2020年广东茂名高三一模理科数学试卷 附详细解析 必考经典试题

/
附：若随机变量 服从正态分布
，
，
．
，则 ，
【答案】（ 1 ）所以两人得分之和不大于 分的概率为 ．
（ 2 ）1
人．
2 的分布列为
．
【解析】（ 1 ）两人得分之和不大于 分，即两人得分均为 分，或两人中 人 分， 人 ，
所以两人得分之和不大于 分的概率为：
．
（ 2 ）1
（个）
又
，
，所以正式测试时，
，
，∴
，
中，
， ，
∴
，
中，
，
，
/
所以平面
与平面
所成锐二面角的平面角的余弦值 ．
19. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测 试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区 年 初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、 分钟跳绳三项测试，三项 考试满分为 分，其中立定跳远 分，掷实心球 分， 分钟跳绳 分．某学校在初三上期开 始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 名学生进行测试，得到如下频率分布 直方图，且规定计分规则如下表：
11. 已知
、
及抛物线方程为
为直角三角形的点 个数为（ ）．
A. 个
B. 个
C. 个
，点 在抛物线上，则使得 D. 个
【答案】 D
【解析】 以 为直径的圆与抛物线有两个交点，另外以 ， 为直角为与抛物线分别有两 个点，共 个． 故选 ．
/
12. 已知函数
（ ）．
A.
B.
，若函数 有四个零点，则 的取值范围是
（ 2 ）求 最大值和最小值．
பைடு நூலகம்
【答案】（ 1 ） 的参数方程为：
（ 为参数），
的普通方程为：
．
（ 2 ）当
时，
；
当
时，
；
/
当
时，
；
当
时，
．
【解析】（ 1 ）由题意可得 的参数方程为：
（ 为参数），
又∵ ∴ 的普通方程为 （ 2 ）由（ ）得，设 则
，且
， ，即 ，圆 的圆心
， ．
，
．
∵
，
∴当
时，
当
y
x
O
C.
y
x
O
的图象不. 可. 能. 的是（ ）．
B.
y
x
O
D.
y
x
【答案】 C
【解析】 当 是偶数的时候 是偶函数，图象关于 轴对称，当
时， 图象形如
；
当
时，
，
时，
，
，
图象形如 ； 当 是正奇数的时候，
是奇函数图象关于原点轴对称且过原点，当
的奇数
时在第一象限
，由幂函数的图象知
的图象
不可能是 ． 故选 ．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 运用逆向思维，将展开图对称折，折两次得到 图．（折一次，用铅笔对中画一条 线） 故选 ．
5. 记 为等比数列 A.
的前 项和，若 B.
， C.
，则 或
【答案】 C
【解析】 设等比数列 的公比为 ，所以
所以
或
，当
时，
当
时，
．
故选 ．
（ ）． D. 或
，即
，
，
6. 公元 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，他
所以
，
①
的单调区间满足
∴ 的单调减区间为
，
，
所以
时， 在
单调递减，
所以①正确，
②
对称轴满足
，
所以
，
当
时， 的一条对称轴为
，
所以②正确，
③
，
所以
的周期为 ，
所以③不正确，
， ，
/
④ 的横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变得到
为
，
所以④不正确．
故选 ．
的函数图像的解析式
10. 下列函数图象中，函数
A.
【解析】
为
，所以复数
故选 ．
，复数
在复平面内对应坐标
在复平面内对应的点在第四象限．
3. 记 为等差数列 A.
的前 项和，已知 B.
， C.
，则 D.
（ ）．
【答案】 B
【解析】 由
，得
，
，
，
∴
∴
．
故选 ．
4.
/
剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下 列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字（ ）．
，
，∴
，
．
∴
，∴
（人）
2 由正态分布模型，在该地区 年初三毕业生中任取 人，每分钟跳绳个
数 以上的概率为 ，
即
，
∴
，
，
，
∴ 的分布列为
．
/
20. 设函数
，曲线
．
（ 1 ）求 ， 的值．
（ 2 ）当
时，若 为整数，且
在点
处的切线方程为 ，求 的最大值．
【答案】（ 1 ）
，
．
（2） ．
【解析】（ 1 ）由 由于
所以
时，
面积最小，
由
得
时，
面积的最小值为 ，
此时直线 的方程为：
，即
．
四、选做题
（本大题共2小题，选做1题，计10分。）
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 设 为椭圆
上任意一点，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 的极坐标方程为
， 为 上任意一点．
（ 1 ）写出 参数方程和 普通方程．
，
因此，单位圆内接正二十四边形的面积为
，
单位圆的面积为 圆
依题意 圆
，所以
， ，故选 ．
7. 已知 、 为双曲线
的左、右焦点，点 在双曲线 上，且线
段 的中点坐标为
，则双曲线 的离心率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 设
为点
，连接 ，
依题意 为
的中位线，
∴
，即
轴且
，
∴点 的坐标为
， 在双曲线 上，
在区间
上单调递增，在区间 ，
上单调递减，
/
使不等式
，
即
，解得
即实数 的取值范围是
等价于
， ．
/
时，点 在线段 上，且
，点 的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ）过抛物线
的焦点 作直线 交抛物线于 ， 两点，过 且与直线 垂直的直
线交曲线 于另一点 ，求
面积的最小值，以及取得最小值时直线 的方程．
【答案】（ 1 ） （2）
． 面积的最小值为 ，此时直线 的方程为：
【解析】（ 1 ）设
．
18. 如图，在三棱柱
中，
平面
， 是 的中点，
，
，
．
（ 1 ）求证： （ 2 ）求平面
平面
．
与平面
所成锐二面角的平面角的余弦值．
【答案】（ 1 ）证明见解析． （2） ．
【解析】（ 1 ）连结 交 于点 ，连结 ，
则 为 中点， 为
中位线，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
．
/
（ 2 ）方法一：因为
