赣县中学高中数学竞赛平面几何第3三讲角平分线定理
角平分线的性质定理-图文ppt课件.pptx
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
证明：
AB，DF⊥AC B
D
C
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
DE=DF （已证）
BD=CD（已知）
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
仪或量角器）
A
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ ，交ＯＢＮ于．
２．分别以Ｍ，Ｎ为
A
Ｍ Ｃ
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
A
证明:连结MC,NC由作法知: M
C
在△OMC和△ONC中
的平分线,P 是OC上任意
O
P
C 一点,问PE=PD?为什么?
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不 是角平分线上任一点这个角两 边的距离,所以不一定相等直
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路 距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米， 应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
B
C E
2、证明：
A
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
《角的平分线的性质》ppt经典课件
已知：如图，DB⊥AB,DC⊥AC,B,C 是垂足，
DB=DC，求证:DA平分∠BDC
证明：∵ DB⊥AB，DC⊥AC，DB=DC
∴DA平分∠BAC(角的内部到角的两边
的距离相等的点在这个角的平分线上)
∴∠BAD=∠DAC
A
∵∠B=∠C=90°
∴∠BDA=90 °-∠BAD
∠ADC=90 °-∠DAC
∴∠BDA=∠ADC(等角的余角相等）
即DA平分∠BDC
《角的平分线的性质》实用实用课件 （PPT优 秀课件 ）
B D
C
《角的平分线的性质》实用实用课件 （PPT优 秀课件 ）
1、 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，
EA
DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度， BE= BF .
F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. M C
D
F
A
EB N
《角的平分线的性质》实用实用课件 （PPT优 秀课件 ）
《角的平分线的性质》实用实用课件 （PPT优 秀课件 ）
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交 于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M
B
D
C
2、 如图，AB∥CD， O到AB、AC、CD三线的距离相等， F C
则O的位置______(∠__B_A_C__与_∠__A_C_D__平_分__线__的__交__点处) .
A B
O
C
D
《角的平分线的性质》实用实用课件 （PPT优 秀课件 ）
《角的平分线的性质》实用实用课件 （PPT优 秀课件 ）
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)
D
C
显然 , MD 为 EN 的中垂线 . 有 EM ＝ MN .
E
由 BM 2＋BE2＝BM 2＋NC 2＝ MD 2＋ DN 2＝ MN 2＝ EM 2, 可知△ BEM 为直角图三６角
形, ∠ MBE ＝90°. 有∠ ABC ＋∠ ACB ＝∠ ABC ＋∠ EBC＝90°. 于是 , ∠ BAC ＝90°．
∠ MDN ＝90°. 如果 BM 2＋CN 2＝DM 2＋ DN 2, 求证： AD 2＝ 1 ( AB 2＋ AC 2). 4
证明： 如图 6, 过点 B 作 AC的平行线交 ND延长线于 E. 连 ME.
M
A N
由 BD ＝ DC , 可知 ED＝ DN . 有△ BED≌△ CND . 于是 , BE＝ NCB .
2、欲“送”线段到当处 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条
加平行线 , 将某些线段“送”到恰当位置 , 以证题 .
, 常可通过添
例 3、在△ ABC 中 , BD 、CE 为角平分线 , P 为 ED 上任意一点 . 过 P 分别作 AC 、 AB 、BC
的垂线 , M 、 N 、 Q 为垂足 . 求证： PM ＋PN ＝PQ . 证明： 如图 3, 过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F, 过点 F 作 BC 的
DB . 过 D 作 AB 的垂线 , 交半圆于 C. 求证： CD 平分 EF.
CF E
证明： 如图 7, 分别过点 E、 F 作 AB的垂线 , G、H 为垂足 , 连 FA、EB.
易知 DB 2＝FB2＝ AB · HB, AD 2＝ AE2＝ AG ·AB .
A G DOH
B
二式相减 , 得 DB 2－ AD 2＝ AB · ( HB －AG ), 或 ( DB －AD ) · AB ＝ AB ·( H图B７－ AG ).
