极化恒等式在向量问题中的应用专题

极化恒等式在向量问题中的应用专题

阅读以下材料：

.

两倍等于两条邻边平方和的平方和

平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）

()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）

（1）（2）两式相加得：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？

b a ⋅＝()()

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4

1. 即：[]

2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？

因为AM AC 2=，所以224

1DB AM b a -=⋅（三角形模式） 例 1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则

AB AC ⋅=____ .

解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-1004

1⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

目标检测

M

图1 A

B C

M

.

________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为

正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，

且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB

（也可用正弦定理求AB ）

又由极化恒等式得：

因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD

当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD

所以]6,2[-∈⋅PB PA

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。

目标检测

例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =

，且对于边AB 上任一点P ，恒有00

PB PC P B PC ⋅≥⋅。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠=

C . AB AC =

D . AC BC =

目标检测

课后检测

1.在ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，3BC =，D 在线段AC 上运动，DA DB ⋅的最小值

为

2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()PA PB PC +⋅的最小值为（ ）

A. 14-

B. 13-

C. 12

- D. 1- 3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ⋅的最大值为

4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2

221(0)x y a a

-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点则OP FP ⋅的取值范围是 .

5．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则)(PB PA PC +⋅的最小 值是 .

6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，

点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλ，则CN CM ⋅的取值范围是（ ）

A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21

B ．[)1,1-

C ．⎪⎭

⎫⎢⎣⎡-0,43 D ．[)0,1- 7. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-21,21 8．在锐角ABC ∆中，已知3B π

=，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围是 ．