离散数学(西安交大版)习题解第一部分(集合论部分)

离散数学辅助教材
概念分析结构思想与推理证明
第一部分
集合论
刘国荣
交大电信学院计算机系
离散数学习题解答
习题一（第一章集合）
1. 列出下述集合的全部元素：
1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}
2）B={x|x∈N∧4+x=3}
3）C={x|x是十进制的数字}
[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}
2）B=∅
3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
2. 用谓词法表示下列集合：
1）{奇整数集合}
2）{小于7的非负整数集合}
3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}
[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；
2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；
3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。

3. 确定下列各命题的真假性：
1）∅⊆∅
2）∅∈∅
3）∅⊆{∅}
4）∅∈{∅}
5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}
6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})
7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}
8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}
[解]1）真。

因为空集是任意集合的子集；
2）假。

因为空集不含任何元素；
3）真。

因为空集是任意集合的子集；
4）真。

因为∅是集合{∅}的元素；
5）真。

因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；
6）假。

因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。

因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；
8）假。

因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。

4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。

[解] 1）假。

例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。

2）假。

例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。

3）假。

例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。

5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：
1）如果A∈B∧B⊆C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B⊆C，则A⊆C。

3）如果A⊆B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A⊆B∧B∈C，则A⊆C。

[解] 1）真。

因为B⊆C⇔∀x（x∈B⇒x∈C），因此A∈B⇒A∈C。

2）假。

例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B⊆C，但A∉C。

3）假。

例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A⊆B∧B∈C，但A∉C。

4）假。

例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A⊆B∧B∈C，但A∉C。

6．求下列集合的幂集：
1）{a，b，c}
2）{a，{b，c}}
3）{∅}
4）{∅，{∅}}
5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}}
[解] 1）{∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}
2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}}
3）{∅，{∅}}
4）{∅，{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}
5）{∅，{{a，b}}}
7．给定自然数集合N的下列子集：
A={1，2，7，8}
B={ x|x2＜50}
C={x|x可以被3整除且0≤x≤30}
D={x|x=2K，K∈I∧O≤K≤6}
列出下面集合的元素：
1）A∪B∪C∪D
2）A∩B∩C∩D
3）B\（A∪C）
4）（A′∩B）∪D
[解] 因为B={1，2，3，4，5，6，7}，C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30}，D={1，2，4，8，16，32，64，}，故此
1）A∪B∪C∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，9，12，15，16，18，21，24，27，
30，32，64}
2）A∩B∩C∩D=∅
3）B\（A∪C）={4，5}
4）（A′∩B）∪D={1，2，3，4，5，6，7，8，16，32，64}
8．设A、B、C是集合，证明：
1）（A\B）=A\(B\C)
2）（A\B）\C=（A\C）\（B\C）
3）（A\B）\C=(A\C)\B
[证明] 1）方法一：（A\B）\C
=（A∩B′）∩C′（差集的定义）
=A∩（B′∩C′）（交运算的结合律）
=A∩（B∪C）′（deMorgan律）
=A\（B∪C）（差集的定义）
方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，则x∉C，同时，x∈A\B，x∈A，x∉B，所以，x∈A，x∉B∪C，即x∈A\（B∪C），由此可见（A\B）\C⊆A\（B∪C）。

反之，对任一元素x∈A\（B∪C），则x∈A，且x∉B∪C，也就是说x∉A，x∉B，x∉C。

所以x∈（A\B）\C，由此可见A\（B∪C）⊆（A\B）\C。

因此A\（B\C）。

2）方法一：（A\B）\C
=A\（B∪C）（根据1））
=A\（C∪B）（并运算交换律）
=A\（（C∪B）∩Ⅹ）（0—1律）
=A\（（C∪B）∩（C∪C′））（0—1律）
=A\（C∪（B∩C′）（分配律）
=（A\C）\（B∩C′）（根据1）
=（A\C）\（B∩C）（差集的定义）方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x∉B，x∉C，x∈A\C。

又由x∉B，x∉B\C，x∈（A\C）\（B\C）\（B\C）。

所以（A\B）\C⊆（A\C）\（B\C）。

反之，对任x∈（A\C）\（B\C），可知x∈A\C，x∉B\C。

由x∈A\C，可知x∈A，x∉C。

又因为x∉B\C及x∉C，可知x∉B。

所以，x∈（A\B）\C。

因此（A\B）\C⊆（A\B）\C。

由此可得（A\B）\（B\C）⊆（A\B）\C。

3）方法一：（A\C）\C
=A\（B∪C）(根据1))
=A\（C∪B）（并运算交换律）
=（A\C）\B （根据1））方法二：对任一元素x∈（A\B）\C，可知x∈A，x∉B，x∉C。

由为x∈A，x∉C，所以，x∈A\C。

又由x∉B，x∈（A\C）\B。

所以，（A\B）\C⊆（A\C）\B。

同理可证得（A\C）\B⊆（A\B）\C。

9. 设A、B是Ⅹ全集的子集，证明：
A⊆B⇔A′∪B=X⇔A∩B′=∅
[解](采用循环证法)
(1)先证A⊆B⇒A′∪B=X；
方法一：A′∪B=A′∪(A∪B) （因为条件A⊆B及定理4）=(A′∪A)∪B （∪的结合律）
=(A∪A′)∪B （∪的交换律）
=X∪B （互补律）
=X （零壹律）
方法二：A⊆B⇒A∪B=B （定理4）⇒B=A∪B （等号=的对称性）
⇒A′∪B=A′∪(A∪B) （两边同时左并上A′）
⇒A′∪B==(A′∪A)∪B （∪的结合律）
⇒A′∪B=(A∪A′)∪B （∪的交换律）
⇒A′∪B=X∪B （互补律）
⇒A′∪B=Ｘ（零壹律）
方法三：因为A′⊆X且B⊆X，所以根据定理2的3'）就有A′∪B⊆Ｘ；
另一方面，由于B⊆A′∪B 及根据换质位律可得B′⊆A′⊆A′∪B，因此，由互补律及再次应用定理2的3'），可得X=B∪B′⊆A′∪B，即X⊆A′∪B；
所以，A′∪B=Ｘ。

(2)次证A′∪B=X⇒A∩B′=∅；
A′∪B=X⇒(A′∪B)′=X′（两边同时取补运算′）
⇒(A′)′∩B′=X′（de Morgan律）
⇒A∩B′=X′（反身律）
⇒A∩B′=X′（零壹律）
(3)再证A∩B′=∅⇒A⊆B；
方法一：A=A∩X (零壹律) =A∩(B∪B′) (互补律)
=(A∩B)∪(A∩B′) (分配律)
=(A∩B)∪∅(条件A∩B′=∅)
=A∩B (零壹律)
⊆B （定理2的3)）
方法二：A∩B′=∅⇒B=B∪∅(零壹律)
=B∪(A∩B′) （条件A∩B′=∅）
=(B∪A)∩(B∪B′) (分配律)
=(A∪B)∩(B∪B′) (∪的交换律)
=(A∪B)∩X (互补律)
=A∪B (零壹律)
⇒A⊆B （定理4的2)）
10. 对于任意集合A，B，C，下列各式是否成立，为什么？
1）A∪B=A∪C⇒B=C
2）A∩B=A∩C⇒B=C
[解] 1）不一定。