， 为 中点，所以
．
三、解答题
（本大题共5小题，每小题12分，共60分。）
17. 在
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知
．
（ 1 ）求角 的大小．
（ 2 ）求
的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（2）
．
【解析】（ 1 ）由正弦定理得：
，
，
，
又
，
所以
，
所以
，
，
/
分又因为
．
所以
．
（2）
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
所以
的取值范围是
故选 ．
种；若张三被选中，则派遣方法有 种．
9. 设函数
（
，
）的最小正周期为 ，且过点
，则下列正确的是（ ）．
①在
单调递减．② 的一条对称轴为
．③
的周期为 ．④把函数
的图像向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
．
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ①②④
【答案】 A
【解析】
由
，
所以
，
，
因为
，
则
，
，
当
时， 为减函数，
当
时， 为增函数，所以
时，
面积最小．
根据由
可得此时
，
此时直线 的方程为：
，即
．
方法二：抛物线
的焦点为
，
过点 的直线 的方程设为：
，设
，
，
/
联立
得
则
，
，
∴
过 且与直线 垂直的直线设为：
，
， ，
联立
得，
，
∴ 面积
令
，则 ,
， ， ， ，
令
，则
，即
，
当
时， 为减函数，
当
时， 为增函数，
每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开
始时个数增加 个，利用现所得正态分布模型：
1 预估全年级恰好有 名学生，正式测试时每分钟跳 个以上的人数（结果四舍五
入到整数）．
2 若在该地区 年所有初三毕业生中任意选取 人，记正式测试时每分钟跳 个以
上的人数为 ，求随机变量 的分布列和期望．
/
16. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，某多面体的正视图、左视图、俯视图为同一图形，粗实
线画出如图所示，则该多面体外接球的体积等于
．
【答案】 【解析】 该多面体为棱长为 的正方体沿着各棱的中点截去 个角余下的部分，如图，
其外接球的球心为正方体的中心 ，半径为点 到正方体棱长中点 的距离，即
．所以该多面体外接球的体积为
与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的可求的来逼近未知的、要求
的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响．按照上面“割圆术”，用
正二十四边形来估算圆周率，则 的近似值是
（精确到 ）．（参考数据
）
A.
B.
C.
D.
/
【答案】 B
【解析】 圆内接正二十四边形的边所对圆心角是
，
建立如图所示空间直角坐标系
，
则
平面 设平面
，
，
，
的法向量为
的法向量为
由
，
，得
，
， ，则
， ，
令
，则
，
所以平面
与平面
， 所成的锐二面角 的余弦值为：
．
方法二：延长 、 交于 ，连接
过作
于 ，连接 ，
，过 作
于，
则
平面
，
为平面
中，
，
∵
，
所以∴
，
，又
，所以
平面
，与平面
所成锐二面角的平面角．
，所以高 为中线，
， 的斜率为 ，且过点
即
，
解得
，
．
（ 2 ）由 知
，
所以
故当
时，等价于
得，
①，
令
，则
得，
， ，
令
，
，∴
，
所以函数
在
存在唯一的零点，
故
在
存在唯一的零点，设此零点为 ，则
当
时，
, 减函数；
当
时，
， 增函数；
所以 在
的最小值为 ，
又由
，可得
，所以
故①等价于
，故整数 的最大值为 ．
． ，
21. 在圆
上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，当点 在圆上运动
时，
当
时，
当
时，
； ；
； ．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）若
，使不等式
，对
， 满足
．
，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） （2）
． ．
【解析】（ 1 ）∵ ∴ 又 ∴ ∴
（ 2 ）令
， 的图象关于直线
的图象关于直线 ．
， 对称，
， 对称，
，由
，则
，
因此， ∴
，
，则由于
，
．
/
依题知： 而点
， 在圆
，即
，
上，故
． ，
得
，故曲线 的方程为
．
（ 2 ）方法一：抛物线
的焦点为
，
当直线 的斜率不存在时，
，
，
，
当直线 的斜率存在时，则
，设
，
，
直线 的方程设为
，代入
，消去 得
，即
，
则
，
，
∴
，
的直线方程为： ，
，代入 ，
， ，
消去 得
， 面积：
，
令
，则
，则
，
，
令
，则
，即
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ①当
时，
在区间
且，
．
即
时， 没有零点，而
时
因此，
不符合；
②
时，令
，则
即
，设
，则
上是单调递增函数，
最多有两个零点，
， ，
∴在区间
上
， 单调递减，
在区间
上
， 单调递增，
即在
处取得极小值也是最小值
，
∴
与
最多有两个交点，即
最多有两个零点，
且当
时，
有两个零点，
又 有四个零点，
∴
时，
2020年广东茂名高三一模理科数学试卷(详解)
一、选择题
（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1. 已知集合 A.
，
B.
C.
【答案】 D
【解析】
，
故选 ．
，则 D.
（ ）．
,
．
2. 是虚数单位，复数 A. 第一象限
在复平面内对应的点所在象限为（ ）．
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】 D
从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 ， ， ，…， ，…逐个算出正
六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近
圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似值是
，刘徽称这个方法为“割
圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则