第五讲 圆周运动的实例分析

第五讲 圆周运动的实例分析
1．研究匀速圆周运动问题的思路和方法
（1）正确的受力分析；
（2）确定做匀速圆周运动的物体的轨道平面，特别注意圆周运动的圆心位置，确定加速度的方向；
（3）建立直角坐标系，x 轴沿半径指向圆心，y 轴沿切线方向；
（4）由牛顿运动定律列出方程，x 轴上的合力充当向心力，y 轴上的合力为零。

即：R m R
v m ma F x
22
ω===,0=y F 2．汽车转弯与转盘上物体的圆周运动
静摩擦力提供向心力，即：
μmg ≥F 向=
3．对火车转弯的分析
火车在平直轨道上匀速行驶时，所受的合力等于零。

当火车转弯时，是由轮缘和外轨的挤压产生的外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于火车质量很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损害铁轨。

实际的弯道处的情况，如图：
A ．外轨略高于内轨；
B ．此时火车的支持力F N 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧；
C ．使转弯处内外轨保持适当的高度差，从而使火车转弯时所需的向心力由重力和支持力的合力来提供。

设车轨间距为L ，两轨高度差为h ，转弯半径为R ，火车质量为m ，则有
L
h =
θsin
由火车的受力情况得：mg
F =θtan 因为θ角很小，所以θθtan sin ≈，故，所以向心力 又因为R v m F 2
=，所以车速L
ghR v = 由于铁轨建成后，h 、L 、R 各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值。

讨论：
（1）当火车转弯时行驶速率L ghR v =
（R 为转弯半径，L 为铁轨间距离），车轮对外轨和内轨都没有压力作用；
（2）当火车转弯时行驶速率L
ghR v ≥时，车轮对外轨道有侧压力作用； （3）当火车转弯时行驶速率L ghR v ≤
时，车轮对内轨道有侧压力作用。

4．汽车过弧形桥
汽车通过凸桥最高点或凹桥最低点时，重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力。

（1）汽车过凸形桥
受力分析：
有：r
v m N mg 2
=- 所以：r
v m mg N 2
-= 讨论： ①当gr v =时，F =0
②当v ≤0<
gr 时，0<mg N ≤ ③当v >gr 时，汽车脱离桥面，发生危险
mg F L h =mg L
h F =
（2）汽车过凹形桥
受力分析：
有：r
v m mg N 2
=- r
v m mg N 2
+= 讨论：当v 增大，N 也增大，由牛顿第三定律知，车对桥面的压力也增大。

5．竖直平面内的圆周运动
物体在竖直平面内做圆周运动时，通常受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，我们只研究在最高点和最低点两种情形，具体情况又可分为以下两种：
（1）细绳牵拉型的圆周运动
①小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动
②小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动
在最高点时，小球受向下的重力和弹力作用，有R v m mg F N 2=+，当弹力0=N F 时，则有R v m mg 2
=，即小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度gR v =。

小球在竖直平面内做圆周运动到最高点时的受力情况为：
I ．gR v >
时，绳或轨道对小球产生向下的拉力或压力； II ．gR v =时，绳或轨道对小球刚好不产生作用力；
III ．gR v <时，小球不能在竖直平面内做圆周运动，小球没有到达最高点就脱离了轨道
（2）轻杆支撑型的圆周运动
①质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图所示。

②质点被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，如图所示。

由于杆和管能对小球产生向上的支持力，故小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点时速度恰好为零。

小球受力情况为： ①当gR v >
时，杆或管的外侧产生向下的拉力或压力； ②当gR v =
时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力； ③当gR v <时，杆或管的内侧产生向上的支持力。

警示：解答竖直平面内圆周运动问题时，首先要分清楚是绳模型还是杆模型，绳模型的临界条件是
R
v m mg 2
=，即gR v =，杆模型的临界条件是0=v 。

6．常见的几种离心运动
（1）洗衣机脱水
实物图 原理图
当水滴跟物体附着力F 不足以提供向心力时，即R m F 2ω<，水滴做离心运动。

（2）汽车在水平路面上转弯
实物图 原理图 当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即r
v m f m 2
<，汽车做离心运动。

（3）用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中
实物图 原理图
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力，水银柱做离心运动进入玻璃泡内。