例如：A={a}，B={a，b}，C={b}。

显然有
A∪B=A∪C，但B≠C。

2）不一定。

例如：A={a}，B={a，b}，C={b，c}。

显然有
A ∩B=A ∩C ，但
B ≠
C 。

11．设A ，B 为集合，给出下列等式成立的充分必要条件：
1） A\B=B 2） A\B=B\A 3） A ∩B=A ∪B 4） A ⊕B=A
[解] 1）A\B=A ∩B ′，由假设可知A\B=B ，即A ∩B ′=B 。

由此可知B=A ∩B ′⊆B ′，
故此B=B ∩B ′=∅。

由假设可知A=A\∅=A\B=B=∅。

所以当A\B=B 时有A=B=∅∅。

反之，当A=B=∅时，显然A\B=B 。

因此A\B=B 的充分必要条件是A=B=∅。

2）设A\B ≠∈∅，则有元素a ∈A\B ，那么，a ∈A ，而由假设A\B=B\A 。

所以a ∈B\A ，从而a ∉A ，矛盾。

所以A\B=，故A ⊆B 。

另一方面由B\A=A\B=∅。

可得B ⊆A 。

因此当A\B=B\A 时，有A=B 。

反之，当A=B 时，显然A\B=B\A=∅ 因此，A\B=B\A 的充要条件是A=B 。

3）由于A ∪B=A ∩B ，从而A ⊆A ∪B=A ∩B ⊆B ，以及B ⊆A ∪B=A ∩B ⊆A 故此A ∪B=A ∩B ，有A=B 。

5） 根据定理6的1）有A ⊕∅=A ，由已知条件A ⊕B=A ，可得A ⊕B=A ⊕∅。

从而由对称差的消去律可得B=∅。

反之，若B=∅，则A ⊕B=A ⊕∅=A 。

所以A ⊕B=A 的充分必要条件为B=∅。

12. 对下列集合，画出其文图：
1） A ′∩B ′ 2） A\（B ∪C ）′ 3） A ∩（B ′∪C ） [解]
A
B
A ′∩
B ′
A \ (
B ∪
C ) ′ B
C
A ∩ (
B ′∪
C )
A C
B
A X
X
X
13. 用公式表示出下面图中的阴影部分 [解]
14. 试用成员表法证明
1）（A ⊕B ）⊕C=A （B ⊕C ） 2）（A ∪B ）∩（B ∪C ）⊆AB ′ [解] 1）成员表如下 A B C A ⊕B （A ⊕B ）⊕C
B ⊕
C A ⊕（B ⊕Ｃ）
０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ ０ １ １ １ １ ０ １ １ １ ０ ０ ０ １ ０ ０ １ １ ０ １ １ ０ １ １ ０ １ ０ １ １０ ０ ０ １ ０ １ １ １
０ １ ０ １
成员表中运算结果⊕Ｃ及Ａ⊕（Ｂ⊕Ｃ）的两列状态表明，全集中的每一个体对它俩有相同的从属关系，故 （Ａ⊕Ｂ）⊕Ｃ＝Ａ⊕（Ｂ⊕Ｃ） 1） 成员表如下：
A B C A ∪B （B ∪C ） (B ∪C)′
(A ∪B)∩(B ∪C)′
B ′ A ∩B ′ ０ ０ ０ ０ ０
1 ０ 1 0 ０ ０ １ ０ １ 0
0 1 0 ０ １ ０ １ １
0 0 0 0 ０ １ １ １
1 0 ０ 0 0 １ ０ ０ １
0 1 １ 1 1 １ ０ １ １ 1 0 ０ 1 1 １ １０ 1 1 0 ０ 0 0 １ １ １
1 １ 0 0 0 0
A
C B
x
(A ∪B ∪C)∪(A ∩B ∩C)′
B
C A
x
(A ∩C) \B
成员表中运算结果（A∪B）∩（B∪C）′及A∩B′的两列状态表明，全集中的每一个体，凡是从属（A∪B）∩（B∪C）′的，都从属A∩B′，故（A∪B）∩（B∪C）′ A∩B
注：自然数集N取为{1，2，3，……，n，……}
习题二（第二章关系）
1．设A={1，2，3，}，B={a，b}求
1）A×B 2）B×A 3）B×B 4）2B×B
[解] 1）A×B={（1，a），（1，b），（2，a），（2，a），（3，a），（3，b）}
2）B×A={（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3）}
3）B×B={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b）}
4）2B={∅，{a}，{b}，{a，b}}
2B×B{（∅，{a}），（∅，b），（{a}，a），（{a}，b），（{b}，a），（{b}，b），（{a，b}，b）}
2．使A⊆A×A成立的集合A存在吗？请阐明理由。

[解] 一般地说，使A⊆A×A成立的集合A不存在，除非A=∅。

否则A≠∅，则存在元素x∈A×A，故有y1，y2∈A，使x=（y1，y2），从而y1，y2∈A×A，故此有y1，y2，y3，y4，使y1=（y1，y2），y2=（y3，y4），……。

这说明A中每个元素x，其结构为元组的无穷次嵌套构成，这不可能。

我们讨论的元素的结构必须是由元组的有限次嵌套构成。

3．证明A×B=B×A⇔A=∅∨B=∅∨A=B
[证] 必要性：即证A×B=B×A⇒A=∅∨B=∅∨A=B
若A×B=∅，则A=∅或者B=∅
若A×B≠∅，则A≠∅且B≠∅，因此对任何x∈A及任何y∈B就有（x，y）∈A×B，根据A×B=B×A，可得（x，y）∈B×A，故此可得x∈B，y∈A，因此而得A⊆B且B⊆A，所以由⊆的反对称性A=B。

充分性：即证A=∅∨B=∅∨A=B⇒A×B=B×A 这是显然的。

4．证明（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）
[证]证法一：（元素法）对任一（x，y）∈（A∩B）×（C∩D）有x∈A∩B，y ∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。

因而（x，y）∈A×C，且（x，y）∈B×D，所以（x，y）∈（A×C）∩（B×D）。

因而（A∩B）×（C∩D）⊆（A×C）∩（B×D）
另一方面，对任一（x，y）∈（A×C）∩（B×D），于是有（x，y）∈A×C且（x，y）∈B×D，因而x∈A，y∈C，x∈B y∈D。

所以x∈A∩B，y∈（C ∩D）。

所以（x，y）∈（A∩B）×（C∩D）。

因而（A×C）∩（B×D）⊆（A ∩B）×（C∩D）。

综合这两个方面有（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）。

证法二：（逻辑法）对任何x,y
(x,y)∈(A∩B)×(C∩D)
⇒x∈A∩B∧y∈C∩D
⇒(x∈A∧x∈B)∧(y∈C∧y∈D)
⇒(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D) (∧的结合律、交换律)
⇒(x,y)∈A×C∧(x,y)∈B×D
⇒(x,y)∈(A×C)∩(B×D)
由x，y的任意性，可得：(A∩B)×(C∩D)= (A×C)∩(B×D) 。

