(绩效考核)离散数学形成性考核作业(三)

离散数学图论部分综合练习辅导

本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18)，主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解壹些典型的综合练习题目，帮助大家进壹步理解和掌握图论的基本概念和方法。

图论作为离散数学的壹部分，主要介绍图论的基本概念、理论和方法。教学内容主要有图的基本概念和结论、图的连通性和连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图和汉密尔顿图、平面图、对偶图和着色、树和生成树、根树及其应用等。

本次综合练习主要是复习这壹部分的主要概念和计算方法，和集合论壹样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这壹部分主要内容的学习。下面分别讲解。

壹、单项选择题

1．设图G的邻接矩阵为

则G的边数为()．

A．5B．6C．3D．4

正确答案：D

上学期的作业中，有的同学选择答案B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义：

定义3.3.1设G=是壹个简单图，其中V={v1，v2，…，v n}，则n阶方阵A（G）=（a ij）称为G的邻接矩阵．其中各元素

而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点v i和v j相邻时，结点v j和v i也相邻，所以连接结点v i和v j的壹条边于邻接矩阵的第i行第j列处和第j 行第i列处各有壹个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有8÷2=4条边。

2．设图G＝，则下列结论成立的是()．

A．deg(V)=2∣E∣B．deg(V)=∣E∣

C．D．

正确答案：C

该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理：

定理3.1.1设G是壹个图，其结点集合为V，边集合为E，则

3．图G如右图所示，以下说法正确的是()．

A．{(a,d)}是割边

B．{(a,d)}是边割集

C．{(d,e)}是边割集

D．{(a,d),(a,c)}是边割集

正确答案：C

上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边

割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义：

定义3.2.9设无向图G=为连通图，若有边集E1 E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的壹个边割集．若某个边构成壹个边割集，则称该边为割边（或桥）

如果答案A正确，即删除边(a,d)后，得到的图是不连通图，但事实上它仍是连通的。因此答案A是错误的。

4．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=()．

A．e－v＋2B．v＋e－2C．e－v－2D．e＋v＋2

正确答案：A

该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。

定理4.3.2（欧拉定理）设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则下列欧拉公式成立．

v-e+r=2

5．无向图G存于欧拉通路，当且仅当()．

A．G中所有结点的度数全为偶数

B．G中至多有俩个奇数度结点

C．G连通且所有结点的度数全为偶数

D．G连通且至多有俩个奇数度结点

正确答案：D

上学期许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.1.1进行选择，才是正确的。复习定义和定理：定义4.1.1给定无孤立结点图G，若存于壹条路经过图G的每条边壹次且仅壹次，则该路称为欧拉路；

若存于壹条回路经过图G的每条边壹次且仅壹次，于该回路称为欧拉回路；……

定理4.1.1无向图G具有壹条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或2个奇数度数的结点．

推论壹个无向图具有壹条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，且且它的结点度数均是偶数．

所以，正确答案应该是D．

6．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的()条边，才能确定G的壹棵生成树．

A．B．C．D．

正确答案：A

上学期许多同学选择答案D。主要是把定理5.1.1给出的图T为树的等价定义之壹是图T连通且e=v-1中的公式用错了．大家只要把m代入公式e=v-1中的e，把n代入公式e=v-1中的v，能够知道答案A是正确。

定理5.1.1给定图T，则以下关于图T为树的定义等价．

（1）无回路的连通图．

（2）无回路且e=v-1，其中e是边数，v是顶点数．

（3）连通且e=v-1．

（4）无回路，但增加任壹新边，得到且仅得到壹个回路．

（5）连通，但删去任壹边后图便不连通．（v≥2）

（6）每壹对顶点之间有且仅有壹条路．（v≥2）

定理5.1.1的六个等价定义，大家应该熟记的．最主要的是：无向简单图G是棵树，当且仅当G连通且边数比结点数少1．

二、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是．

应该填写：15

主要检查大家对握手定理掌握的情况。

定理3.1.1（握手定理）设G是壹个图，其结点集合为V，边集合为E，则因为图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即，所以边数有。

问：若无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各壹个，那么T的树叶数为多少？

2．设给定图G(如右图所示)，则图G的点割集是

．

ο

ο

ο

ο

ο

c a b

e dοf

应该填写：{f}，{c，e}

上学期许多同学填错答案主要对点割集的概念理解

不正确。

定义3.2.7设无向图G=为连通图，若有点集V1⊂V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V1是G的壹个点割集．若某个结点构成壹个点割集，则称该结点为割点．

上学期许多同学填写的{f，c}，主要是没有完全理解定义3.2.7，因为{f}是{f，c}的真子集，而删除{f}后，图是不连通的。

3．设无向图G＝是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，均有≤∣V1∣．

应该填写：W(G-V1)

因为具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．而由

定理4.2.1若图G=中具有壹条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S)≤|S|成立，其中W(G-S)是（G-S）中连通分支数．因此应该填写：W(G-V1)．

4．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度．

应该填写：等于出度

如果大家记住“具有欧拉回路的图称为欧拉图”和定理4.1.2：壹个有向图具有单向欧拉回路，当且仅当它是连通的，且每个结点的入度等于出度．大家壹定能填写出正确答案的。

5．设完全图K有n个结点(n≥2)，m条边，当时，K中存于欧拉回路．

应该填写：n为奇数

上学期许多同学填错答案主要对完全图的概念理解不正确。

定义3.1.6简单图G=中，若每壹对结点间均有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．

由定义可知，完全图K n中的任壹结点v到其它结点均有壹条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数。

由定理4.1.1的推论可知，应该填写：n为奇数。

6．给定壹个序列集合{1，01，10，11，001，000}，若去掉其中的元素，则该序列集合构成前缀码．

应该填写：1

因为于二进制中1是10和11的前缀。而前缀码的定义是（定义5.2.10）：给