BS期权定价公式.doc
B-S期权定价公式的简单推导
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232
其中
d1
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
Nt
T
t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
v期权定价BS期权定价公式文档
tnS，那tn D么n，D在nX最e后Xre一T次rTtn分tn红 前，S夕即执tn行 期X权不是最优方
6. 如D果n X 1 erT tn ，可以证明，在股价充分高的情况下，执行期
权是最优方案 Dn X
1 erT tn
S t, t
S
3. 约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时期望收益率
11
BSM随机微分方程——假设
1. 股价过程为Ito过程 2. 卖空无限制 3. 没有交易成本、税收，证券是无限可分的 4. 衍生工具在到期之前不产生红利 5. 不存在套利机会 6. 证券可以连续交易 7. 所有期限的无风险利率同为常数
dG
G S
S
G t
1 2
2G S 2
2S2
dt
G S
Sdz
9
股价过程——对数正态分布
1. 股价对数过程， G ln S
dG d ln S S 2 2 dt dz
ln ST S0 2 2 T , T ln ST ln S0 2 2 T , T
依赖于股价过去的路径
股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜 市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为 z
增量的均值等于0 增量的标准差等于
t t
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
第六章
期权定价
教学内容
1. 股价过程 2. BSM随机微分方程 3. 风险中性定价 4. B-S期权定价公式 5. 标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
期权定价的连续模型及BS公式
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型（为什么？）
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么？
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
20520/10/8
特别注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的：对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计：
波动率 漂移率
思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据 ，这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成，如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68
BS期权公式
BS期权公式
bs期权定价公式为：C=S·N（d1）-X·exp（-r·T）·N（d2）其中：d1=[ln（S/X）+（r+σ^2/2）T]/（σ√T）
d2=d1-σ·√T
C—期权初始合理价格
X—期权执行价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）
N（d1），N（d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
第1点，这个模型中五风险利率必须是连续复利形式，一个简单的或不连续的无风险利率一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为：r=LN （1+r0）或r0=exp（r）-1例如r0=0.06，则r=LN（1+0.06）=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用
r0=0.06计算的答案一致。
第2点，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274.。
BS期权定价公式
BS期权定价公式Black-Scholes 期权定价模型⼀、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循⼏何布朗运动，即dz dt SdS σµ+=。
其中，dz 为均值为零，⽅差为dt 的⽆穷⼩的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的⼀个随机值），µ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
µ和σ都是已知的。
简单地分析⼏何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个⽅⾯：⼀是单位时间内已知的⼀个收益率变化µ，被称为漂移项，可以被看成⼀个总体的变化趋势；⼆是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费⽤和税收，不考虑保证⾦问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续⽽均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被⾃由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，⽆风险利率r 保持不变，投资者可以此利率⽆限制地进⾏借贷。
6．在衍⽣品有效期间，股票不⽀付股利。
7．所有⽆风险套利机会均被消除。
⼆、Black-Scholes 期权定价模型（⼀）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分⽅程：rf Sf S S f rS t f =??+??+??222221σ其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分⽅程，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为⽆收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量⼩于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
6_期权定价的连续模型及BS公式
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