5．下列各式中哪些成立，哪些不成立？对成立的式子给出证明，对不成立的式子给出反例。

1）（A∪B）×（C∪D）=（A×C）∪（B×D）
2）（A\B）×（C\D）=（A×C）\（B×D）
3）（A⊕B）×（C⊕D）=（A×C）⊕（B×D）
4）（A\B）×C=（A×C）\（B×C）
5）（A⊕B）×C=（A×C）⊕（B×C）
[解] 1）不成立。

设A={a}，B={b}，C={c}，D={d}，则（a，-d）∈（A∪B）×（C∪D），但（a，-d）∉（A×C）∪（B×D）。

所以（A∪B）×（C∪
D）=（A×C）∪（B×D）不成立。

事实上有：（A×C）∪（B×D）⊆
（A∪B）×（C ）⊆（A∪B）×（C∪D）。

2）不成立。

设A={a}，B={b}，C=D={c}，则（a，c）∈（A×C）\（B×D）但（a，c）∉（A\B）×（C\D）。

因而（A\b）×（C\D）=（A×C）\（B×D）
不成立。

事实上有：（A\B）×（C\D）⊆（A×C）\（B×D）。

因为A\B⊆A，
C\D⊆，故有（A×C）\（B×D）⊆ A×C；又若（x，y）∈（A\B）×（C\D）故此x∈A\B，从而x∉B，y∈C\D，从而y∉D，故此（x，y）∉B×D综合这
两方面，有（A\B）×（C\D）⊆（A×C）\（B×D）。

3）不成立。

设A={a}，B={b}，C={a}，D={b}，则（a，b）∈（A⊕B）×（C⊕D），但（a，b）∉（A×C）⊕（B×D）。

所以（A⊕B）×（C⊕D）⊆（A×Ｃ）⊕（B ×D）不成立。

又设A={a}，B={b}，C={a}，D={c} 则（a，c）∈（A×Ｃ）⊕（B×D），但（a，c）∉（A⊕B）×（C⊕D）。

所以（A×Ｃ）⊕（B×D）⊆（A⊕B）×（C⊕D）不成立。

因此（A⊕B）×（C⊕D）与（A×Ｃ）⊕（B×D）无任何包含关系。

总之（A⊕B）×（C⊕D）=（A×Ｃ）⊕（B×D）不成立。

4）成立。

证明如下：对任一（x，y）∈（A\B）×C，有x∈A，x∉B，y∈C 于是（x，y）∈A×C，且（x，y）∈（A\B）×C，且（x，y）∉B×C（否则x∈B），所以（x，y）∈（A×C）\（B×C）。

因而
（A\B）×C⊆（A×C）\（B×C）。

又对任一（x，y）∈（A×C）\（B×C），有（x，y）∈A×C，且（x，y）∉B×C从而x∈A，y∈C及x∉B。

即x∈A\B，y∈C，故此（x，y）∈（A\B）×C。

所以（A×C）\（B×C）⊆（A×B）×C。

因而（A\B）×C=（A×C）\（B×C）。

另一种证明方法：
（A×B）×C
=（A∩B′）×C（差集的定义）
=（A×C）∩（B′×C）（叉积对交运算的分配律）
=（A×C）∩（B×C）′
（因（B×C）′=（B′×C））∩（B×C′）∪（B′×C′）
但（A×C）∩（B×C）′=（（A×C）∩（B′×C））∪∅
=（A×C）∩（B′×C））
=（A×C）∩（B′×C）（差集的定义）
证法三：（逻辑法）对任何x,y
(x,y)∈(A×C) \ (B×C)
⇒(x,y)∈A×C∧(x,y)∉B×C
⇒(x∈A∧y∈C)∧(x∉B∨y∉C)
⇒(x∈A∧y∈C∧x∉B)∨(x∈A∧y∈C∧y∉C) (∧对∨的分配律)
⇒(x∈A∧x∉B∧y∈C)∨(x∈A∧y∈C∧y∉C) (∧的结合律、交换律)
⇒(x∈A∧x∉B)∧y∈C (∧及∨的零壹律、∧的结合律)
⇒x∈A \ B∧y∈C
⇒(x,y)∈(A \ B)×C
由x，y的任意性，可得：(A \ B)×C=(A×C) \ (B×C) 。

5）成立。

证明如下：对任一（x，y）∈（A⊕B）×C，故此x∈A⊕B，y∈C于是x∈A且x∉B，或者x∉A且x∈B。

因此（x，y）∈（A×C）⊕（B×C）。

所以（A⊕B）×C⊆（A×C）⊕（B×C）。

对任一（x，y）∈（A×C）⊕（B×C）。

则（x，y）∈A×C且（x，y）∉B×C，或者（x，y）∉A×C且（x，y）B×C。

因此x∈A，yC，x∉B，或者x
∈B，y∈C，x∉A。

所以x∈A\B，或x∈B\A，并且y∈C，故此x∈A⊕B，y∈C。

因此（x，y）∈（A⊕B）×C，即（A×C）⊕（B×C）⊆（A⊕B）×C。

综合两方面、就有（A⊕B）×C=（A×C）⊕（B×C）
另一种证明方法：（A⊕B）×C
=（（A\B）∪（B\A））×C（对称差的定义）
=（（（A\B）×C）（（B\A）×C）（叉积对并运算的分配律）
=（（A×C）\（B×C）∪（B×C）\（A×C））（根据4））
=（A×C）⊕（B×C）（对称差的定义）
6．设A={1，2，3}，B={a}，求出所有由A到B的关系。

[解]：R0=∅，R1={（1，a）}，R2={（2，a）}，R3={（3，a）}，
R4={（1，a），（2，a）}，R s={（1，a），（3，a）}，R6={（2，a），（3，a）}，R7={（1，a），（2，a），（3，a）}
7．设A={1，2，3，4}，R1={（1，3），（2，2），（3，4）}，R2={（1，4），（2，3），（3，4）}，求：R1∪R2，R1∩R2，R1\R2，R1′，Ɗ（R1），Ɗ（R2），ℛ（R1），ℛ（R2），Ɗ（R1∪R2），ℛ（R1∩R2）
[解]：R1∪R2={（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（3，4）}
R1∩R2={（3，4）}
R1\R2={（1，3），（2，2）}
R1′=（A×A）\R={（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}
（R1）={1，2，3}，ℛ（R1）={2，3，4}，
（R2）={1，2，3}，ℛ（R2）={3，4}
（R1∪R2）={1，2，3}，ℛ（R1∩R2）={4}
8．对任意集合A及上的关系R1和R2，证明
1）ℛ（R1∪R2）=ℛ（R1）∪ℛ（R2）
2）ℛ（R1∩R2）⊆ℛ（R1）∩ℛ（R2）
[证] 1）一方面，由于R1⊆R1∪R2，R2⊆R1∪R2，根据定理1，有ℛ（R1）⊆ℛ（R1∪R2），ℛ（R2）⊆ℛ（R1∪R2）故
ℛ（R1）∪ℛ（R2）⊆ℛ（R1∪R2）
另一方面，若x∈ℛ（R1∪R2）那么存在着y∈A，使（y，x）∈（R1∪R2）因此（y，x）∈R1，或者（y，x）∈R2，从而x∈ℛ（R1）或者x∈ℛ（R2）于是x∈ℛ(R1) ∪ℛ（R2），所以ℛ（R1∪R2）⊆ℛ（R1）∪ℛ（R2）。

11．设A={1，2，3，4}，定义A 上的下列关系
R 1={（1，1），（1，2），（3，3），（3，4）}，R2={（1，2），（2，1）}
R 3={（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）} R 4={（1，2），（2，4），（3，3），（4，1）}
R 5={（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）} R 6=A ×A ，R 7=∅
请给出上述每一个关系的关系图与关系矩陈，并指出它具有的性质。

[解]：
1）
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=0000
1100
0000
0011
1R
R 1是反对称的，传递的。

2）
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=0000
0000000100101R
R 2是反自反的，对称的。

3）
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=1100
1100001100111R
R3是自反的，对称的，传递的，因此是等价关系。

循环的 综合这两方面，就有（R1∪R2）=ℛ（R1）∪ℛ（R2）。

2）由于R 1∩R 2⊆R 1，R 1∩R 2⊆R 2，根据定理1，有ℛ（R 1∩R 2）⊆ℛ（R 1），ℛ
（R 1∩R 2）⊆R 2，所以ℛ（R 1∩R 2）⊆ℛ（R 1）∩ℛ（R 2）反方向的包含不成立，反全由第7题可得，那里ℛ（R 1∩R 2）={4}，ℛ（R 1）∩ℛ（R 2）={2，3，4}∩{3，4}={3，4}因此
1 0 0 2
3 0 0 4
ℛ（R 1）∩⊈ℛ（R 2）⊈（R 1∩R 2）
9．设A 有n 个元素的有限集合，请指出A 上有多少个二元关系？并阐明理由。

[解] A 上有2n2个元关系。

因为叉积A ×A 有n2个元素，因而A ×A 有2n2个子集，而每个子集都是A 上的一个二元关系。

10．定义在整数集合I 上的相等关系、“≤”关系、“＜”关系，全域关系，空关系，
是否具有表中所指的性质，请用Y （有）或N （元）将结果填在表中。

4）
οο
31 42
οο ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=0001
0100
1000
00104R R4是反对称的，循环的。

5）
432
1οο
οο ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=000110001100
11105R R5是反自反的，反对称的，传递的。

6）
432
1οο
οο ⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=1111
11111111
11116R
R6是自反的，对称的，传递的，循环的。

从而是等价关系。

7）
432
1οο
οο ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=000000000000
00007R 12．设A 是A 上的关系，证明 1）R 是自反的当且反当I A ⊆R
2）R 是反自反的当且仅当I A ∩R=∅
3）R 是对称的当且反当R=R (
4） R 是反对称的当且仅当R ∩R (
⊆I A 5）R 是传递的当且仅当R οR ⊆R [证] 1）必要性
若R 是自反的，则对任何x ∈A ，都有（x ，x ）∈R ，但是I A ={（x ，x ）|x ∈A}，所以I A ⊆R 。

充分性
若I A ⊆A 则由I A ={（x ，x ）|x ∈A}，可知对任何x ∈A ，都有（x ，x ）∈R ，所以R 是自反的。

2）必要性
若R 是反自反的，则对任何x ∈A ，都是（x ，x ）∉R ，从而（x ，x ）∈R ′，由I A ={（x ，x ）|x ∈A} 可知I A ⊆R ′。

于是I A ∩R ⊆R ′∩R=∅，另外∅⊆I A ∩R ，所以I A ∩R=∅。

充分性
若I A ∩R=∅，则R 是反自反的。

否则，不是反自反的，那么应存在某一x 0
∈A ，使得（x 0，x 0）∈R 。

但是（x 0，x 0）∈I A ，从而（x 0，x 0）∅。

这不可能，矛盾。

3）必要性，
若R 是对称的，则对任何（x ，y ）∈R ，就有（y ，x ）∈R 。

于是根据逆
关系的定义，可得（x ，y ）∈R (，于是R ⊆R (；对任何（x ，y ）∈R (
，由逆关
系的定义，可得（y ，x ）∈R 。

再次利用R 的对称性有（y ，x ）∈R ，于是R (
⊆
R7是反自反的对称的，传递的，循环的，反传递的，反对称的。

R ；综合两方面，有R=R (。

充分性
若R= R (，则对任何（x ， y ）∈R ，由R=R (可得（x ，y ）∈R (。

从而由逆关系的定义，可知（y ，x ）∈R 这说明R 是对称的。

4）必要性
若R 是反对称的，则对任何（x ，y ）∈R (
，即有（x ， y ）∈R 及（x ，y ）
∈R (
，从逆关系的定义，就有（x ， y ）∈R 及（y ，x ）∈R ，因此，利用R 的反对称性，可得x=y 。

于是就有（x ，y ）=（x ，x ）∈I A ，所以R ∩R (
⊆I A 。

充分性
若R ∩R ( ⊆I A ，则对任何（x ，y ）∈R 及（y ，x ）∈R ，从逆R (
关系的定
义，可得（x ，y ）∈R 及（x ，y ）∈R (，也即（x ，y ）∈R ∩R (，利用R ∩R (
=I A
可得（x ，y ）∈I A ，于是x=y 。

所以R 是反对称的。

5）必要性
若R 是传递的，则对任何（x ，y ）R оR ，由复合关系的定义可知，存在着y ∈A ，使（x ，y ）∈R 且（y ，y ）∈R ，从而利用R 的传递性，可知（x ，y ）∈R 。

所以
R оR ⊆R 。

充分性
R оR 。

从而利用R оR ⊆R 可得（x ，y ）∈R 。

所以R 是传递的。

证法二： 1)⇒):对任何x ，
x ∈A
⇒(x,x)∈I A (I A 是幺关系，因此是自反关系) ⇒(x,x)∈R (R 是自反关系) 所以 I A ⊆R ； ⇐):对任何x ∈A ，
x ∈A
⇒(x,x)∈I A (I A 是幺关系，因此是自反关系) ⇒(x,x)∈R (因I A ⊆R) 所以，R 是自反关系； 2)⇒)首先 ∅⊆I A ⋂R ；
其次，对任何x ，y ∈A ，若
(x,y)∈I A ⋂R ⇒(x,y)∈I A ∧(x,y)∈R
⇒x=y ∧(x,y)∈R (I A 是幺关系，因此是自反关系) ⇒(x,x)∈R
则与R 是反自反关系，(x,x)∉R 矛盾。

故I A ⋂R ⊆∅ ； 因此，由包含关系⊆的反对称性，可得 I A ⋂R=∅ ； ⇐):对任何x ∈A ，若
(x,x)∈R
⇒(x,x)∈I A ∧(x,x)∈R (I A 是幺关系，因此是自反关系) ⇒(x,x)∈I A ⋂R
⇒(x,x)∈∅ (因I A ⋂R=∅) 则与空集不含任何元素，(x,x)∉∅矛盾。