题型一： 拱形桥问题 【例题1】汽车质量为41.510⨯kg ，以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥面圆弧半径都为15m ，如果桥面承受的最大压力不得超过52.010N ⨯，汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少？
【课堂训练】（2010·吉林通化高一考试）游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20m/s 2，g 取10 m/s 2，那么在到达此位置时座椅对游客的作用力相当于游客重力的（ ）
A ．1倍
B ． 2倍
C ． 3倍
D ．4倍
题型二：车辆转弯问题
【例题2】在高速公路的转弯处，路面造得内高外低，当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧要略高一些，设转弯的半径为R，在车速为v的情况下，要使车子拐弯时沿倾角路面无上下滑动的趋势，路面与水平面的夹角应该为多大？
【课堂训练】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（）
v2
A．轨道半径R=
g
B．v
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
题型三：竖直平面内的圆周运动
【例题3】（2008·重庆万州中学高一考试）如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。

如果小球经过最高位
置时，杆对球的作用力为拉力，拉力大小等于球的重力。

则：
（1）此时球的速度大小为；
6，此时杆对小球作用力大小
（2）当小球经过最低点时速度为gL
为，小球的向心加速度大小为。

【课堂训练】如图所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R.则下列说法正确的是（）
A.小球过最高点时，绳子张力可以为零
B.小球过最高点时的最小速度为零
C.小球刚好过最高点时的速度是Rg
D.小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
题型四：圆周运动中的临界问题
【例题4】如图所示，质量为m的A、B两物体，用细线相连跨过圆盘中心的光滑小孔，物体A与圆盘之间的动摩擦因数为μ。

若物体A与圆心的距离保持为R，求圆盘转动的角速度的范围。

【课堂训练】（2010年江苏苏州高一考试）表演“水流星”节目，如下图所示，拴杯子的绳子长为l ，绳子能够承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍，若使绳子不断，节目获得成功，则
（1）杯子通过最高点时速度的最小值？
（2）通过最低点时速度的最大值为多少？
过关
基础训练
1．关于在公路上行驶的汽车正常转弯时，下列说法中正确的是（ ）
A ．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供
B ．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供
C ．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D ．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、摩擦力和支持力的合力提供
2．（2010·甘肃兰州高一考试）质量为60kg 的体操运动员，做“单臂大回环”，用一只手抓
住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。

此过程中，运动员到达最低点时速度为2m/s ，则此时手臂受的拉力约为（g =10m/s 2）（ ）
A ．600N
B ．2400N
C ．3000N
D ．3600N
3．建造在公路上的桥梁大多是凸形桥，较少是水平桥，更没有凹形桥，其主要原因是（ ）
A ．为的是节省建筑材料，以减少建桥成本
B ．汽车以同样速度驶过凹形桥时对桥面的压力要比水平的或凸形桥压力大，故凹形桥易损坏
C ．可能是建造凹形桥技术特别困难
D ．无法确定
4．(2010·吉林长春高一考试)在游乐场里玩“过天龙”游戏时，人和车的质量共为100kg ，它们到达竖直圆轨道的最高点时，速度为6 m/s ，过最低点时的速度为12m/s 。

如果圆形轨道的半径是3.6m ，g 取10 m∕s 2，小车在最低点和最高点的压力分别是 ( )
A ．4000N 和1000N
B ．5000N 和1000N
C ．5000N 和2000N
D ．8654和0
5．在一段半径为R 的圆孤形水平弯道上，已知弯道路面对汽车轮胎的最大静摩擦力等于车重的μ倍，则汽车拐弯时的安全速度是（ ）
A ．R v g μ≤
B ．μgR v ≤ Ｃ．R v g μ2≤ Ｄ．gR v μ≤
6．如图所示，在竖直平面内，有一光滑圆形轨道，AB 为其水平方向的直经，甲、乙两球同时以同样大小的速度从A 点出发，沿轨道内表面按图示方向运动到B ，运动中均不脱离圆轨道，则下列说法正确的是（ ）
A ．甲球先到达B
B ．乙球先到达B
C ．两球同时到达B
D ．若两球质量相等则同时到达B
7．(2010·浙江温州高一考试)如图所示，一个小球沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动，圆环的半径为R ，关于小球的运动情况，以下说法正确的是( )
A ．小球的线速度方向时刻在变化，但总是在圆周切线方向上
B ．小球的加速度方向时刻在变，但总是指向圆心的
C ．小球的线速度大小总大于或等于gR
D ．小球通过轨道最低点的加速度的大小一定大于g
8．(2010·黑龙江哈尔滨高一考试)用一轻质细线拴小球，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，运动中若突然线断了，关于线断后小球运动的描述，下面哪个是正确的（ ）
A ．线在水平位置断，球一定做竖直上抛运动
B ．线在竖直位置断时，球一定做平抛运动
C ．球达最高点线断，球可能做自由落体运动
D ．在任何位置断时，球都不可能做自由落体运动
9．(2010·福建厦门高一考试)如下图所示，圆弧形轨道，上表面光滑，下表面也光滑，有一质量为m 的小物体从圆弧轨道上表面滑过，到达圆弧轨道竖直方向最高点时，对轨道的压力为物块重力的一半，速度大小为v 1，若小物块从圆弧轨道下表面滑过轨道，到达轨道竖直方向最高点时，对轨道的压力为物体重力的一半，速度大小为v 2，不计轨道的厚度，则v 1/v 2等于__ __。