2020/11/28
36
从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
38
应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
理论公式定价。
2020/11/28
39
习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
B-S期权定价法
得出结果 买方期权价格= $7.796 卖期权价格= $1.503
输入当前股票价格，在实物期权测算时，输入项目的预期收益。 输入期权的执行价格，在实物期权时，输入获得项目的成本。 输入期权有效期。 输入同期无风险利率。 输入股票，资产的波动率。 更多的时候我们从金融市场上，观察到期权的价格，然后利用这个表格， 测算出某股票或者某资产所隐含的波动率。
d1 d2
两个中间变量 0.70000 0.60000
N(d1) 0.758036 N(d2) 0.725747
Exhibit 28
A 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Black-Schole's Option Pricing Problem 2 布莱克—斯科尔斯期权定价法的简单计算表
数据输入 股票价格= 执行价格= 有效期= 无风险利率= 波动率= 单位 $100.00 $ $100.00 $ 1.00 年 6.50% % 10.00% % 注解
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
【实用文档】BS模型
（三）布莱克—斯科尔斯期权定价模型（BS模型）1.假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不作其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。
2.公式C0=S0[N（d1）]-X[N（d2）]或=S0[N（d1）]-PV（X）[N（d2）]其中：d1={ln（S0/X）+[r c+（σ2/2）]t}/σ或=ln[S0/PV（X）]/ σ+（σ/2）d2=d1-σ式中：—看涨期权的当前价值；—标的股票的当前价格；N（d）—标准正态分布中离差小于d的概率；X—期权的执行价格；e—自然对数的底数，约等于2.7183；—连续复利的年度的无风险报酬率；t—期权到期日前的时间（年）；In（）—的自然对数；σ2—连续复利的以年计的股票回报率的方差。
3.参数估计（1）无风险利率的估计①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。
如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。
②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。
③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。
连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。
如果用F表示终值，P表示现值，表示连续复利率，t表示时间（年）；则：F=PP=F即：=In（F/P）/t前【教材例7-13】沿用[例7-10]的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。
每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率r c=ln（1.04）=3.9221%。
【教材例7-14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：r c=ln（104/100）÷1=ln（1.04）÷1=3.9221%【提示】严格来说，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。
bs定价公式
bs定价公式BS定价公式，也被称为Black-Scholes定价公式，是由美国经济学家斯科特布莱克和芝加哥大学金融学家莱昂内尔斯科尔斯于1973年提出的一种用来估计期权价格的经典定价模型。
期权是一种金融衍生品，它具有某种光谱的风险，并且受到政策制定者、经济状况和国际关系的影响。
布莱克-斯科尔斯定价公式的目的是给出一种优化的定价模型，用来评估期权的价格，以便实现期权交易者的最优化。
BS定价公式的基本原理BS定价公式基于期权的双边博弈理论。
基本的双边博弈理论认为，持有期权的策略可以在收益最大化的前提下被满足。
即，如果利用股票价格以及其他相关市场参数来评估期权，并调整价格，等价的期权定价可以被确定出来，以使得双方在可能的情况下不损失，或者赢利最大化。
布莱克-斯科尔斯定价公式的具体形式，可以用来解释期权的价格由哪些因素决定，及如何影响期权的价格。
该公式定义了影响期权价格的四个基本因素，即：股票价格、期权行权价格、波动率和期权到期日。
它表明，期权价格与股票价格、期权到期日、波动率和期权价格之间存在对立的关系。
这些因素对期权价格的影响是有限和抵消的。
BS定价公式的优点和应用BS定价公式有许多优点，如简单易用，可以在很短的时间内提供可靠的计算结果，而且它的计算可以针对多种期权计算。
由于其计算快速、精确度高，故被广泛应用于金融市场的期权交易中。
此外，由于BS定价公式的可用性，许多金融机构开始基于其建立交易策略，以满足客户的需求。
由此，投资者在交易时可以根据价格和简单易用的定价公式，来辅助其交易策略。
另外，有一些研究表明，BS定价公式可以用来模拟实证市场行为，从而帮助期权市场开发者在使用期权时，能够更加精准地评估行情，尽量减少风险。
而且，也可以根据定价公式来模拟市场条件，这也使得市场参与者有机会把握市场趋势，以缓解市场风险。
结论BS定价公式是一种用于估计期权价格的经典定价模型，它是基于双边博弈理论，定义了影响期权价格的四个基本因素，简单易用，具有快速而精确的计算特点，使得BS定价公式在期权交易中得到了越来越多的应用。
第四讲 BS期权定价模型
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
期权定价分析公式说明文档
2. 选定
, 代入 BS 公式计算期权价格得 。判断 是否成立， 若成立则 并且退出计算; 若不成立, 则继续 判断 是否成立，若成立，则赋值 ; 若不成立 则赋值 。 （波动率下限 , 波动率上限 ） 3. 把波动率上下限代入 BS 公式分别计算对应的期权价格， 记为 。 （其中我们采用边界条件： ） 4. 令 , 代入 BS 公式计算其相应 的期权价格，即为 , 判断 <0.001 是否成立，若成立则最后 ，并退出计算; 若不成立, 则判断 ，若成立，则进行赋 值 ， ；若不成立，则进行赋值 。然 后循环计算直到满足条件为止。