故对任何x ∈A ，(x,x)∉R ； 所以，R 是反自反关系； 3)⇒)对任何x ，y ∈A
(x,y)∈R
⇔(y,x)∈R (R 是对称关系)
⇔(x,y)∈R (
所以，R=R (
；
⇐):对任何x,y ∈A
(x,y)∈R
⇒(x,y)∈R ( (R=R (
)
⇒(y,x)∈R 所以，R 是对称的； 4)⇒)对任何x ，y ∈A
(x,y)∈R ⋂R (
⇒(x,y)∈R ∧(x,y)∈R (
⇒(x,y)∈R ∧(y,x)∈R
⇒x=y (R 是反对称关系) ⇒ (x,y)∈I A (I A 是自反关系) 所以，R ⋂R (
⊆I A ； ⇐):对任何x,y ∈A
(x,y)∈R
⇒(x,y)∈R ( (R=R (
)
⇒(y,x)∈R 所以，R 是对称的；
13．设A 、B 为有穷集合，R ，S ⊆A ×B ，M R =（x ij ）m ×n ，M S =（y ij ）m ×n
1）为了R ⊆S ，必须且只须∀i ∀j （x ij ≤ y ij ）
2）设M R ∪S =（Z ij ）m ×n ，那么Z ij =x ij Vy ij ，I=1，2……，m ，j=1，2，……n. 3）设M R ∩S =（t ij ）m ×n ，那么t ij =x ij ^y ij i=1，2，……m ；j=1，2，……，n. [证] 由于A 、B 是有穷集合，不妨设
A={a 1，a 2……，a m }，B={b 1，b 2，……，b n } 1）必要性
若R ⊆S ，则对任何i ∈{1，2，……，m}，对任何j ∈{1，2，……n}，若（a i ，b j ）∈R ，则R 的关系矩阵M R =（x ij ）m ×n 中第I 行第j 列元素x ij =1，根据R ⊆S ，可得（a i ，b j ）∈S ，从而得S 的关系矩阵M S =（y ij ）m ×n 中第I 行第j 列元素y ij =1，由于是1≤1故此x ij ≤y ij ；若（a i ，b j ）∉R ，则R 的关系矩阵M R =（x ij ）m ×n 中第i 行第j 列元素x ij =0，因此由S 的关系矩阵MS=（y ij ）m ×n 中第j 列元素y ij ≥0，可得x ij ≤y ij 。

总之，有（∀i ）(∀j )（x ij ≤y ij ）。

2）充分性
若（∀i ）(∀j )（x ij ≤y ij ），则对任何（a i ，b j ）∈R ，就有R 的关系
矩阵M R =（x ij ）m ×n 中第i 行第j 列元素xij=1，由于x ij ≤y ij ，所以y ij ≥1，故此y ij ≥1这说明S 的关系矩阵M S =（y ij ）m ×n 中第i 行第j 列元素y ij 为1，因此必有
（a i ，b j ）∈S ，所以R ⊆S 。

2）对任何i ∈{1，2，……，m}，对任何j ∈{1，2，……，n}若Z ij =1，则（ai ，bj ）∈R ∪S ，故此（a i ，b j ）∈R 或者（a i ，b j ）∈S ，于是x ij =1或者y ij =1。

从而 b j ）∉S ，于是x ij =0且yij=0。

从而x ij ∨y ij =0。

因而Z ij =x ij ∨y ij =0； 综合上述两种情况，就有z ji =x ij ∨y ij ，i=1，2，……，m ，j=1,2,……n ，。

3）对任何i ∈{1，2，……m}，对任何j ∈{1，2，……，n}。

若t ij =1，则（a i ，b j ）∈R ∩S ，故此（a i ，b j ）∈S 且（a i ，b j ）∈S ，于是x ij =1，且y ij =1从而x ij ∧y ij =1。

因而t ij =x ij ∧y ij =1；若tij=0，则（a i ，b j ）∉R ∩S ，故此（a i ，b j ）∉S ，于
是x ij =0或者y ij =0，从而x ij ∧y ij =0。

因而t ij =x ij ∧y ij =0。

综合上述两种情况，就有t ij =x ij ∧y ij ，i=1，2，……，m ，j=1，2，……，n 。

14．设A={1，2，3，4}，R 1，R 2为A 上的关系，R1={（1，1），（1，2），（2，4）}，
R 2={（1，4），（2，3），（2，4），（3，2）}，求R 1оR 2，R 2оR 1，R 1оR 2оR 13
1R
[解] ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000010000011
1
R M ，⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=00
001011000100
2
R M 1）
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=000
0000
00001100
0000001011001000000
00000100000
1
121
21οοοR R
R R M M M οοο
ο4321 οοο
ο4321 ο
οοο4321 R 1 R 2
2）⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=00
100000000000
00
000010001011
00
00101100100012
1
2οοοR R R R M M M
ο
οο
ο4321 οοο
ο4321 ο
ο
ο
ο4321 R 2 R 1
无论从复合关系图还是从复合关系矩阵 都可得R 1оR 2={（1，3），（1，4）}
无论从复合关系图还是从复合关系矩阵 都可得R 2оR 1={（3，4）}
3）⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=00
000000000000
00
000010001011
00
00000000110012
1
2οοοR R R R M M M
ο
οο
ο4321 οοο
ο4321 ο
ο
ο
ο4321
4）
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡==00
0000
0000000
1
10000000
01000001
1000
0000000001011000
0000
01000001
1000
0000
01000101
1000
00000100000111
1131
οοοοοR R R R M M M M
οοο
ο4321 οοο
ο οοο
ο 4
321οοοο R1 R1 R1
15）设R 1，R 2，R 3是A 上的二元关系，如果R 1⊆R 2，证明
1）R 1οR 3⊆R 2οR 3 2）R 3οR 1⊆R 3οR 2
[证明] 1）对任何（x ，y ）∈R 1R 3，由复合关系之定义，必存在z ∈A ，使得（x ，z ）
∈R 1且（z ，y ）∈R 3，利用R 1⊆R 2可知（x ，z ）∈R 2且（z ，y ）∈R 3，再次利用复合关系之定义，有（x ，y ）∈R 2οR 3。

所以R 1οR 3⊆R 2οR 3。

2）对任何（x ，y ）∈R 3οR 1，由复合关系之定义，必有z ∈A ，使得（x ，z ）
无论从复合关系图还是从复合关系矩阵 都可得R 1оR 2оR 1=∅ 无论从复合关系图还是从复合关系矩阵
都可得R 1оR 1о3
1R ={（1，1），（1，2）， （1，4）}
∈R 3且（z ，y ）∈R 1，再由复合关系之定义，有（x ，y ）∈R 3οR 2。

所以R 3οR 1⊆R 3οR 2。

16．设A 是有限个元素的集合，在A 上确定两个不同的关系R 1和R 2，
使得2
1R =R 1，2
2R =R 2
因为，令R 1=∅，则R 1οR 1=∅，故此2
1R =R 1=∅。

