊙O的两条直径，四边形 ACBD是矩形吗？证明你的结论．
A O D
∴四边形ABCD是矩形
B
C
例3：已知，如图．矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分 别是AO、BO、CO、DO的中点， 求证：四边形EFGH是矩形．
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD（矩形的对角相等）， AO＝BO＝CO＝DO（矩形的对角线互相 平分）. ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、 DO的中点， ∴ OE＝OF＝OG＝OH， ∴ 四边形EFGH是平行四边形（对角线互 相平分的四边形是平行四边形）． ∵ EO＋OG＝FO＋OH， 即EG＝FH， ∴ 四边形EFGH是矩形（对角线相等的平 行四边形是矩形）．
情境一：李芳同学有
“边——直角、边——直角、 边——直角、边”这样四步， 画出了一个四边形，她说这 就是一个矩形，她的判断对 吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？ 提示：用“有一个角是 直角的平行四边形是矩 形”去证
矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 .
证明：∵AO=BO,CO=DO （圆的相等半径） ∴四边形ABCD是平行四边形 （对角线互相平分的四边形 是平行四边形） ∵AB=CD(圆的直径相等） ∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等的平行四边形是矩形）
（第 1 题）
2． 如图， ABCD中，∠1=∠2.此时四边形 ABCD是矩形吗？为什么？
解：∵ ABCD ∴AO=CO,BO=DO （第 2 题） （平行四边形对角线互相平分） ∵ ∠1=∠2 ∴AO=BO（等角对等边 ） ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）
∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线 长是 5 cm P A E F 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB 、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ ACN、 B MCA、 ∠ D ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C） M N C A 菱形 B 平行四边形 Q C 矩形 D 不能确定
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形
D
C
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分Hale Waihona Puke Baidu四边形是矩形.） 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AC=BD （或OA=OC=OB=OD）
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
X X X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
试一试
• 四边形ABCD是矩形
D
O
C
1 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ 10 40° ㎝ OB=
A
B
5
㎝
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50° ∠OBA= ∠AOB= 100° ∠AOD= 80° 28
㎝
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ 48 矩形的面积＝ ㎝2 4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=
情境一：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. A 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
2. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与 ∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证： AB=DE. 证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2 (等腰三角形三线合一） 1 2 ∵ AE平分∠BAF F ∴ ∠2= ∠BAF/2 0 ∵ ∠ BAC + ∠ BAF=180 （第 2 题） ∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900 ∵ BE⊥AE ∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900 ∴四边形BDAE是矩形（有三个角 是直角的四边形是矩形）
20.2 矩形的判定
复习回顾
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
A
D
O
边
矩形对边平行且相等；
B
C
角
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
对角线
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
P110习题20．2 1． ABCD中，AB=6, BC=8, AC=10.求证 四边形ABCD是矩形.
证明：∵ AB=6,BC=8,AC=10 且62+82=102 ∴AB2+BC2=AC2 ∴ ∠B=900（勾股定理逆定理 ） ∵ ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形 （第 1 题） (有一个角是直角的平行四边形是矩形)
3． 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点， 矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到 矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．
提示：过点P分别作 PE⊥AC,PF⊥BD,分别交 AC,BD于点E,F.设AC与BD 相交于O,连结PO,利用 ⊿PAO与⊿PDO的面积之 和是矩形面积的四分之一， 求得结果为120/17.
（第 3 题）
12
㎝
试一试
A
已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线
B
D
┓
C
1 若BD=3㎝则AC＝
6
㎝
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ BD＝ 5 ㎝，∠BDC＝
10
㎝，
120°
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形. ABCD ∠A=900 四边形ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例4： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那 么这个四边形是矩形．
已知：如图， ABCD的四个内角的平 分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B
C
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
P110练习 1． 如图，AB、CD是⊙O的两条直径，四边形 ACBD是矩形吗？证明你的结论．
A O D
∴四边形ABCD是矩形
B
C
例3：已知，如图．矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分 别是AO、BO、CO、DO的中点， 求证：四边形EFGH是矩形．
证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD（矩形的对角相等）， AO＝BO＝CO＝DO（矩形的对角线互相 平分）. ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、 DO的中点， ∴ OE＝OF＝OG＝OH， ∴ 四边形EFGH是平行四边形（对角线互 相平分的四边形是平行四边形）． ∵ EO＋OG＝FO＋OH， 即EG＝FH， ∴ 四边形EFGH是矩形（对角线相等的平 行四边形是矩形）．
情境一：李芳同学有
“边——直角、边——直角、 边——直角、边”这样四步， 画出了一个四边形，她说这 就是一个矩形，她的判断对 吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？ 提示：用“有一个角是 直角的平行四边形是矩 形”去证
矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 .
证明：∵AO=BO,CO=DO （圆的相等半径） ∴四边形ABCD是平行四边形 （对角线互相平分的四边形 是平行四边形） ∵AB=CD(圆的直径相等） ∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等的平行四边形是矩形）
（第 1 题）
2． 如图， ABCD中，∠1=∠2.此时四边形 ABCD是矩形吗？为什么？
解：∵ ABCD ∴AO=CO,BO=DO （第 2 题） （平行四边形对角线互相平分） ∵ ∠1=∠2 ∴AO=BO（等角对等边 ） ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）
∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线 长是 5 cm P A E F 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB 、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ ACN、 B MCA、 ∠ D ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C） M N C A 菱形 B 平行四边形 Q C 矩形 D 不能确定
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形
D
C
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分Hale Waihona Puke Baidu四边形是矩形.） 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AC=BD （或OA=OC=OB=OD）
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
X X X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
试一试
• 四边形ABCD是矩形
D
O
C
1 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ 10 40° ㎝ OB=
A
B
5
㎝
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50° ∠OBA= ∠AOB= 100° ∠AOD= 80° 28
㎝
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ 48 矩形的面积＝ ㎝2 4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC=
情境一：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. A 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
2. 如图，△ABC中，AB=AC, AD、AE分别是∠A与 ∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证： AB=DE. 证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2 (等腰三角形三线合一） 1 2 ∵ AE平分∠BAF F ∴ ∠2= ∠BAF/2 0 ∵ ∠ BAC + ∠ BAF=180 （第 2 题） ∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900 ∵ BE⊥AE ∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900 ∴四边形BDAE是矩形（有三个角 是直角的四边形是矩形）
20.2 矩形的判定
复习回顾
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
A
D
O
边
矩形对边平行且相等；
B
C
角
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
对角线
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
P110习题20．2 1． ABCD中，AB=6, BC=8, AC=10.求证 四边形ABCD是矩形.
证明：∵ AB=6,BC=8,AC=10 且62+82=102 ∴AB2+BC2=AC2 ∴ ∠B=900（勾股定理逆定理 ） ∵ ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形 （第 1 题） (有一个角是直角的平行四边形是矩形)
3． 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点， 矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到 矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．
提示：过点P分别作 PE⊥AC,PF⊥BD,分别交 AC,BD于点E,F.设AC与BD 相交于O,连结PO,利用 ⊿PAO与⊿PDO的面积之 和是矩形面积的四分之一， 求得结果为120/17.
（第 3 题）
12
㎝
试一试
A
已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线
B
D
┓
C
1 若BD=3㎝则AC＝
6
㎝
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ BD＝ 5 ㎝，∠BDC＝
10
㎝，
120°
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形. ABCD ∠A=900 四边形ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例4： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那 么这个四边形是矩形．
已知：如图， ABCD的四个内角的平 分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD