数值分析课程第五版课后习题答案

第一章 绪论（12）

1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*

****1)()(ln )(ln x x

x x x ， 相对误差为*

*

**

ln ln )

(ln )(ln x x x x r

δ

εε=

=

。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n

x 的误差为n

n x x n

x

n x x n x x x **

1

***

%2%2)

()()()(ln *

⋅=='=-=εε，

相对误差为%2)

()

(ln )(ln ***

n x x x n

r

==

εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5

⨯=x 。 [解]1021.1*1

=x 有5位有效数字；0031.0*

2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*

4

=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*

4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给

的数。

（1）*

4*2*1x x x ++；

[解]3

334*

4*2*11**

*4*2*1*1005.1102

1

10211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e n

k k k εεεε；

（2）*

3*2

*1x x x ；

[解]5

2130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.0102

1)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(33

33334*3*2*1*2*3*1*1*3*21**

*

3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k

εεεε；

（3）*4*2/x x 。

[解]5323

2

323*42*4*

2*2*41**

*4*2*1088654.0102

1)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=

+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k k

εεε。 5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 允许的相对误差是多少？

[解]由3*3**3**)(3

4)

)(34

())(3

4(%1R R R r ππεπε==可知，

)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⨯=， 从而**

*

31%1)(R R ⨯=ε，故300131%1)()(*

***

*=⨯==R

R R r εε。 6、设280=Y ，按递推公式),2,1(783100

1

1 =-

=-n Y Y n n 计算到100Y ，若取982.27783≈（五位有效数字，）试问计算100Y 将有多大误差？

[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，并且由

982.27100

11⨯-

=-n n Y Y ，7831001

1⨯-=-n n Y Y 可知， )783982.27(1001

11-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ，即

=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002

)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，从

而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，

而3102

1982.27783-⨯≤

-，所以3100*1021

)(-⨯=Y ε。

7、求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有四位有效数字（982.27783≈） [解]由78328±=x 与982.27783≈（五位有效数字）可知，

982.55982.2728783281=+=+=x （五位有效数字）。

而018.0982.2728783282=-=-=x ，只有两位有效数字，不符合题意。 但是22107863.1982

.551

783

28178328-⨯==

+=

-=x 。

8、当N 充分大时，怎样求⎰++12

11

N N

dx x ？ [解]因为N N dx x

N N

arctan )1arctan(11

12

-+=+⎰

+，当N 充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，从而

1

1

)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=

-N N N N N N βαβαβα，

因此1

1

arctan 112

1

2++=-=+⎰

+N N dx x N N

βα。 9、正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若要求1))((2**=l ε，则

2001100212)

)(()(*

2***

*=⨯=

=

l l l εε，即边长应满足200

1

100±=l 。

10、设2

2

1gt S =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有1.0±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 [证明]因为****

**1.0)()()(

)(gt t gt t dt

dS S ===εεε， ***2****

**51)(2)(2

1)()

()(t t t t g t gt S S S r

====

εεεε，所以得证。 11、序列{}n y 满足递推关系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？