三角函数公式大全(很详细)

高中三角函数公式大全[图]
1 三角函数的定义三角形中的定义
图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
正弦函数
r
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
2 转化关系倒数关系
平方关系
2 和角公式
3 倍角公式、半角公式倍角公式
半角公式
万能公式
4 积化和差、和差化积积化和差公式
证明过程
首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。

证明过程见《》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）
则
sin(α-β)
=sin[α+(-β)]
=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα
=sinαcosβ-sinβcosα
于是
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）
将正弦的和角、差角公式相加，得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
则
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）
同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有
cos(α+β)=
sin[π/2-(α+β)]
=sin(π/2-α-β)
=sin[(π/2-α)+(-β)]
=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ
于是
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）
那么
cos(α-β)
=cos[α+(-β)]
=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式）
将余弦的和角、差角公式相减，得到
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
则
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2（“积化和差公式”之二）
将余弦的和角、差角公式相加，得到
c os(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
则
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2（“积化和差公式”之三）
这就是积化和差公式：
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2
和差化积公式
部分证明过程：
sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα
cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβ-c osαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinA/cosA
两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))三角函数和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)半角公式
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a] a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
常用公式表（一）
1。

乘法公式
（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2 (2)(a-b)²=a ²-2ab+b ² (3)(a+b)(a-b)=a ²-b ²
(4)a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) (5)a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²)
2、指数公式：
(1)a 0
=1 （a ≠0） （2）a P -=P a 1（a ≠0） （3）a m n
=m n a （4）a m a n =a n m + （5）a m ÷a n =n m a a =a n m - （6）（a m ）n =a mn
（7）（ab ）n =a n b n
（8）（b a
）n =n n
b a （9）（a ）2=a
（10）2a =|a| 3、指数与对数关系：
（1）若a b =N ，则N b a log = （2）若10b
=N ，则b=lgN
（3）若b e =N ，则b=㏑N
4、对数公式：
（1）b a b a =log , ㏑e b
=b （2）N a aN =log ，e
N
ln =N
（3）a
N
N a ln ln log = （4）a b b e a ln = （5）N M MN ln ln ln += （6）N M N M
ln ln ln
-= （7）M n M n ln ln = （8）㏑n M =M n
ln 1 5、三角恒等式：
（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²
（3）1+(cot α)²=(csc α)² （4）
αααtan cos sin = （5）αα
α
cot sin cos = （6）ααtan 1cot = （7）ααcos 1csc = （8）α
αcos 1
sec =
6、特殊角三角函数值：
7.倍角公式：
（1）αααcos sin 22sin = （2）α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
8.半角公式（降幂公式）：
（1）（2
sin α）2=2cos 1a - （2）（2
cos α）2
=2cos 1a +
（3）2
tan α
=a a sin cos 1+=a a cos 1sin +
9、三角函数与反三角函数关系：
（1）若x=siny ，则y=arcsinx （2）若x=cosy ，则y=arccosx （3）若x=tany ，则y=arctanx （4）若x=coty ，则y=arccotx
10、函数定义域求法：
（1）分式中的分母不能为0， （a 1
α≠0）
（2）负数不能开偶次方， （a α≥0） （3）对数中的真数必须大于0， （N a log N>0） （4）反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足：（--1≤x ≤1） （5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。

11、直线形式及直线位置关系： （1） 直线形式：点斜式：()00x x k y y -=-
斜截式：y=kx+b
两点式：12112
1
x x x x y y y y --=
--
（2）直线关系：111:b x k y l += 222:b x k y l +=
平行：若21//l l ，则21k k =
垂直：若21l l ⊥，则121-=⋅k k
常用公式表（二）
1、求导法则：（1）（u+v ）/
=u /
+v /
（2）（u-v ）/
=u /
-v /
（3）（cu ）/
=cu /
（4）（uv ）/
=uv /
+u /
v （5）2
v v u v u v u '
-'='
⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 2、基本求导公式：
（1）（c ）/
=0 （2）（x a
）/
=ax
1
-a （3）（a x ）/=a x
lna
（4）（e x ）/=e x （5）（㏒a x ）/=a x ln 1 （6）（lnx ）/
=x 1
（7）（sinx ）/
=cosx （8）（cosx ）/
=-sinx
（9）（tanx ）/=2)(cos 1
x =（secx ）2
（10）（cotx ）/=-2)(sin 1
x =-（cscx ）2
(11)(secx)/
=secx*tanx (12)(cscx)/
=-cscx*cotx
(13)(arcsinx)/
=211
x - (14)(arccosx)/
=-211
x -
(15)(arctanx)/=211x + (16)()2
11cot x
x arc +-
='
3、微分
（1）函数的微分：dy=y /
dx
（2）近似计算：|Δx|很小时，f ()x x ∆+0=f （x 0）+f /
（x 0）*x ∆
4、基本积分公式
（1）
kdx=kx+c （2）C x a dx x a a ++=
+⎰1
1
1 （3）c x dx x +=⎰ln 1
（4）C a
a dx a x x
+=
⎰ln （5）
⎰
+=c e dx e x
x （6）⎰+-=C x xdx cos sin
（7）⎰+=C x xdx sin cos （8）C x dx x
xdx +==⎰⎰
tan cos 1
sec 22 （9）
c x dx x xdx +-==⎰⎰
cot sin 1
csc 2
2
（10）
⎰
+=-c
x dx x arcsin 112
（11）c x dx x +=+⎰arctan 11
2
5、定积分公式：
（1）⎰⎰
=b
a
b
a
dt
t f dx x f )()( （2）⎰
=a
a
dx x f 0
)(
（3）()()dx x f dx x f a
b
b a
⎰⎰-= （4）⎰
⎰⎰+=b
a
c
a
b
c
dx
x f dx x f dx x f )()()(
（5）若f （x ）是[-a,a]的连续奇函数，则⎰
-=a
a
dx x f 0
)(
（6）若f （x ）是[-a,a]的连续偶函数，则:
6、积分定理：
（1）()()x f dt t f x
a ='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰
a
a
a
dx
x f dx x f 0
) ( 2 ) (
()()()()
()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎰2 （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则
)
()()()(a F b F x F dx x f b
a
b a -==⎰
7.积分表
()C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 1 ()C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 2 ()C a x
a dx x a +=+⎰arctan 11322 ()C a x dx x
a +=-⎰arcsin 1422 ()C a x a
x a dx a
x ++-=-⎰
ln 21152
2 8．积分方法
()()b ax x f +=
1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=
；设：t a x sin =
()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan =
()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv。