【高考数学】冲刺高考 强化训练---专题03 直击函数压轴题中零点问题

1
，
当
x
1 时，
f
x
有极小值，且极小值为
f
1
Hale Waihona Puke 1 a61
.
（2）由（1）得
f
x
ax
1
x
1 a
．
∵ 0 a 1，∴ 1 1. a
①
1
当
2，即0
a
1
时，
f
x 在 0,1 上单调递增，在 1, 2 上递减
a
2
又因为 f 0 1 0, f 1 1 a 1 0, f 2 1 2a 1 0
当 1 a 0 时，由（1）得 ln x 2 x 1 ，
于是 ex x 1 ，所以 eax ax 1 a x 1 ．
所以 f x eax eaxln x 2 x 1 eax x 1 aln x 2 1 ] ．
于是
f
1 e a
e1
1 e a
1
1 aln e a
（1）若 a 0 时，讨论 f (x) 的单调性； （2）设 g(x) f (x) 2x ，若 g(x) 有两个零点，求 a 的取值范围
11．（2020·全国高三专题练习）已知函数 f x cos x ax2 1.
（1）当 a 1 时，证明： f x 0 ；
2
（2）若 f x 在 R 上有且只有一个零点，求 a 的取值范围．
（1）若 a 0 ，求 f (x) 极值；
（2）证明：当 a 1 ， a 0 时，函数 f (x) 在 (1, ) 上存在零点.
【答案】（1） f x 取得极大值 0，无极小值（2）见证明
【解析】（1）当
a
0
时，f
x
ln x
2 x
1 ，定义域为 2, ，由
f
x
x 1 x2
0
得
x
1 ．
6a2
1
0
所以 f x 在0,1上有且只有一个零点，在1, 2上没有零点，
所以在0, 2 上有且只有只有一个零点.
综上：当 0 a 1 时， f x 在 0, 2 上有两个零点； 2
当 1 a 1时， f x 在0, 2 上有且只有一个零点．
2
5．（2020·四川省棠湖中学高三月考）已知设函数 f (x) ln(x 2) (x 1)e ax .
【解析】（1）由题意，方程 ex a(x 1 2) 0 在区间 (1, 0) 有解，
x
即方程 xex a(x 1)2 0 在区间 (1, 0) 有解，
设函数 g(x) xex a(x 1)2 ，即 g(x) 在区间 (1, 0) 存在零点．
因为 g(x) (x 1)(ex 2a ) ，
且 g(x) g(0) a 0 ，所以 g(x) 在区间 (1, 0) 无零点；
③若 a 0 ，则 xex 0 ， a(x 1)2 0 ，
当 x (1, 0) 时， g(x) 0 ， g(x) g(1) 0
故 g(x) 在区间 (1, 0) 无零点；
综上所述， a 0 ．
（2）由（1）可知，
①若 a 0 ，则 ex 2a 0 ， x 1 0 ， g(x) 0 成立， g(x) 在区间 (1, 0) 单调递增，
g(0) a 0 ， g(1) 1 0 ， g(0) g(1) 0 ， e
所以 g(x) 在区间 (1, 0) 存在零点；
②若 a 0 ，则 g(x) xex 0 ， g(x) 在 (1, 0) 内单调递减，
x
（1）求 a 的范围；
（2）设 a
2 e2
， x1, x2 (x2
x1) 是
f
(x)
的两个零点，求证： x1
x2
2．
4．（2020·安徽省高三月考）已知函数 f x a x3 1 a 1x2 x 1 a R .
32
3
（1）若 a 1，求函数 f x 的极值；
（2）当 0 a 1 时，判断函数 f x 在区间0, 2 上零点的个数.
4．（2020·安徽省高三月考）已知函数 f x a x3 1 a 1x2 x 1 a R .
32
3
（1）若 a 1，求函数 f x 的极值；
（2）当 0 a 1 时，判断函数 f x 在区间0, 2 上零点的个数.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】（1）∵ f x a x3 1 a 1 x2 x 1 ，
2．（2020·全国高三专题练习）已知函数 f (x) sin x x3 ， f x 为 f (x) 的导函数.
（1）求 f (x) 在 x 0 处的切线方程；
（2）求证：
f
x
在
2
, 2
上有且仅有两个零点.
3．（2020·安徽省高三期末）已知函数 f (x) ex a(x 1 2) 在区间 (1, 0) 内存在零点．
【高考数学】冲刺高考 强化训练
专题三 直击函数压轴题中零点问题
一、解答题
1．（2020·湖南省高三考试）设函数
f
x
x2
bx
1b R
，
F
x
f
x,x 0 f x,x 0
.
（1）如果 f 1 0 ，求 F x 的解析式；
（2）若 f x 为偶函数，且 g x f x kx 有零点，求实数 k 的取值范围.
因此
f
x
在
2
, 2
上有且仅有两个零点.
3．（2020·安徽省高三期末）已知函数 f (x) ex a(x 1 2) 在区间 (1, 0) 内存在零点．
x
（1）求 a 的范围；
（2）设 a
2 e2
， x1, x2 (x2
x1) 是
f
(x)
的两个零点，求证： x1
x2
2．
【答案】（1） a 0 （2）证明见解析
则只需证明
f
x
在
0,
2
上有且仅有一个零点即可.
f x sin x 6x ，
当
x
0,
2
时
f
x
0
，
故
f
(x)
在
0,
2
上单调递减，
因为
f
0
1
0，
f
2
3
2
2
0
，
由零点存在定理，可知存在
x0
0,
2 使得
f
x0
0，
所以
f
x
在
0,
2
上有且仅有一个零点，
所以
F
x
x2 2 x2
x 2
1, x x 1,
0 x
0
.
（2）因为 f x x2 bx 1为偶函数，所以 b 0 ，即 f x x2 1 .
因为 g x f x kx 有零点，所以方程 x2 1 kx 0 有实数根.
所以 k 2 4 0 ，
所以 k , 22, .
2．（2020·全国高三专题练习）已知函数 f (x) sin x x3 ， f x 为 f (x) 的导函数.
（1）求 f (x) 在 x 0 处的切线方程；
（2）求证：
f
x
在
2
, 2
上有且仅有两个零点.
【答案】（1） y x ；（2）证明见解析.
【解析】（1） f x cos x 3x2, f 0 1， 又 f 0 0 ，所以切点为 0, 0 . 故 f x 在 x 0 处的切线方程为 y x ； （2） f (x) cos x 3x 2, 因为 f (x) 为偶函数，且 f 0 1，
12．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数 （Ⅰ）求 a 的取值范围；
有两个零点.
（Ⅱ）设 x1，x2 是 的两个零点，证明：
.
13．（2020·广东省执信中学高三月考）已知函数 f x alnx x 1 ex ，其中 a 为非零常数．
1 讨论 f x 的极值点个数，并说明理由；
2 若 a e ，i 证明：f x 在区间 1, 内有且仅有 1 个零点；ii 设 x0 为 f x 的极值点，x1 为 f x
当 x 变化时， f x ， f x 的变化情况如下表：
x
2, 1
1
1,
f x
0
f x
极大值
故当 x 1 时， f x 取得极大值 f 1 ln 2 1 11 0 ，无极小值．
（2）
f
x
1 x
2
eax
1 a x 1
，
x
2 ．
当a
0
时，因为
x
1 ，所以
f
x
x
1
22
aeax
a x
9．（2020·安徽省高三期末）已知函数 f x ae2x 1 2a ex x .
（1）当 a 0 时，讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 有两个不同零点 x1 ， x2 ，证明： a 1且 x1 x2 0 .
10．（2020·新疆维吾尔自治区高三月考）已知函数 f (x) 2x2 1 a ln x(a R) x
2 （2）若 a 1 ，证明函数 f (x) 不存在的极值.
2
7．（2020·河北省高三期末）已知函数
f
x
ex
x x
1 1.