令R 2=A ×A ，则22R =R 2οR 2⊆A ×A=R 2，故需证明R 2⊆R 2οR 2=2
2R 。

为此，
对任何x ，y ∈A ，（x ，y ）∈A ×A=R 2，一定存在着z ∈A （至少有z=x 或z=y 存在），使（x ，z ）∈A ×A=R 2且（z ，y ）∈A ×A=R 2，故此（x ，y ）R 2οR 2=2
2R ，所以R 2⊆R 2οR 2=2
2R 。

于是2
2R =R 2=A ×A 。

2）由于A 是有限个元素的集合，是不心设A={a 1，a 2，……a n }
令R 1={（a i ，a j ）|a i ∈A ∧a j ∈A ∧|≤i ≤n ∧|≤j ≤n-|} R 2={（a n ，a n ）∪R 1}
则R1R2，即R1与R1是不同的关系。

我们来证明2
1R =R1，2
2R =R 2， （a ）先征2
1R =R 1
若（a i ，a j ）∈R 1，则由R1的定义必定1≤i ≤n ，1≤i ≤n-1，并且一定存在着1≤k ≤n-1（至少有k=j 存在），使（a i ，a k ）∈R 1且（a k ，a j ）∈R 1，从而（a i ，a j ）∈R 1οR 1=2
1R 。

故此R1⊆2
1R 。

若（a i ，a j ）∈21R = R 1οR 1，则存在着k ，1≤k ≤n-1，使（a i ，a k ）∈R 1且（a k ，a j ）∈R 1，于是由R1的定义，必有1≤i ≤n ，1≤j ≤n-1，从而根据R 1的定义，有（a i ，a j ）∈R 1。

故此2
1R = R 1 综合两个方面，可得2
1R = R 1。

（b ）次证2
2R =R 2
若（a i ，a j ）∈R 2，则由R 2的定义，要么1≤i ≤n ，1≤j ≤n-1，要么I=n ，j=n 若1≤i ≤n ，1≤j ≤n-1，则一定存在着1≤k ≤n-1（至少有k=j 存在），使（a i ，a k ）∈R 2且（a k ，a j ）∈R 2，从而（ai ，aj ）∈R 2οR 2=2
2R ；若i=n ，j=n ，则（a i ，a j ）=（a n ，a n ）∈R 2，那么（a n ，a n ）∈R 2，所以（a i ，a j ）=（a n ，a n ）∈R 2οR 2=2
2R 因此R 2=2
2R 。

若（ai ，aj ）∈2
2R = R 2οR 2，则存在着k ，使（a i ，a k ）∈R 2且（a k ， a i ）∈R 2，于是由R 2的定义，有k=n 或者1≤k ≤n-1。

若k=n ，则由（a i ，a k ）∈R 2必有I=n ，所以无论1≤j ≤n-1还是j=n ，由R 2
的定义，有（ai ，aj ）=（a n ，aj ）∈R 2；
若1≤k ≤n-1，则由（a i ，a k ）∈R 2必有1≤j ≤n-1故此（ai ，aj ）∈R 2总之
证得22R = R 2，综合两方面，我们证明了2
2R = R 2。

17．设R 是集合A 上的反对称关系，|A|=h ，指了在R ∩R (
的关系矩阵中有多少个非
零值？
[解] 由第12题的4） R 是反对称关系当且反当R ∩R (⊆I A ，及|A|=n 可知，在R ∩R (
的关系矩阵中非零值最多不超过n 个。

18．设R 1和R 2是集合A 上的关系，判断下列命题的真假性，并阐明理由。

1） 如果R 1和R 2都是自反的，那么R 1οR 2是自反的。

2） 如果R 1和R 2都是反自反的，那未R 1οR 2是反自反的。

3） 如果R 1和R 2都是对称的，那末R 1οR 2是对称的。

4） 如果R 1和R 2都是反对称的，那末R 1οR 2是反对称的。

5） 如果R 1和R 2都是传递的，那末R 1οR 2是传递的。

[解] 1）真。

由于R 1和R 2和R 2都是自反的，因而对任何，都有（x ，x ）∈R 1，（x ，x ）
∈R 2。

因此，对任何x ∈A ，都有（x ，x ）∈ R 1οR 2。

所以R 1οR 2是自反的。

2）假。

令A={a ，b}，R 1={（a ，b ）}，R2={b ，a}。

那么R 1οR 2={（a ，a ）}，它就不是A 上的反自反关系。

3）假。

令A={a ，b ，c}，R 1={（a ，b ），（b ，a ）}，R 2={（b ，c ），（c ，b ）}。

那末R 1οR 2={（a ，c ）}，就不是A 的对称关系。

4）假。

令A={a ，b ，c ，d}，R 1={（a ，c ），（b ，c ）}
R 2={（c ，b ），（d ，a ）}易证R 1，R 2都是反对称关系。

但是R 1οR 2={（a ，b ），（b ，a ）}就不是A 上的反对称关系。

5）假。

令A={a ，b ，c}，R 1={（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ）}，R 2={（c ，b ），（a ，c ），（a ，b ）}，易证R 1和R 2都是传递关系，但R 1οR 2={（a ，b ），（b ，b ），（b ，c ）}就不是A 上的传递关系。

19．设A={1，2，3，4，5}，R ⊆A ×A ，R={（1，2），（2，3），（2，5），（3，4），（4，3），（5，5）}用作图方法矩阵运算的方法求r （R ），s （R ），t （R ）。

[解] 1）作图法：
（R ）的关系图
1
4 5
S （R ）的关系图 t （R ）的关系图
因此：
r （R ）={（1，1），（1，2），（2，2），（2，3），（2，5），（3，3），（3，4），（4，3），
（4，4），（5，5）}
s （R ）={（1，2），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（4，3），（5，2），
（5，5）}
t （R ）={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），
（3，4），（4，3），（4，4），（5，5）} 2）矩阵运算法：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=
10
0000010001000101000001
M R
M r （R ）=R I UR
I V M M M A A ==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡10000
0110001100000100001
1
10000
0010001000101000001
V 10000
010*******
000100000
1
1
4
4
1
M S （R ）=R
RU M (=R
RVM M (=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡10
010
0010001010101010001
10
000
0010001010000010000
V 10
000
0010001000001000001
2R M =M R οR =M R οM R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡1000
0001000100011000101
010
000
0010001000101000001
10000
0010001000
001000001
ο
3R M =R R 2M ο=2
R M οM R =⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000
0001000100
01010
01100
010000
0010001000
10100
00010
10000
010*******
1101010100
ο
2
334R R
R R R R M 1000
0010000010
01100
01010
010000
0010001000
10100
00010
10000
00100010001010011000
M M M M =⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡===οοο
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡===10
000
0110001100111001111
100000010001000
1010011000
V 100000100000100
1100010100
V 1000000100100001010000010VM VM M M M 3
232R R R UR RUR )R (t
因此r （R ），s （R ），t （R ）与1）作图法一致。

20．设R ⊆A ×A ，证明
1）（R +）++R+2）=R *
[证明] 1）一方面，由于（R+）+是R+的传递闭包，所以R +⊆（R +）+；另一方面，
由于R +是R 的传递闭包，故此R +是传递的。

