高等数学同济版D7_7常系数齐次线性微分方程

C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
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例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建
立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为
求物体的运动规律 解: 由第六节例1 (P323) 知, 位移满足 因此定解问题为
方程通解: x C1 cos k t C2 sin k t v0 利用初始条件得: C1 x0 , C2 k 故所求特解: v0 x x0 cos k t sin k t k
A
x0
v0 k
2 v k x0 2 0 A x0 2 , tan v0 k

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内容小结
y p y q y 0 ( p, q 为常数 ) 特征根: r1 , r 2
(1) 当 r1 r 2 时, 通解为 y C 1 e
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 r1 r 2 时, 通解为 y (C 1 C 2 x ) e
r1 x
1
因此原方程的通解为
x y e (C cos x0 C2 sin x) 1r 特征方程 r 2 p q
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小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 pr q 0 ,
特征根 通 解
r1 x
实根
因此原方程通解为
r3 , 4 1 2 i
y C1 C2 x e x ( C3 cos 2 x C4 sin 2 x )
例5. 解方程 y (5) y ( 4) 0 . 解: 特征方程: r r 0, 特征根 :
5 4
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3 x 2 C4 x 3 C5 e x
e
x
(cos x i sin x )
y2 e
e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1 2 ( y1 y2 ) e x cos x
1 y2 2 i ( y1 y2 ) e x sin x
, 因此原方程的通解为 y 2 ( C1 C2 x ) e r1 x 特征方程 r p r q 0
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r1 x
3. 当 p 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解:
2
y1 e
( i ) x ( i ) x
特征方程:
r n a1 r n 1 an 1r an 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
若特征方程含 k 重复根
对应项
则其通解中必含
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例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 ,
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第七章
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子,
rx y e ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x 2 , x 3 , e x )
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4 d w 4 例6. 解方程 w 0 ( 0 ). 4 dx 解: 特征方程: (r 2 2 ) 2 2 2 r 2 0
即
方程通解 :

( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0 其根为 r1 , 2 ( 1 i ), r3 , 4 ( 1 i ) 2 2
r4 2 r3 5r2 8r 4 0
故所求方程为 其通解为
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we
2 x
( C1 cos


2
x C2 sin

2
x)

2
e
x
( C3 cos

2
x C4 sin

2
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x)
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例7. 解方程 y ( 4) 2 y y 0 .
解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0
即
特征根为 则方程通解 :
( r 2 1 )2 0
1. 当 p 2 4 q 0 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为
② 则微分
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
y C1 e
r1 x
C2 e
r2 x
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2 p 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根 2. 当
则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得: ( u (x) 待定)
(3) 当 r1, 2 i 时, 通解为
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
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思考与练习
求方程 的通解 .
答案:
a 0 : 通解为 y C1 C2 x a 0 : 通解为 y C1 cos a x C2 sin a x a 0 : 通解为 y C1 e
特征根:
r1 , 2 n
n2 k 2
这时需分如下三种情况进行讨论: 小阻尼: n < k
解的特征
大阻尼: n > k 临界阻尼: n = k
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解的特征
解的特征
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例4.
的通解.
解: 特征方程 r 4 2 r 3 5 r 2 0, 特征根:
r1 r2 0,
a x
C2 e
a x
作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ;
2 (2) , (3) , (6) ; 3
第八节 目录
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备用题
为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 ( r 1) 2 ( r 2 4) 0 即
初始
源自文库
dx 2 2 n k x0 2 dt dt d x x t 0 x0 , t 0 v0 dt
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d x
2
O x
x
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2 x 2 方程: k x0 2 dt 特征方程: r 2 k 2 0, 特征根: r1 , 2 i k
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s ds 2 s0 2 dt dt ds 2 s t 0 4 , dt t 0
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t 利用初始条件得
e
r1 x
2 [ ( u 2 r1u r1 u ) p(u r1u ) q u 0 2 u ( 2 r1 p ) u ( r1 p r1 q ) u 0
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 x e
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解的特征: 简谐振动
A: 振幅,
: 初相,
周期:
固有频率 (仅由系统特性确定)
下图中假设 x
t 0
dx x0 0, dt
t 0
v0 0
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2) 有阻尼自由振动情况 2 d x d x 2 方程: 2 n k x0 2 dt dt 特征方程: r 2 2 n r k 2 0
y C1 e
C2 e
r2 x
y ( C1 C2 x ) e
r1 x
y e x (C1 cos x C2 sin x )
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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推广:
y ( n) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ( ak 均为常数 )