费马大定理的美妙证明教学提纲

费马大定理的美妙证

明

费马大定理的美妙证明

成飞

中国石油大学物理系

摘要：1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

0、费马大定理：

当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。

1、当n=1，X+Y=Z，有任意Z≥2组合的正整数解。任意a.b.c；只要满足方程X+Y=Z；

a,b.c 由空间平面的线段表示，有

a b

c

可见，线段a和线段b之和，就是线段c。

2、当n=2，X2+Y2=Z2，有正整数解，但不任意。

对于这个二次不定方程来说，解X=a,Y=b,Z=c，在空间平面中，a,b,c不能构成两线段和等于另外线段。

又因为，解要满足二次不定方程，解必然a+b>c且c>a,b。

可以知道，二次不定方程的解，a,b,c在空间平面中或许可以构成三角形，

B

c A

根据三角形余弦定理，有

c2=a2+b2-2ab× cosɑ ( 0<ɑ< π)

此时，a,b,c，即构成了三角形，又要满足二次不定方程X2+Y2=Z2 ，只有当且仅当ɑ=900，cosɑ=0,a,b,c构成直角三角形时 c2=a2+b2，既然

X=a,Y=b,Z=c，那么二次不定方程X2+Y2=Z2有解。

3、当n=3，X3+Y3=Z3，假设有正整数解。a,b,c就是三次不定方程的解，即

X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。

此时，a,b,c也必构成三角形，

根据三角形余弦定理，有

c2 = a2+b2-2ab× cosɑ ( 0<ɑ< π)

因为，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在[-1,1]内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60º，180º），由此我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，½）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b，

1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到，

c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内正分数；

等式两边同乘以c，有

c3 = a2c + b2c + mabc 因为c>a，b，那么

c3 > a3+ b3

2、当cosɑ=½，三角形余弦定理关系式得到，

c2 = a2+b2-ab 等式两边同乘以a+b，有

(a+b)c2 = a3+ b3

又因为a+b>c，

所以，c3 < a3+ b3 （根据三角形大角对大边，c>a，b，即ɑ不可能等于600）

那么，cosɑ=［0，½）时，更加满足c3 < a3+ b3

既然，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的解，又 a3+ b3≠ c3，

那么，X3+Y3≠Z3，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。

即，n=3时，X3+Y3=Z3 ，三次不定方程没有正整数解。

4、n>3, X n +Y n=Z n，假设有正整数解。a,b,c就是n次不定方程的解，即

X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c构成三角形，根据三角形余弦定理有，

c2 = a2+b2-2ab× cosɑ ( 0<ɑ< π)

因为，a,b,c是n次不定方程X n +Y n=Z n的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在［-1,1］内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60º，180º），我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，½）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b，

1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到，

c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内分数；

等式两边同乘以c n-2，有

C n = a2 c n-2 + b2 c n-2+ mabc n-2因为c>a，b，那么

C n > a n+ b n

2、当cosɑ=0，三角形余弦定理关系式得到，

c2 = a2+b2等式两边同乘以c n-2，有

c n-2c2 = c n-2a2+ c n-2b2

又因为a+b>c，c>a，b

所以，c3＞a3+ b3

那么，cosɑ=［0，½）时，更加满足c3＞a3+ b3

既然，a，b，c是n次不定方程X n +Y n=Z n的解，又c n > a n+b n，

那么，X n + Y n < Z n，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。

即，n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。

根据分析，c n=a2c n-2+b2c n-2+abc n-2, c>a，b ；可知，n越大，等式两边不对称也越大，其实当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程的正整数解，a，b，

c;a+b>c,且c>a，b,构成三角形可能性越小，或者说没有这样的正整数解可以构成三角形。

费马大定理，证毕！