由于R +⊆R +及传递闭包（R +）+是包含R +的最小传递关系，就有（R +）+⊆R +（定理4之3）；所以（R +）+=R +。

2）一方面，由于（R *）*是R *的自反传递闭包，所以R*⊆（R*）*；另一方面，由于R*是R 的自反传递闭包，故此R*是自反的传递的。

由于R*⊆R*及自反传递闭包（R*）*是包含R*的最小自批传递关系，就有（R*）*⊆R*（定理5的3））。

所以（R*）*=R*。

21．设A={1，2，3，4}，RAA ，R={（1，2），（2，4），（3，4），（4，3），（3，3）} 1）证明R 不是传递的；
2）求R 1，使 R 1⊇R 并且R1是传递的；
3）是否存在R2，使R 2⊇R ，R 2≠R 1并且R 2是传递的。

[解] 1）由于（1，2）∈R 且（2，4）R 但（1，4）∉ R ，这说明R 不是传递的。

2)由于R +是包含R 的最小传递关系，所以，取R 1=R +即为所求。

现在来R + R 2={（1，4），（2，3），（3，3），（3，4），}（4，3），（4，4）} R 3={（1，3），（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）} R 4={（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）} 故此R 1=R +=R ∪R 2∪R 3∪R4={（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，
3），（3，4），（4，3）（4，4）}（因为|A|=4有限） 其关系图如下：
R 的关系图 R 1的关系图
3）能。

因为R 1并非全关系（否则，当R 1是全关系时，就找不到了），所以只要取
R 2=A ×A 是A 上的全关系就可满足R 2⊇R ，R 2≠R ，并且全关系R2显然是一个传递关系。

22．设A={1，2，3，4……，9}，定义A ×A 上的关系如下：
（a ，b ）R （c ，d ）∷ a+d=b+c 1） 证明R 是A ×A 上的等价关系； 2） 求[（2，5）]R ；
3） R ⊆A ×A 对吗？请阐明理由。

1）[证明] （a ）R 是自反的
对于任何（a ，b ）∈A ×A ，由于a+b = b+a ，所以（a ，b ）R （a ，b ）。

（b ）R 是对称的
对于任何（a ，b ），（c ，d ）∈A ×A ，若（a ，b ）R （c ，d ），则有a+d = b+c 从而c+b+a ，所以可得（c ，d ）R （a ，b ）。

（c ）R 是传递的
对于任何（a ，b ），（c ，d ），（e ，f ）∈A ×A ，若（a ，b ）R （c ，d ），且（c ，d ）R （e ，f ），于是有a+d = b+c 及c+f = d+e ，二式相加有a+f+c+d = b+e+c+d ，两边同时减c+d ，可得a+f = b+e ，从而可得（a ，b ）R （e ，f ）。

综合（a ）、（b ）、（c ）、说明R 是A ×A 上的等价关系。

2）[解] 因为{（2，5）}R = {（a ，b ）|（a ，b ）∈A ×A （a ，b ）R （2，5）} = {（a ，b ）|（a ，b ）∈A ×A ∧a+5 = b+2} = {（a ，b ）|（a ，b ）∈A ×A ∧b = a+3}
={（1，4），（2，5，（3，6），（4，7），（5，8），（6，9））
2
4
1
2
4
3
3）[答] R ⊆A ×A 不对。

因为R 是A ×A 上的关系，所以R ⊆（A ×A ）×（A ×A ）=2)A A (⨯。

23．设A 是一个非空集合，R ⊆A ×A 。

如果R 在A 上是对称的，传递的，下面的推
导说明R 在A 上是自反的：
对任意的a ，b ∈A ，由于R 是对称的，有： aRb ⇒bRa
于是aRb ⇒aRb ∧bRa ，又利用R 是传递的，得： aRb ∧bRa ⇒aRa 从而说明R 是自反的。

上述推导正确吗？请阐明理由。

[答] 上述推导不正解。

推殖民地的谬论误在于假设A 的每个元素都由R 关联着A 的某一别的元素。

如果这不是真的，那么对称性的条件的假设就始终是假的，因此结论当然是假的。

因而在一个空集上的空关系都是平凡的对称和可传递，但不是自反的。

另外关系{（a ，a ），（b ，b ），（a ，b ），（b ，a ）}是自反的和传递的，但在集合{a ，b ，c}上不是自反的。

24．设R 是集合A 上的等价关系，证明R (
也是集合A 上的等价关系。

[证明] 证法一：
（a ）R (
是自反的
对任意的a ∈A ，由于R 是自反的，所以（a ，a ）∈R ，再由逆关系的定义有（a ，a ）∈R (
（b ）R (
是对称的
对任何（a ，b ）∈R (
由逆关系的定义，有（b ，a ）∈R,由R 的对称性，可
得（a ，b ）∈R ，再由逆关系的定义，就有（b ，a ）∈R (。

（c ）R (
是传递的
对任何（a ，b ）∈R (及（b ，c ）∈R (
，由逆关系的定义，有（b ，a ）∈R
及（c ，b ）∈R ，根据R 的传递性，可得（c ，a ）∈R ，再次由逆关系的定义，就有（a ，c ）∈R (。

综合（a ）（b ）（c ）可知R (
是等价关系。

证法二：
（a ）R (
是自反的：
对任何a ，a ∈A
⇒(a,a)∈R (R 都是自反的)
⇒(a,a)∈R (
所以，R (
是自反的；
（b ）R (
是对称的：
对任何a ，b ∈A ，(a,b)∈R
(
⇒(b,a)∈R
⇒(a,b)∈R (R 是对称的)
⇒(b,a)∈R (
所以，R (
是对称的；
（c ）R (
是传递的：
对任何a ，b ，c ∈A ，
(a,b)∈R (∧(b,c)∈R (
⇒((b,a)∈R ∧(c,b)∈R
⇒((c,b)∈R ∧(b,a)∈R (∧的交换律) ⇒(c,a)∈R (R 是传递的)
⇒(a,c)∈R (
(R 是对称的) 所以，R (
是对称的；
综合（a ）、（b ）、（c ），可知R (
是A 上的等价关系。

25．设R 1和R 2都是集合A 上的等价关系
1）证明R 1∩R 2也是A 上的等价关系；
2）用例于证明R 1∪R 2不一定是A 上的等价关系（要尽可能小地选取集合A ）。

[证] 1）证法一：
（a ）R 1∩R 2是自反的
对任何a ∈A ，由于R 1，R 2都是A 上的自反关系，所以（a ，a ）∈R 1（a ，a ）∈R 2，因此（a ，a ）∈R 1∩R 2
（b ）R 1∩R 2是对称的
对任何的（a ，b ）∈R 1∩R 2，就有（a ，b ）∈R 1且（a ，b ）∈R 2，由R1，R2都是A 上的对称关系，所以（a ，b ）∈R 1且（b ，a ）∈R 2，所以（b ，a ）∈R 1∩R 2。

（c ）R 1∩R 2是传递的
对任何的（a ，b ）∈R 1∩R 2及（b ，c ）∈R 1∩R 2，就有（a ，b ）∈R 1，（a ，b ）∈R 2及（b ，c ）∈R 1，（b ，c ）∈R 2，于是（a ，b ）∈R 1且（b ，c ）∈R 1及（a ，b ）∈R 2且（b ，c ）∈R 2由于R 1，R 2都是A 上的传递关系，所以（a ，c ）∈R 1及（a ，c ）∈R 2，因此（a ，c ）∈R 1∩R 2。