3.1.3 Gamma 的计算： Gamma 的定义为 . 以及二阶导数的近似公式为： 我们可以取 因此我们首先计算 最后得到： 情况下的值： , .
3.1.4 Vega 的计算： Vega 的定义为: 波动率值。选取 。同样的， 表示客户输入的 情况下，计算相应的 V 值记为
. 容易得到 vega 值为：
3.1.5 Rho 的计算： Rho 的定义为： . r 表示客户输入的无风险利
率。 同样选取不同的无风险利率： 0.9r, r, 1.1r, 用二叉树方法 计算相应的 V 值为： . 容易得到 Rho 值为：
3.2 BS 公式中的敏感性参数计算
BS 公式只能计算欧式期权，而且对于看涨看跌期权有不同 的敏感性参数计算公式。具体如下图所示：
5， 6，
表示二叉树中期权价格上涨的幅度，d 表示下跌的幅度。 表示风险中性概率 表示无风险利率, 表示标的价格的
波动率。上述两个 p 的表达式中，后者适用期货期权。 7， 表示时间步长，T 表示期权的到期日。以年为单位。
无红利的美式看跌期权的逆向递推公式为：
边界条件为：
7.2 BS定价公式及应用
例10：股票价格为100， 股票波动率年平均标准差 为0.5，无风险利率为10%，期权执行价为95，存 续期为3个月。试计算该股票欧式期权价格。 解： >> [Call,Put] = blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5) Call = 13.6953 Put = 6.3497 把数据输入excel文件计算结果是一样的。
因此,无收益资产看涨期权的内在价值S-Xe-r(T-t),而有收益欧式看 涨期权的内在价值=S-D-Xe-r(T-t)；同理,无收益资产欧式看跌期权 的内在价值都为Xe-r(T-t) –S,有收益资产欧式看跌期权的内在价值 都为Xe-r(T-t) +D–S。
• 美式期权由于可以提前执行,所以,美式期权的内在价值 就应该等于其即时执行的收益,而无需对X进行贴现。对 于美式看涨期权来说,如果标的资产是没有现金收益的, 在期权到期前提前行使无收益美式看涨期权是不明智的 （因为S-X≤S-Xe-r(T-t）） • 因此,无收益资产美式看涨期权内在价值等于欧式看涨 期权内在价值,也就是等于S-Xe-r(T-t),即等于欧式看涨 期权的内在价值。此外,有收益资产美式看涨期权虽然 也有提前执行的可能,但可能性较小,也认为其内在价值 等于S-D-Xe-r(T-t) • 对于美式看跌期权来说,如果无收益,其内在价值等于XS；如果有收益,内在价值等于X+D-S。
Ch 7期权类工具
Section 2 期权定价与计算
（二）Black-scholes模型
1．欧式期权定价公式 （1）无收欧式看涨期权（现货） c=SN(d1)-Ke-rTN(d2)
S 2 ln (r )T 2 d2 K d1 T T
(一)欧式期权定价公式
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
5.3.8--Black-Scholes期权定价公式
金融工程概论期权的风险中性定价Black-Scholes期权定价公式Black-Scholes期权定价公式C t=e−r(T−t)E Q(max(S T−X,0))其中，r为无风险利率。
当给定了S T的分布，就可以确定上述欧式看涨期权的价格。
E Q为风险中性概率计算过程在风险中性测度下：C t=e−r(T−t)E Q(max(S T−X,0))由dS t=(rS t dt+σS t dW t)可以得到：其中，S T=S t exp r−σ2(T−t)+σW T−t2二. B-S 公式的推导则有：max(S T −X,0)=(S T −X)IA 1．引入示性函数：I A =ቊ1,S T >X0,S T ≤X计算过程在风险中性测度下：C t=e−r(T−t)E Q max S T−X,0=e−r(T−t)E Q S T−X I A=e−r(T−t)×E Q S T I A−e−r(T−t)×E Q XI A =e−r(T−t)×E Q S T I A−e−r(T−t)×X×E Q I A命题1:如果记d 2=1σT −t ln S t X +r −σ22(T −t)则我们有：I A =ቊ1,Z >−d 20,Z ≤−d 2其中，Z 为标准正态分布。
命题1:等价于：S t exp r −σ22T −t +σZ T −t >XZ >1σT −t ln X S t −r −σ22T −t =−d 2命题2：E Q I A=N(d2)命题3：e−r T−t E Q S T I A=S t N(d1)其中d1=d2+σT−tN为标准正态分布的累积分布函数。
由此得到：Black-Scholes期权定价公式c t=S t N d1−Xe−r T−t N d2p t=Xe−r T−t N−d2−S t N−d1d1=1σT−tlnS tX+r+σ22T−t d2=d1−σT−t其中，应用例子某公司股价的有关数据如下:•S=74.625•K=100•T−t=1.646年•r=0.05•σ＝0.375•d1=−0.207，d2=−0.688，•N d1=0.39358，N(d2)= 0.2451•C=$8.37。
Black-Scholes期权定价公式与希腊值
内）看跌期权的Delta趋近-1，平值看跌期权的 Delta为-0.5，深虚值（价外）看跌 期权的Delta趋近于0。
Delta又称为每轮对冲值或对冲比率。它表示的是期权价格变化对标的价格变化 的敏感度，也就是说，当标的价格变动1元时理论上期权价格的变动量。比如 说，一个期权的Delta值如果是0.5，那么正股每上涨一元，期权的价格理论上会 上涨0.5元。 Delta（及其他希腊字母）具有可加性。（用仓位加权优于用权重加权）如果投 资者持有以下投资组合：表2 投资组合的delta值可以将所有部位的Delta值相加 即：1+2×0.47-3×0.53=0.35。可见，该交易者的总体持仓的Delta值为0.35，也就 是说这是一个偏多头的持仓，（在delta上看）相当于持有0.35的现货。
标的资产不同或到期期限不同则隐含波动率不同。 那么不同的期权，只要标的资产一样，到期期限一样，那么隐含波动率应该一样， 与行权价格k无关。但是实际情况下货币市场有波动率微笑（K很大和很小的隐含波 动率更高）和股票市场的波动率倾斜（K很小的情况下隐含波动率更大）。 “波动率微笑”即具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，其执行价格偏 离标的资产现货价格越远，隐含波动率越大。在实证研究中，通过传统BS期权定价 模型计算出来的隐含波动率呈现出一种被称为“波动率微笑”的现象。即价外期权和 价内期权（out of money和 in the money）的隐含波动率高于在价期权（at the money）的隐含波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，也 就是微笑的嘴形，叫波动率微笑。
3，可见期权价格只受以上五个变量的影响。 其中σ不可直接观测，称之为“隐含波动率”，即其他参数给定，结合当前期权价 格，使用BS formula反推出来的波动率参数值。