角平分线判定(新)课件
判定定理的证明
总结词：逻辑严密
详细描述：证明角平分线的判定定理需要利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理。首先，根据题意画出图形，然后 利用等腰三角形的性质证明两个三角形全等，从而得出角的平分线性质。
判定定理的应用实例
总结词：实际应用
详细描述：角平分线的判定定理在几何证明题中应用广泛，例如在证明三角形内角平分线性质定理、 解决角度和距离问题等方面都有应用。通过掌握判定定理，可以更快速地解决相关几何问题。
总结词
通过构造等腰三角形，利用等腰三角形 的性质来平分角。
VS
详细描述
首先，确定角的顶点，并从该顶点出发作 射线。然后，在射线上取一个点，使得该 点到角的顶点的距离等于射线与角的另一 边的交点到角的顶点的距离。接着，连接 角的两边与这个点，形成等腰三角形。最 后，利用等腰三角形的性质，将原角平分 。
通过平行线作角平分线
总结词
利用平行线的性质，通过作平行线将角平分。
详细描述
首先，确定角的顶点，并从该顶点出发作射线。然后，在射 线上取一个点，过这个点作一条与角的另一边平行的直线。 接着，连接角的两边与这条直线的交点。最后，利用平行线 的性质，将原角平分。
04
角平分线的性质与判定定 理的关联
性质与判定定理的关系
角平分线定理
三角形中，角平分线将相对边分 为两段，且这两段与角平分线上 的点到角的两边距离成比例。
定理的应用
利用角平分线定理可以证明线段 相等、求角度等，是解决三角形 问题的重要工具。
在日常生活中的应用
01
02
03
建筑设计
在建筑设计中，为了满足 采光、通风等需求，常常 需要利用角平分线的性质 来设计窗户、通风口等。
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
[角平分线的课件]角平分线的性质课件
![[角平分线的课件]角平分线的性质课件](https://img.taocdn.com/s3/m/f0fb2065cbaedd3383c4bb4cf7ec4afe04a1b1d4.png)
[角平分线的课件]角平分线的性质课件从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
教学目标【知识与技能】1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.【过程与方法】1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感、态度与价值观】2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.重点难点【重点】角平分线的性质定理及其逆定理.【难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.一、创设情境,导入新知师:同学们知道怎样作出角的平分线吗生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.作法:1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线.师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”教师边操作边讲解:用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么学生操作.师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么生:是这个角的平分线.师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE;(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗学生思考后回答.问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:图形已知事项由已知事项推出的事项OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D、EPD=PE(推证定理1)问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:图形已知事项由已知事项推出的事项DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分别为E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.(推证定理2)三、练习新知,加深理解师:下面我们接着来探讨上面的问题3.教师多媒体出示:(1)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)∴DC=DE.()(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)∴点D在∠BAC的平分线上.()学生思考后抢答,教师板书.第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.教师多媒体出示:【例1】已知:∠C=∠C'=90°,AC=AC'.求证:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)学生思考后交流讨论.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.证明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义)又∵AC=AC',(已知)∴点A在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)∴∠ABC=∠ABC'.(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)即∠BAC=∠ABC'.∵BC⊥AC,BC'⊥AC',∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)【例2】已知:△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.求证:AP平分∠BAC.证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)同理PN=PM.∴PN=PQ.(等量代换)∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)四、课堂小结师:你今天学习了什么知识有什么新的收获学生回答,教师点评.教学反思本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.。
