数值分析第四章学习小结

第四章学习小结

本章为非线性方程与非线性方程组的迭代解法，由此可分为两大节4.1非线性方程的迭代解法和4.2非线性方程组的迭代解法。本章以人口增长模型为引言，由于在实际应用中只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值法求出它的根的近似值，本章将要介绍几种常用的有效的数值求根方法，它们都属于迭代法，因而还要讨论这些方法的收敛性和收敛速度。 4.1.1对分法 （1）基本思想：

①确定方程有根的区间；

②将区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列{}k x ，在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。收敛速度与公比为1

2

的等比数列的收敛速度相同。

(2)迭代终止条件

或者 (3)二分法的优缺点：

优点：程序简单，总能求出近似根，对()f x 要求不高。

缺点：收敛速度慢，只能求单根和奇数重根，不能求偶重根，复根。二分法一般用于对根求近似根。 4.1.2简单迭代法及其收敛性

迭代法的基本思想: 迭代法是一种逐次逼近法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使

12

a b x +=2k k b

a ε-<2

k k

k b a x s ε--≤

<⇔=0)(x f )(x x ϕ=1(),0,1,2,

k k x x k φ+==

之逐步精确化，最后得到满足精度要求的解。

迭代法的基本思想是将隐式方程()x x ϕ=的求根问题归结为计算一组显式公式1()k k x x ϕ+=，逐步过程实际上是一个逐步显示化的过程。 收敛性：若由迭代公式1().1,2,3...k k x x k ϕ+==产生的序列{}k x 收敛于x *，则x *是原方程的根。 收敛条件：

a ．非局部收敛性定理：设函数()[,]x C a

b ϕ∈，在（a ，b ）内可导，且满足两个条件：

（1）当[,]x a b ∈时，()[,]x a b ϕ∈；（2）当[,]x a b ∈时，'()1x L ϕ≤<，其中L 为一常数。则有如下结论：

（1）方程()x x ϕ=在[,]a b 上有唯一的根s ；

（2）对任取的0[,]x a b ∈，简单迭代法1()k k x x ϕ+=产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；

（3）成立误差估计式101k k L s x x x L -≤--或11k k k L

s x x x L

--≤-- 这种形式的收敛定理称为大范围收敛性定理，但当条件不够充分时，预先指定一个区间常常是不可能的。 b ．局部收敛性定理

设'(),()s s x ϕϕ=在包含s 的某个开区间内连续。如果'()1s ϕ<，则存在0δ>当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1()k k x x ϕ+=产生的序列

{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。

4.1.3简单迭代法的收敛速度

当k K ≥（某个正整数）时，

1k r

k

e c e +≤成立，则称序列{}k x 收敛于s 具有

r 阶收敛速度，简称{}k x 是r 阶收敛的。r 的大小反映了序列{}k x 收敛的快慢程度，r 越大收敛越快。r=1时称序列线性收敛的，r=2时，为平方收敛的。

线性收敛的条件：设函数()[,]x C a b ϕ∈，'()(,)x C a b ϕ∈，且满足如下条件：（1）当[,]x a b ∈时，()[,]x a b ϕ∈；

（2）当[,]x a b ∈时，'()1x L ϕ≤<，其中L 为一常数。

则对任取的0[,]x a b ∈，简单迭代法1()k k x x ϕ+=产生的序列{}[,]k x a b ⊂收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 内的唯一的根s ，并且当0x s ≠时{}k x 是线性收敛的。

m 阶收敛的条件：设()(),()m s s x ϕϕ=在包含s 的某个开区间内连续（2m ≥）。如果()()()0(1,2,,1),()0i m s i m s ϕϕ==⋅⋅⋅-≠则存在0δ>，当

0[,]x s s δδ∈-+但0x s ≠时，简单迭代法1()k k x x ϕ+=产生的序列{}[,]

k x a b ⊂以m 阶收敛速度收敛于s 。 4.1.4 迭代的加速过程

1.加权迭代法:

或者 缺点：L 值的确定需要函数的迭代信息，不便于实际应用。

2．Aitken 加速法：设序列{}k x 线性收敛于s ，则 3.Steffensen 迭代法

迭代公式： ⎪⎪⎨

⎧=--===+

,2,1,0,)()

(),(21k x y x x y z x y k k k k k k k k ϕϕ),

(1k k x x ϕ=+迭代：k k k x L

L x L

x ---=++111

11改进：])([11

1k k k Lx x L

x --=+ϕ121,k k k k x s x s

L L

x s x s

+++--≈≈--121k k k k x s x s x s x s +++--≈--k

k k k k k x x x x x x s +---≈+++++1221222)(1k x +=

无论迭代法是否收敛于s ， Steffensen 迭代法都能以不低于二阶的收敛速度收敛于s 。 4.1.5 Newton 法

基本思想：（1）构造法

推导 → ， →

推出迭代公式

Newton 法可求方程的实数根和复数根，求实数根时有明显的几何意义。当获得k x 之后，过曲线()y f x =上的点(,())k k x f x 作该曲线的切线，此曲线与X 轴相交的交点的横坐标就是Newton 法迭代序列的第k+1个元素1k x +，因此Newton 法又称为切线法。 局部收敛性定理：

设s 是方程()x x ϕ=的根，在包含s 的某个开区间内''()f x 连续且

'()0f x ≠，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由Newton 法产生的序列

{}k x 收敛于s ；若''()0f s ≠且0x s ≠，则序列{}k x 是平方收敛的。

非局部收敛性定理：设函数()f x 在区间[,]a b 上存在二阶连续导数，且满足条件：（1）()()0f a f b <；（2）''()f x 在区间[,]a b 上不变号；（3）当[,]x a b ∈时，'()0f x ≠；

（4）''000[,],()()0x a b f x f x ∈>。则有Newton 法产生的序列{}k x 单调收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 内唯一的根s ，并且至少是平方收敛的。 4.1.6求方程m 重根的Newton 法

设s 是方程()x x ϕ=的m 重根（m 2≥），()f x 在s 的某邻域内有m 阶连续导数，这时 ()0s φ'=0)(=x f 0)()(=x f x h ()0h s ≠x x x f x h =+)()(

,2,1,0,)

(')

(1=-

=+k x f x f x x k k k k (1)

()

()()()0,()0

m m f s f s f

s f

s -'==

=≠()

()'()

f x x x f x φ=-