锁具装箱问题

标志 0810 0010 1012 0012 ... 0024 2426
第一箱装I=8的20个，I=10的40个，标志0810； 第二箱装I=60的60个，标志0010；其余类推。对 I为奇数的类似标志。
• 出售时，当购买不超过49箱时，只售出标 志为偶数者，且标志要互不相同。或者奇 偶都有时，其奇标志与偶标志的前两位， 后两位，不能相差1。
中至少有三个相异}
C (h1, h2, h3, h4 , h5 ) hi {1,2,3,4,5,6}, i 1,2,3,4,5}
A (h1, h2 , h3, h4 , h5 ) hi {1,2,3,4,5,6},且h1, h2 , h3, h4 , h5
中至多有两个相异}
B (h1, h2 , h3, h4 , h5 ) 存在i，使 hi hi1 5}
锁具装箱问题（1994年B题）
• 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙 有 5 个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4， 5，6}6个数（单位略）中任取一数。由于 工艺及其它原因，制造锁具时对5 个槽的高 度还有两个限制：
• 至少有3 个不同的数；
• 相邻两槽的高度之差不能为5。
• 满足以上条件制造出来的所有互不相同的 锁具称为一批。
任意装箱造成的抱怨度
• 从一批锁具中随机取60个装一箱，120个装 一箱，......，抱怨度可用所购的一箱或两箱 锁具中平均有多少对互开来衡量。
• 由于互开图的边数为？，而完全图K5880的 边数为？，故任两锁具互开的概率为？， 所以一箱锁具的平均互开对数为？。
• 两箱锁具的互开对数为？ • 一般地，k箱锁具的平均互开对数为？
V C AB
B D1 D2 D3 D4
Di (h1, h2 , h3, h4 , h5 ) hi hi1 5}
i=1,2,3,4
• 2、为销售部门提出一种方案，包括如何装 箱（仍是 60 个锁具一箱），如何给箱子以 标志，出售时如何利用这些标志，使团体 顾客不再或减少抱怨
• 构造图G，以一批锁具的全体为顶点，两顶 点连边当且仅当对应的锁具互开。称图G为 互开图。
装箱、标志和销售方案
• 每批锁具按槽高之和I分组，显然 I=8,9,...,27，即共分20组。设各组的锁具个 数为J(I)，通过编程算出J(I)的具体值。
• 两锁具互开，则二者必分别属于I值相邻的两组。 将I值为偶数的各组按上表顺序装49箱，并用I值标 记，如：
箱号 1
2
3
4 ... 48 49
他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你
为顾问，回答并解决以下的问题：
• 1） 每一批锁具有多少个，装多少箱。
• 2） 为销售部门提出一种方案，包括如何装箱 （仍是 60 个锁具一箱），如何给箱子以标志，
出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减 少抱怨。
• 3） 采取你提出的方案，团体顾客的购买量不超 过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。
• 命题：互开图为二部图，其划分为
5
X (h1, h2 , h3, h4 , h5 ) hi 是奇数} i 1 5
Y (h1, h2 , h3, h4 , h5 ) hi 是偶数} i 1
• 结论：对同一批锁具，将槽高之和为奇数、 偶数的分别装箱，并做“奇”（或1）“偶” （或0）的标志，只要购买不超过？箱时， 可保证不会出现互开的情况。
• 4） 按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体
顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出 具体结果）。
• 1、 每一批锁具有多少个，装多少箱。
Hale Waihona Puke Baidu
V (h1, h2 , h3, h4 , h5 ) hi {1,2,3,4,5,6}, hi hi1 5,且h1, h2 , h3, h4 , h5
• 两箱锁具的互开对数为？ • 一般地，k箱锁具的平均互开对数为？
任意装箱造成的抱怨度
• 从一批锁具中随机取60个装一箱，120 个装一箱，......，抱怨度可用所购的一 箱或两箱锁具中平均有多少对互开来衡 量。
• 由于互开图的边数为22778，而完全图 K概互5率开88为对0的数22边为778数2/2C为75287880C/，52C8805，2所880故以C任一620 。两箱锁锁具具互的开平的均
• 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具 中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前工 艺条件下，对于同一批中两个锁是否能够 互开，有以下试验结果：
• 若二者相对应的5 个槽的高度中有4 个相同， 另一个槽的高度差为1，则可能互开；
• 在其它情形下，不可能互开。
•
原来，销售部门在一批锁具中随意的取60
个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，