综合（a ），（b ），（c ），可知R 1∩R 2是等价关系。

证法二：
（a ）R 1∩R 2是自反的： 对任何a ，a ∈A
⇒(a,a)∈R 1∧(a,a)∈R 2 (R 1，R 2都是自反的) ⇒(a,a)∈R 1⋂R 2
所以，R 1⋂R 2是自反的； （b ）R 1∩R 2是对称的： 对任何a ，b ∈A ，(a,b)∈R 1⋂R 2
⇒(a,b)∈R 1∧(a,b)∈R 2
⇒(b,a)∈R 1∧(b,a)∈R 2 (R 1，R 2都是对称的) ⇒(b,a)∈R 1⋂R 2
所以，R 1⋂R 2是对称的； （c ）R 1∩R 2是传递的： 对任何a ，b ，c ∈A ，
(a,b)∈R 1⋂R 2∧(b,c)∈R 1⋂R 2
⇒((a,b)∈R 1∧(a,b)∈R 2)∧ ((b,c)∈R 1∧(b,c)∈R 2)
⇒((a,b)∈R 1∧(b,c)∈R 1)∧ ((a,b)∈R 2∧(b,c)∈R 2) (∧的结合律、交换律) ⇒(a,c)∈R 1∧(a,c)∈R 2 (R 1，R 2都是传递的) ⇒(a,c)∈R 1⋂R 2 所以，R 1⋂R 2是对称的；
综合（a ）、（b ）、（c ），可知R 1⋂R 2是A 上的等价关系。

2）两个自反的（对称的）关系的并将是自反的（对称的），但是，两个传递关系的并却未必是传递的。

我们就从破坏传递性出发来构造反例： 令R 1={（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ），（a ，b ），（b ，a ）} R 2={（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ），（b ，c ），（c ，b ）} 当A={a ，b ，c}时，R 1，R 2显然都是等价关系。

但是
R 1∪R 2={（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ），（a ，b ），（b ，a ）（b ，c ），（c ，b ）}都不是A 上的等价关系，因为R 1∪R 2不传递：（a ，b ）∈R 1∪R 2且（bc ，但（a ，c ）∉R 1∪R 2；同样（c ，b ）∈R 1∪R 2且（b ，a ）∈R 1∪R 2，但（c ，a ）∉R 1∪R 2。

c
a
R1关系图R2关系图R1∪R2关系图而且|A|不可能再少了。

因为任何少于3个元素的集合上的自反，对称关系一定是传递的！
26．设R是A上的等价关系，将A的元素按R的等价类顺序排列，请指出此等价关系R的关系矩阵MR有何特征？
[解] 将A的元素按其上的等价关系R的等价类顺序排列，这样产生的等价关系R的关系矩阵MR，经过适当的矩阵分块，MR的分块矩阵将成为准对角阵，准对角阵的对角线上的每一块都是一个全1方阵，它正好对应于等价关系R的一个等价块。

27．设A是n个元素的有限集合，请回答下列问题，并阐明理由。

1）有多少个元素在A上的最大的等价关系中？
2）A上的最大的等价关系的秩是多少？
3）有多少个元素在A上的最小的等价关系中？
4）A上的最小的等价关系的秩是多少？
[答] 1）A上最大的等价关系是全关系R1=A×A={（a，b）|a∈A∧b∈A}因此有n2个元素在A上的最大的等价关系R1中，因为所有n2个二元组都在R1=A×A
中。

2）A上的最大的等价关系R1的秩是1。

这是因为A中任何两个元素都有全关系R1=A×A，因此R1的等价块包含了A的所有元素，A的所有元素都在同一个等价块中。

3）A上的最小的等价关系是么关系R2=IA={（a，a）a∈A}因此它中有n个元素，即n自反对。

4）A上的最小的等价关系的秩是n，因为么关系的每一个元素都自成一个等价块，每一等价块中也只有一个元素。

28．设R1和R2是非容集合A上的等价关系，对下列各种情况，指出哪些是A上的等价关系；若不是，用例子说明。

1) A×A\R1
2) R1\R2
R
3) 21
4）r（R1\R2）（R1\R2的自反闭包）
5）R1 R2
[解] 1）不是。

设A={a}，并且R1={（a ，a ）}，则R 1是A 上的等价关系，但A ×
A\R 1={（a ，a ）\（a ，a ）}=∅就不是A 上的等价关系，因为空关系不是自反的。

2）不是。

设A={（a ，b ）}并且R 1={（a ，a ），（b ，b ），（a ，b ），（b ，a ）}，
R 2={（a ，a ），（b ，b ）}，则R 1，R 2都是A 上的等价关系，但是，R 1\R 2={（a ，b ），（b ，a ）}就不是A 上的等价关系，因为R 1\R 2不自反。

3）是。

证法一：因R1是等价关系，因而R 1是传递的，故此由第12题之5）有2
1R = R 1οR 1⊆R 1。

另一方面，结任何（a ，b ）∈R 1，由于R 1是自反的，故此（b ，b ）∈R 1，从而由复合关系之定义，有（a ，b ）∈R 1οR 1，所以R 1⊆2
1R ，从而2
1R =R 1，因此由R 1是等价关系，知2
1R 也是等价关系。

证法二：
一方面，对任何a ，b ∈A ，(a,b)∈2
1R
⇒(∃c ∈A)((a,c)∈R 1∧(c,b)∈R 1)
⇒(∃c ∈A)((a,b)∈R 1) (R 1是传递的) ⇒(a,b)∈R 1(带量词的基本逻辑等价式：(∃x )p ⇔p)
所以，2
1R ⊆R 1 ；
另一方面，对任何a ，b ∈A ，(a,b)∈R 1
⇒(a,b)∈R 1∧(b,b)∈R 1) (R 1是自反的) ⇒(a,b)∈2
1R
所以，R 1⊆2
1R ；
综合这两方面，就有2
1R =R 1 ；
4）是。

设A={a ，b ，c}，R 1={（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ），（a ，b ），（b ，a ），（a ，c ）（c ，a ），（b ，c ），（c ，b ）}。

R 1={（a ，a ），（b ，b ）（c ，c ）（a ，a ）（c ，a ）}，则R 1，R 2都是A 上的等价关系。

R 1\R 2={（a ，b ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，b ）}
r （R 1\R 2）={（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，b ）}因此r （R 1\R 2）不是A 上的等价关系，因为r （R 1\R 2）不是传递的，（a ，b ）∈r （R 1\R 2）且（b ，c ）∈r （R 1\R 2），但是（a ，c ）∉r （R 1\R 2）。

5）不是。

令A={a ，b ，c}，R 1={（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ），（a ，b ），（b ，a ）}，R2={（a ，a ），（b ，b ），（c ，c ），（a ，b ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，b ），（a ，c ）}不上的等价关系，因为R 1οR 2不对称，（a ，c ）∈R 1οR 2，但（c ，a ）∉R 1οR 2。