10．质量为m 的物体，沿半径为R 的圆形轨道滑下，如图所示。

当物体通过最低点B 时速度为V 0，已知物体和轨道间的动摩擦因数μ，则物体滑过B 点时受到的摩擦力大小为多少？
培优提升训练
1．如图所示，一个半径为R 的大转盘在水平面内以圆心为轴顺时针匀速转动。

一个射击运动员站在转盘边缘上的P 点处，随转盘一起做匀速圆周运动，他想用手中的枪射出的子弹击中位于圆心处的目标。

已知大转盘转动的角速度为ω，枪静止不动时射出的子弹初速度为v 0，为了击中目标，运动员应该（ ）
A ．直接瞄准圆心O 处的目标射击（ ）
B ．瞄准方向应比PO 方向向右偏转角度θ=arcsin(ωR /v 0)
C ．瞄准方向应比PO 方向向右偏转角度θ=arccos(ωR /v 0)
D ．瞄准方向应比PO 方向向右偏转角度θ=arctan(ωR /v 0)
2．（2010·江西南昌高一考试）如图为表演杂技“飞车走壁”的示意图．演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰,做匀速圆周运动．图中a 、b 两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托,在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹．不考虑车轮受到的侧向摩擦,下列说法中正确的是 （ ）
A ．在a 轨道上运动时角速度较大
B ．在a 轨道上运动时线速度较大
C ．在a 轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大
D ．在a 轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较大
3．(2010·江苏扬州高一测试)在高速公路拐弯处，通常都是外高内低。

如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。

汽车的运动可看作是做半径为R 的圆周运动。

设内、外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L 。

已知重力加速度为g ，要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零。

则汽车转弯时的车速应等于( )
A.L gRh
B.d
gRh C.
h gRL D. h gRd
4．(2010·广东珠海高一考试)如图所示，一轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于球对杆有作用，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系，正确的是( )
A ．形变量越大，速度一定越大
B ．形变量越大，速度一定越小
C ．形变量为零，速度一定不为零
D ．速度为零，可能无形变
5．铁路线由于弯道太多，很难实现提速。

假设某段铁路转弯处的弯道半径为r =1000m ，设计火车经过该弯道时的行驶速度为v =72km/h ，那么该弯道上铁道内外轨所在平面与水平面的夹角α应该是多大（用反三角函数表示）？如果不改变α而以90km/h 的速度通过此弯道，列车将对铁道的内轨还是外轨产生侧向压力？
6．(2010·安徽合肥高一考试)有一辆质量为1.2 t 的小汽车驶上半径为50 m 的圆弧形拱桥。

问：
（1）汽车到达桥顶的速度为10m/s 时，汽车对桥的压力是多大？
（2）汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？
（3）设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度要多大？(重力加速度g 取10 m/s 2，地球半径R 取31046⨯.km)
7．(2010·湖南岳阳高一考试)一级方程式F 1汽车大赛中，冠军舒马赫驾驶着一辆总质量为M （M 约1.5吨）的法拉利赛车经过一半径为R 的水平弯道时的速度为v ，工程师为提高赛车的性能,都将赛车形状设计得使其上下方空气存在一个压力差---气动压力(行业术语)，从而增大了赛车对地面的正压力。

行业中将正压力与摩擦力的比值称为侧向附着系数，用η表示。

为使上述赛车转弯时不致侧滑，则：
(1)所需的向心力为多大?
(2)所需的摩擦力为多大?
(3)所需的气动压力为多大?
8．一长l ＝0.9m 的细绳，一端固定在O 点，另一端拴一质量为m ＝0.45kg 的小球，使之在竖直面上作圆周运动，（g =10 m/s 2）求：
(1)小球通过最高点时最小速度；
(2)如细绳受到36.5N的拉力就会断裂，求小球通过最低点时的最大速度。

9．如图是宇航员需要在航天之前进行离心实验的原理图，可以用此实验研究过荷对人体的影响，测定人体的抗荷能力．离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动．现观察到图中的直线AB与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
10．(2010·江西抚州高一考试)如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆周管竖直放置，两个质量均m的小球，以不同的速度进入管内，A通过最高点C时对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时对管壁下部的压力为0.75mg，求：（1）A、B两球从C点抛出时速度大小分别为多大？（2）A、B两球落地点之间的距离。