信息安全数学基础第二章-信安第二章第2节
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为模m的一个完全剩余系的充要条件是ri rj (mod m), i j, i, j 0,1,L , m 1.
证 r0 , r1 ,L , rm1是模m的一个完全剩余系 它们中任意两个数ri , rj (i j)不在同一剩余类
ri rj (mod m), i j, i, j 0,1,L , m 1.
为
1 2
m(m
1),
其中m
1, 2,L
,m
13
定理4 若(m1 , m2 ) 1, m1 0, m2 0, 而x1 , x2 分别遍历模m1 , m2的完全剩余系,则m2 x1 m1 x2遍 历模m1m2的完全剩余系.
证 因x1 , x2分别遍历m1 , m2个整数时, m2 x1 m1 x2遍历m1m2个整数. 所以只需证明这m1m2个 整数对模m1m2两两不同余即可.
(iii) Ca I Cb a b (mod m);
证 (i)设a为任一整数, 由欧几里得除法,有 a mq r, 0 r m
因此 r a (mod m),于是a Cr .
(ii) 设Ca Cb ,则a Ca Cb , 于是a b (mod m).
反之,设a b (mod m). 对任意c Ca ,则
则m | a(ai a j ). 因(a, m) 1, 所以m | ai a j ,于是 ai a j (mod m),(i j)
这与a0 , a1 ,L , am-1是模m的完全剩余系的假设矛盾.
故
aa0 + b，aa1 + b，L ，aam1 + b 是模m的完全剩余系.
11
例3 设m 10, a 7, b 5. 当x遍历模10的完 全剩余系 :
但因 (m1 , m2 ) 1, 所以m1 | x1 y1 .
于是 x1 y1 (mod m1 ), 同理 x2 y2 (mod m2 ) 故定理成立.
15
例4 设 p, q是两个不同的素数, n pq, 则对任 意的整数c, 存在唯一的一对整数x, y,满足
qx py c (mod n), 0 x p, 0 y q 证 因p, q是两个不同的素数, 所以( p, q) 1. 由定理4及其证明, 知x, y分别遍历p, q的完全剩余系 时, qx py遍历n pq的完全剩余系.因此对于整数c, 存在唯一的一对整数x, y满足
C9 {10k 9 | k Z} {L 11, 1, 9,19, 29,L }
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9是模10的一个完全剩余系. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10是模10的一个完全剩余系.
6
二、有关完全剩余系的几个定理 定理2 设m是一个正整数,则m个整数r0 , r1 ,L , rm1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 时,形如7x 5的10个整数
5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68 也构成模10的完全剩余系.
12
练习：若x1, x2 ,L , xm是m的完全剩余系，
a, b, m Z，且(a, m) 1,则axi b除以mHale Waihona Puke Baidu余数之和
8
(5) 绝对值最小完全剩余系
m为偶数时,为
m , m 1, L , 1, 0, 1, L , m 1
22
2
或 m 1, L , 1, 0, 1, L , m 1, m ,
2
2
2
m为奇数时,为
m 1 , L , 1, 0, 1, L , m 1
2
2
9
定理3 设m是正整数,(a, m) 1, b是任意整数, 若x遍历模m的一个完全剩余系, 则ax b也遍历模 m的一个完全剩余系.
qx py c (mod n), 0 x p, 0 y q
16
在同一剩余类中的数互相同余,不在同一剩余 类的数互不同余. 2. 模m的完全剩余系恰有m个整数. m个连续的整数也是模m的完全剩余系.
4
例如 m为偶数时
m , m 1,L , 1, 0,1,L , m 1
22
2
或 m 1,L , 1, 0,1,L , m 1, m ,
2
22
都是模m的完全剩余系.
若有整数x1 , x2 , y1 , y2 ,使得
m2 x1 m1 x2 m2 y1 m1 y2 (mod m1m2 )
14
则因m1 | m1m2 , 所以
m2 x1 m1 x2 m2 y1 m1 y2 (mod m1 ) 所以 m2 x1 m2 y1 (mod m1 ) 于是 m1 | m2 ( x1 y1 )
a c (mod m) 及 b c (mod m) 从而a b (mod m), 与假设矛盾.故Ca I Cb .