赣县中学北校区高二数学竞赛平几讲义(一)
赣县中学北校区高二数学竞赛平几讲义（一）整理人：彭福星 2015-11-07 第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO ）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在。
同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300 分中的50 分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”。
除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.（一）梅涅劳斯定理定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.三点，则：1=⋅⋅EA DC FB.1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式. （3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.1A C C B =⋅⋅点分点到点到分点点分点到点到分点.（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过A 作BC AG //交DF 延长线于G ，∵BC AG //，∴BD AG FB AF =，AGCDEA CE =， ∴1=⋅⋅=⋅⋅CD BD AG CD BD AG CD BD EA CE FB AF ，∴1=⋅⋅EACEDC BD FB AF . （2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过A 、B 、C 作'AA 、'BB 、'CC 垂直已知直线，由直角三角形相似比，易知''BB AA FB AF=、''CC BB DC BD =、''AA CC EA CE =，∴1''''''=⋅⋅=⋅⋅AA CC CC BB BB AA EA CE DC BD FBAF. （3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）. （常用于证明三点共线）如果有三点D 、E 、F 分别在三角形ABC 的三边或其延长线，且满足：1=⋅⋅EACEDC BD FB AF ，则三点D 、E 、F 在同一直线上. （2）角元形式的梅涅劳斯定理：如果一直线顺次与三角形ABC 的三边BC 、AC 、AB或其延长线交于D 、E 、F三点，则三点DEF共线等价于1sin sin sin sin =∠∠⋅∠⋅∠FCB ACFCBE BAD .例题1：已知过ABC ∆顶点C 的直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证：FBAFED AE 2=. 证明：直线CEF 截ABD ∆，由梅涅劳斯定理，得：1=⋅⋅EA DECD BC FB AF ，又CD BC 2=， ∴21=⋅EA DE FB AF ，则FBAFED AE 2=. [注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.变式练习１：在△ABC 中，AG 是角平分线，D 是BC 中点，DG ⊥AG 交AB 于E，交AC延长线与F ，求证：BE=CF=)(21AC AB -．C例题2：已知过ABC ∆重心G 的直线分别交边AB 、AC 及CB 延长线于点E 、F 、D ，求证：1=+FACFEA BE . 证明：连接AG 并延长交BC 于M ，则CM BM =，∵DEG 截ABM ∆，∴由梅氏定理得，1=⋅⋅DBMD GM AG EA BE ； 同理：1=⋅⋅DC MDGM AG FA CF ∴MD DB AG GM EA BE ⋅=，MDDCAG GM FA CF ⋅=， ∴11221)(=⨯=+⋅=⋅+=+MD DC DB AG GM MD AG DC DB GM FA CF EA BE ，即1=+FACFEA BE . 变式练习２：（塞瓦（Ceva ）定理）在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅EACEDC BD FB AF ．例题1：若ABC ∆的A ∠的外角平分线交边BC 延长线于P ，B ∠的平分线交边AC 于Q ，C ∠的平分线交边AB 于R ，则P 、Q 、R 三点共线. 证明：由三角形内、外角平分线定理知：CA BA PC BP =，AB BC QA CQ =，CBCARB AR =， 则1=⋅⋅=⋅⋅ABBC CA BA CB CA QA CQ PC BP RB AR ， 故P 、Q 、R 三点共线.变式练习１：（帕斯卡（Pascal ）定理）圆内接六边形ABCDEF 的三双对边的延长线交于三点P 、Q 、R ，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）例题2：（莱莫恩（Lemoine ）定理）过任意ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线.证明：∵CR 是⊙O 的切线，∴RAC ∆∽RCB ∆，∴CBACRB RC RC RA ==， 则2)(CBAC RB RC RC RA RB RA =⋅=， 同理：2)(AC AB CP BP =，2)(BABC QA CQ = ∴1)()()(222=⋅⋅=⋅⋅ABBC CA BA CB CA QA CQ PC BP RB AR ， 故P 、Q 、R 三点共线.变式练习2：（西姆松（Simson ）定理）若从△ABC 的外接圆上一点P 作BC 、AB 、AC的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（此线常称为西姆松线）C精选例题例题1 在△ABC 中，AG 是角平分线，D 是BC 中点，DG ⊥AG 交AB 于E ，交AC 延长线与F ，求证：BE=CF=)(21AC AB -．例题2 △ABC 中，∠A 的外角平分线交BC 延长线于点D ，∠B 、∠C 的平分线交对边于E 、F ，求证：D 、E 、F 三点共线．例题3 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点E ，BC 、AD 的延长线交于点F,EF 分别交AB 、CD 于N 、M,求证：AN=NB ．例题4过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB于点D 。