金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
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2011/12/7
广义维纳过程
接着考查符合维纳过程的变量z在一段较长时间T 中的变化情形： 令z(T)-z(0)表示变量z在T时段中的变化量，显然 该变量又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间 隔中z的变化总量，其中N=T/ Δt，因此 定义变量的期望值为漂移率（drift rate），方差 为变量的方差率（variance rate）。则维纳过程 的漂移率为0，方差率为1.
伊藤引理的运用
如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机过程。 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数， 因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。 例：如果远期合约中股票价格S服从伊藤过程， 证明远期合约的价格F也遵循伊藤过程。
G G 1 2G 2 G x t x x t 2! x 2 2G 1 2G 2 x t t x t 2! t 2
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股价模型中参数的理解
σ ——证券价格的年波动率，又是股票价格对数 收益率的年标准差。一般从历史的证券价格数据 中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标 准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。一 般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天 数
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B-S-M微分方程的推导
前提假设： 1. 证券价格遵循几何布朗运动，即μ 和σ 为常数； 2. 允许卖空标的证券； 3. 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 4. 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5. 不存在无风险套利机会； 6. 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7. 衍生证券有效期内，无风险利率r为常数 8. 只能在交割日执行期权
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Black-Scholes 期权定价模型
一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件
Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：
1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt S
dS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型
（一）B-S 期权定价公式
在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：
rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂2
22221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=
其中，
t T d t
T t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln()
)(2/()/ln(
c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
（二）Black-Scholes 期权定价公式的理解
1. 1()SN d 可看作证券或无价值看涨期权的多头；()2()r T t Ke N d --可看作K 份现金或无价值看涨期权的多头。
可以证明，1/()f S N d ∂∂=。
为构造一份欧式看涨期权，需持有1()N d 份证券多头，以及卖空数量为2 ()rT K e N d -的现金。
Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。
注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。
2.风险中性定价原理
风险中性定价原理：我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。
C(S, t)与 S 、r 、t 、T 、σ以及 K 有关，而与股票的期望收益率μ无关。
这说明欧式Call 的价格与投资者的风险偏好无关。
在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。
现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。
若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和∆单位的标的股票多头组成的组合。
若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11∆－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9∆元。
为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的∆值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11∆－0.5=9∆，我们解得：∆=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。
无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。
假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：元19.225.225.01.0=⨯-e
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：
元31.019
.225.010==-⨯f f
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。