3
定义1 Ca {c | a c, c Z }叫做模 m 的a 的 剩余类.一个剩余类中的任一数叫做该类的剩余 或代表元.若r0 , r1 ,L , rm1是m个整数, 并且其中任 何两个数都不在同一个剩余类里, 则r0 , r1 ,L , rm1 叫做模 m 的一个完全剩余系. 注 : 1. 模m的剩余类有m个C0 ,C1 ,L ,Cm1 .
*** 剩余类及完全剩余系
一、基本概念 把同余(关于模m )的整数放在一起, 可以把整
数分类. 设m是一个正整数, 对任意整数a,令 Ca {c | a c (mod m),c Z}
因a Ca ,所以Ca .
1
定理1 设m是一个正整数,则 (i) 任一整数必包含在一个Cr中,0 r m 1; (ii) Ca Cb a b (mod m);
7
例2 设m是一个正整数,则常用的几个模m的 完全剩余系:
(1) 最小非负完全剩余系 0, 1, 2, L , m 1
(2) 最小正完全剩余系 1, 2, L , m 1, m
(3) 最大非正完全剩余系 (m 1), (m 2), L , 1, 0
(4) 最大负完全剩余系 m, (m 1), L , 2, 1
即:若a0 , a1 ,L , am-1是模m的完全剩余系,则 aa0 + b，aa1 + b，L ，aam1 + b
也是模m的完全剩余系.
分析 : 只需证明aai b aaj b (mod m),(i j) 即可.
可用反证法,利用 (a, m) 1.
10
证 若存在ai和a j (i j), 使得 aai b aa j b (mod m),(i j)
m为奇数时
m 1 ,L , 1, 0,1,L , m 1
2
2
也是模m的完全剩余系.
5
例1 设m 10, 对任意整数a,集合 Ca {a 10k | k Z }
是模m 10的剩余类.
C0 {10k 0 | k Z } {L 20, 10, 0,10, 20,L }
C1 {10k 1 | k Z } {L 19, 9,1,11, 21,L }
2
a c (mod m)
于是b c (mod m), 所以c Cb , 故Ca Cb .
同理可证Cb Ca . 从而Ca Cb . (iii) 由(ii)即得必要性. 下证充分性.
(反证法) 设a b (mod m). 若Ca I Cb , 则有c Ca , c Cb , 于是有
证 r0 , r1 ,L , rm1是模m的一个完全剩余系 它们中任意两个数ri , rj (i j)不在同一剩余类
ri rj (mod m), i j, i, j 0,1,L , m 1.
为
1 2
m(m
1),
其中m
1, 2,L
,m
13
定理4 若(m1 , m2 ) 1, m1 0, m2 0, 而x1 , x2 分别遍历模m1 , m2的完全剩余系,则m2 x1 m1 x2遍 历模m1m2的完全剩余系.
证 因x1 , x2分别遍历m1 , m2个整数时, m2 x1 m1 x2遍历m1m2个整数. 所以只需证明这m1m2个 整数对模m1m2两两不同余即可.
(iii) Ca I Cb a b (mod m);
证 (i)设a为任一整数, 由欧几里得除法,有 a mq r, 0 r m
因此 r a (mod m),于是a Cr .
(ii) 设Ca Cb ,则a Ca Cb , 于是a b (mod m).
反之,设a b (mod m). 对任意c Ca ,则
则m | a(ai a j ). 因(a, m) 1, 所以m | ai a j ,于是 ai a j (mod m),(i j)
这与a0 , a1 ,L , am-1是模m的完全剩余系的假设矛盾.
故
aa0 + b，aa1 + b，L ，aam1 + b 是模m的完全剩余系.
11
例3 设m 10, a 7, b 5. 当x遍历模10的完 全剩余系 :
但因 (m1 , m2 ) 1, 所以m1 | x1 y1 .
于是 x1 y1 (mod m1 ), 同理 x2 y2 (mod m2 ) 故定理成立.
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例4 设 p, q是两个不同的素数, n pq, 则对任 意的整数c, 存在唯一的一对整数x, y,满足
qx py c (mod n), 0 x p, 0 y q 证 因p, q是两个不同的素数, 所以( p, q) 1. 由定理4及其证明, 知x, y分别遍历p, q的完全剩余系 时, qx py遍历n pq的完全剩余系.因此对于整数c, 存在唯一的一对整数x, y满足
C9 {10k 9 | k Z} {L 11, 1, 9,19, 29,L }
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9是模10的一个完全剩余系. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10是模10的一个完全剩余系.