123角平分线的性质1精品PPT课件
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等
已知：OC是∠AOB 的平分线，P在OC上， PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，求证：PD=PE
分析：仔细观察图形，思考证明两条线断
相等的方法有哪些？ DA
△PDO≌ △PEO吗？
C
P O
EB
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
PD⊥AB， PE⊥BC
∴PD=PE
D
A
N
F
同理 PE=PF
M P
∴PD=PE=PF B
E
C
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等
想一想，点P在∠A的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有
什么性质？
A D
N
F
M
P
B
E
C
我们知道，角平分线上的点到 角__两__边__的__距__离__相等
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
如何用尺规作角的平分线？
作法：１．以Ｏ为圆心，适当
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
交ＯＢ于Ｎ．
A
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1 ＭＮ的长为 2
Ｃ
Ｍ
半径作弧．两弧在∠AOB的
内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
平分平角∠AOB，通过上面的步骤得到射线OC以后，
把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么
E有垂B直OA,OB,它们不是角平 分线上任一点到这个角两边的距离,所 以不一定相等
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第三讲 角平分线定理
一、知识要点：
1、 三角形内角平分线的性质定理
三角形内角的平分线内分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D,求证：
AC
AB DC BD = A B C D
A B C D
2、 三角形外角平分线的性质定理
三角形外角的平分线外分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
已知：如图，在ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交BC 的延长线于点D,求证：
AC
AB DC BD = A B D C
A B D C
二、要点分析：
1、 对于涉及与角平分线相关的计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算；
2、 对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明
的目的；
三、例题讲解：
题型一：计算题
例1、 在ABC ∆中，
90=∠C ,CD 是C ∠的平分线，且CA=3,CB=4,求CD 的长。
C
A B D
例2、 如图：若PA=PB,ACB APB ∠=∠2,AC 与PB 相交于点D,且PB=4,PD=3,求
DC AD ⋅的值。
P
A B C D
题型二：证明题 例3、 如图：I 是ABC ∆三个内角平分线的交点，AI 交对边于D,求证：
BC
AC AB ID AI += A B C D I
例4、如图：Rt ABC ∆中， 90=∠ACB ,CD ⊥AB 于D,AF 平分CAB ∠交CD 于E,交CB
于F,且EG ∥AB 交CB 于G,求证: CF=GB A B C
D F
E
G
例5：如图：在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠,C E ⊥AD 交AB 于G,AM 是BC 边的中线，
交CG 于F,求证：AC ∥DF A
B C D E G
M F
例6、如图：在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是c b a 、、,且c b a >>，AS 、'AS 为A ∠的平分线与外角平分线，'BT 、BT 为B ∠的平分线与外角平分线，'C U CU 、为B ∠的平分线与外角平分线,求证：'''111TT UU SS =+
S A
S ’
B C
角平分线定理练习
1、 在直角三角形中，
90=∠C ，AD 平分A ∠,且BD ：DC=2:1，则=∠B ________.
2、 在Rt ABC ∆中，
90=∠C ，CD 是斜边AB 上的高，CE 是C ∠的平分线，若
32=EB AE ,则DB
AD 的值为_________. 3、 已知：AD 是Rt ABC ∆斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线交AD 于M,DAC ∠的平分线交CD 于N,求证：M N ∥AC
B
C A
D M
N
4、 已知AD 是等腰ABC ∆底边BC 上的高，BM 及BN 是B ∠的三等分线，分
别交AD 于M 、N,连接CN 并延长交AB 于E,求证：MN
AM EB AE = A
B
C D E M
N
5、 如图：在ABC ∆中，AB=AC,BC 边上的高AD=5,M 为AD 上一点，MD=1,
且BAC BMC ∠=∠3,试求ABC ∆的周长。
B C D M
A
6、 在ABC ∆中，
90=∠ACB ,C H ⊥AB,H 为垂足，D 是AC 的中点，CE 平分ACH ∠交AB 于E,DE 与CH 的延长线交于点F,求证：BF ∥CE A B
C
H D
E F。