（Ⅰ）讨论 f x 的单调性，并证明 f x 有且仅有两个零点；
（Ⅱ）设 x0 是 f x 的一个零点，证明曲线 y ex 在点 A x0 , ex0 处的切线也是曲线 y ln x 的切线.
32
3
∴
f
x
ax 2
a
1x
1
a
x
1
x
1 a
，
因为 a 1，所以 0 1 1 ， a
当 x 变化时， f x, f x 的变化情况如下表：
x
,
1 a
1 a
f x
0
f x
递增
极大值
1 a
,1
-
递减
1 0 极小值
1,
递增
由表可得当
x
1 a
时，
f
x
有极大值，且极大值为
f
1 a
2a2 3a 6a 2
a
2 e2
时， g(x)
在区间 (, 1) 单调递减，在区间 (1, ) 单调递增，
且 g(x) 在区间 (1, 0) 存在一个零点；
又
g (2)
2 e2
a
0
，
g(2)
g (1)
0
，
所以 g(x) 在区间 (2, 1) 也存在一个零点，
从而 2 x2 x1 0 ，
所以 x1 x2 2 ，不等式得证．
的零点且 x1 1 ，求证： x0 2lnx0 x1 ．
14．（2020·河南省高三开学考试）已知函数 f x ln x 2x a （ a R ）.
（1）若函数 f x 有两个零点，求实数 a 的取值范围
（2）证明：
2x
ln
x
x
1 2
e
x
1 2
ln
2
一、解答题
1．（2020·湖南省高三考试）设函数
2
1]
e1
1 e a
1
1 aln e a
1]
0．
因为
f
0
ln2 1
0 ，所以所以
f
x
在
e
1 a
,
存在零点．
综上，当 a 1， a 0 时，函数 f x 在 1, 上存在零点．
6．（2020·湖南省高三期末）已知函数 f (x) (x 2) ln x ax 2 4x 7a(a R) .
1
2
0
，
f x 在 1, 单调递减． 因为 f 1 1 ea 0 ， f 0 1 b 0 ，
2
所以有且仅有一个 x1 1, 0 ，使 g x1 0 ， 当 1 x x1 时， f x 0 ，当 x x1 时， f x 0 ， 所以 f x 在 1, x1 单调递增，在 x1, 单调递减． 所以 f x0 f 1 0 ，而 f 0 ln2 1 0 ， 所以 f x 在 1, 存在零点．
f
x
x2
bx
1b R
，
F
x
f
x,x 0 f x,x 0
.
（1）如果 f 1 0 ，求 F x 的解析式；
（2）若 f x 为偶函数，且 g x f x kx 有零点，求实数 k 的取值范围.
【答案】（1）
F
x
x2 2 x2
x 2
1, x x 1,
0 x
0
（2）
k
,
2
2,
【解析】（1）因为 f 1 0 ，所以1 b 1 0 ，即 b 2 .
8．（2020·重庆高三月考）已知函数 f (x) ln x ax a （a 为常数）的最大值为 0.
（1）求实数 a 的值；
（2）设函数 F (x)
m(x
1) ln
x
f
(x)
1
3 e
，当 m
0 时，求证：函数
F
x
有两个不同的零点
x1 ，x2
（ x1 x2 ），且 x2 x1 e e1 .
5．（2020·四川省棠湖中学高三月考）已知设函数 f (x) ln(x 2) (x 1)e ax .
（1）若 a 0 ，求 f (x) 极值； （2）证明：当 a 1 ， a 0 时，函数 f (x) 在 (1, ) 上存在零点.
6．（2020·湖南省高三期末）已知函数 f (x) (x 2) ln x ax 2 4x 7a(a R) . （1）若 a 1 ，求函数 f (x) 的所有零点；
3
6
3
所以 f x 在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，
所以 f x在0, 2 上有两个零点．
②
当1
1 a
2 ，即 1 2
a 1时，
f
x
在
0,1
上单调递增，在
1,
1 a
上递减，在
1 a
,
2
上递增，
又因为 f 0 1
3
0, f 1 1 a 1
6
0,
f
1 a
2a
1 a