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二、有关完全剩余系的几个定理 定理2 设m是一个正整数,则m个整数r0 , r1 ,L , rm1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 时,形如7x 5的10个整数
5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68 也构成模10的完全剩余系.
12
练习：若x1, x2 ,L , xm是m的完全剩余系，
a, b, m Z，且(a, m) 1,则axi b除以mHale Waihona Puke Baidu余数之和
8
(5) 绝对值最小完全剩余系
m为偶数时,为
m , m 1, L , 1, 0, 1, L , m 1
22
2
或 m 1, L , 1, 0, 1, L , m 1, m ,
2
2
2
m为奇数时,为
m 1 , L , 1, 0, 1, L , m 1
2
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定理3 设m是正整数,(a, m) 1, b是任意整数, 若x遍历模m的一个完全剩余系, 则ax b也遍历模 m的一个完全剩余系.
qx py c (mod n), 0 x p, 0 y q
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在同一剩余类中的数互相同余,不在同一剩余 类的数互不同余. 2. 模m的完全剩余系恰有m个整数. m个连续的整数也是模m的完全剩余系.
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例如 m为偶数时
m , m 1,L , 1, 0,1,L , m 1
22
2
或 m 1,L , 1, 0,1,L , m 1, m ,
2
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都是模m的完全剩余系.
若有整数x1 , x2 , y1 , y2 ,使得
m2 x1 m1 x2 m2 y1 m1 y2 (mod m1m2 )
14
则因m1 | m1m2 , 所以
m2 x1 m1 x2 m2 y1 m1 y2 (mod m1 ) 所以 m2 x1 m2 y1 (mod m1 ) 于是 m1 | m2 ( x1 y1 )
a c (mod m) 及 b c (mod m) 从而a b (mod m), 与假设矛盾.故Ca I Cb .
3
定义1 Ca {c | a c, c Z }叫做模 m 的a 的 剩余类.一个剩余类中的任一数叫做该类的剩余 或代表元.若r0 , r1 ,L , rm1是m个整数, 并且其中任 何两个数都不在同一个剩余类里, 则r0 , r1 ,L , rm1 叫做模 m 的一个完全剩余系. 注 : 1. 模m的剩余类有m个C0 ,C1 ,L ,Cm1 .
*** 剩余类及完全剩余系
一、基本概念 把同余(关于模m )的整数放在一起, 可以把整
数分类. 设m是一个正整数, 对任意整数a,令 Ca {c | a c (mod m),c Z}
因a Ca ,所以Ca .
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定理1 设m是一个正整数,则 (i) 任一整数必包含在一个Cr中,0 r m 1; (ii) Ca Cb a b (mod m);
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例2 设m是一个正整数,则常用的几个模m的 完全剩余系:
(1) 最小非负完全剩余系 0, 1, 2, L , m 1
(2) 最小正完全剩余系 1, 2, L , m 1, m
(3) 最大非正完全剩余系 (m 1), (m 2), L , 1, 0
(4) 最大负完全剩余系 m, (m 1), L , 2, 1
即:若a0 , a1 ,L , am-1是模m的完全剩余系,则 aa0 + b，aa1 + b，L ，aam1 + b
也是模m的完全剩余系.
分析 : 只需证明aai b aaj b (mod m),(i j) 即可.
可用反证法,利用 (a, m) 1.
10
证 若存在ai和a j (i j), 使得 aai b aa j b (mod m),(i j)
m为奇数时
m 1 ,L , 1, 0,1,L , m 1
2
2
也是模m的完全剩余系.
5
例1 设m 10, 对任意整数a,集合 Ca {a 10k | k Z }
是模m 10的剩余类.
C0 {10k 0 | k Z } {L 20, 10, 0,10, 20,L }
C1 {10k 1 | k Z } {L 19, 9,1,11, 21,L }
2
a c (mod m)
于是b c (mod m), 所以c Cb , 故Ca Cb .
同理可证Cb Ca . 从而Ca Cb . (iii) 由(ii)即得必要性. 下证充分性.
(反证法) 设a b (mod m). 若Ca I Cb , 则有c Ca , c Cb , 于是有