人教版八年级上数学培优讲义教师版

第十一章全等三角形及其应用

【知识精读】

1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

4. 寻找对应元素的方法

（1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理

（2）推论：角角边定理

6. 注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

【分类解析】全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC 中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.

证明：在ΔACD和ΔABE中，

AE=AD

∠A=∠A

AB=AC.

∴ΔACD≌ΔABE (SAS)

∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

又∵ AD=AE,AB=AC.

∴ AB－AD=AC－AE

即 BD=CE

在ΔDBF和ΔECF中

∠B=∠C

∠BFD=∠CFE（对顶角相等）

BD=CE

∴ΔDBF≌ΔECF （AAS）

∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）

（2）证明线段平行

【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD

分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.

证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）

∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）

在ΔABF与ΔCDE中，

AF=CE （已知）

∠DEC＝∠BFA （已证）

DE=BF （已知）

∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）

∴∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)

∴ AB∥CD （错角相等，两直线平行）

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

【例3】如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE

分析：

(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF 是ΔACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F，连接BF

∴ BF=1

2

AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）

∴∠ACB＝∠2 (两直线平行错角相等) 又∵ AB=AC

∴∠ACB＝∠3 （等边对等角）

∴∠3＝∠2

在ΔCEB与ΔCFB中，

BF=BE

∠3＝∠2

CB=CB

∴ΔCEB≌ΔCFB (SAS)

∴ CE=CF=1

2

CD （全等三角形对应边相等）

即CD=2CE

（ⅱ）加倍法

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

在ΔAEC与ΔBEF中，

AE=BE

∠1＝∠2 （对顶角相等）

CE=FE

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)

∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)

∴ BF∥AC (错角相等两直线平行)

∵∠ACB+∠CBF=180o,

∠ABC+∠CBD=180o,

又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）

在ΔCFB与ΔCDB中，

CB=CB

∠CBF=∠CBD

BF=BD

∴ΔCFB≌ΔCDB (SAS)

∴ CF=CD

即CD=2CE

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.

(4)证明线段相互垂直

【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.

证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中