稳态误差

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自动控制原理--控制系统的稳态误差

不能采用拉氏变换终值定理的缘故。因此，利用式(356)来计算稳态误差是普遍成立的，而利用拉氏变换终值定理的式(3-60)求稳态误差时，应注意使用条件。
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的；（2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信号 n时t，求1t系统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳定的。
⑵在r t 信1t号作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess

matlab稳态误差

matlab稳态误差
摘要：
一、稳态误差的概念
二、MATLAB求解稳态误差的方法
三、实例分析
四、总结
正文：
稳态误差是指在系统输入信号发生变化时，输出信号达到稳定状态时，系统输出与期望输出之间的差异。

在控制系统中，稳态误差是一个重要的性能指标，它直接影响到系统的控制精度。

MATLAB是一种功能强大的数学软件，可以用于求解系统的稳态误差。

MATLAB求解稳态误差的方法主要有两种：一种是利用控制系统的传递函数，通过求解系统的零点和极点来确定系统的稳态误差；另一种是利用MATLAB提供的稳态误差计算函数，例如`dcgain`函数。

下面通过一个实例来演示如何利用MATLAB求解系统的稳态误差。

假设我们有一个线性系统，其传递函数为：
G(s) = 2 / (s^2 + 3s + 2)
我们可以通过以下步骤求解该系统的稳态误差：
1.首先，利用MATLAB计算系统的开环增益，即：
G_open(s) = 1 / (s^2 + 3s + 2)
2.然后，利用`dcgain`函数求解系统的稳态误差，即：
ess_error = dcgain(num, den)
其中，`num`和`den`分别是系统的分子和分母多项式的系数。

3.最后，我们可以将结果输出到MATLAB的命令窗口，或者将其保存到文件中，以便后续分析。

综上所述，MATLAB提供了一种方便快捷的方法来求解系统的稳态误差。

通过实例分析，我们可以看到，利用MATLAB求解稳态误差的过程简单易行，只需要几个简单的步骤就可以得到结果。

系统稳态误差的计算

显然，系统稳态偏差(误差)决定于输入 X i (s) 和开环传递函数Gk (s) G(s) H (s) 即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。
4.典型输入信号的稳态误差及静态误差系数
设开环传递函数的一般形式为：
G( s) H ( s)
k ( 1 s 1)( 2 s 1)...( m s 1) s (T1 s 1)(T2 s 1)....( Tn s 1)
5. 扰动引起的稳态误差
图示系统，扰动偏差传递函数为： n ( s) G2 (s) H (s) N (s) 1 G1 (s)G2 (s) H (s) 所以，扰动引起的稳态偏差：
ssn lim s n (s) lim s
s 0 s 0
G2 (s) H (s) G2 ( s ) H ( s ) N (s) lim s N ( s) s 0 1 G1 (s)G2 (s) H (s) 1 GK ( s)
系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差等于多个信号单独作用下的稳态偏差误差之和
1. 控制系统的偏差与误差 1）偏差信号 ( s)
系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差。
(s) X i (s) B(s) X i (s) H (s) X o (s)
2）误差信号 E ( s )
2. 稳态误差
ess 与稳态偏差 ss
s 0
1）稳态误差
e ss lim e(t ) lim sE ( s )
t
2）稳态偏差
ss lim (t ) lim s ( s )
t s 0
。
3）稳态误差与稳态偏差的关系：
ss s ( s) ess lim e(t ) lim sE ( s) lim t s 0 s 0 H ( s ) H (0)

减小稳态误差的方法

（4）采用补偿方法进行复合控制。在作用于控制对象的控制信号中，除了偏差信号外，通常还引入与扰动量或给定量有关的补偿信号，以提高系统的控制精度，减小给定信号和扰动信号作用下的稳态误差。这种控制方式称为复合控制。
1.2 复合控制的补偿方法
1．按扰动进行补偿
当扰动信号可直接测量时，加补偿器后系统的结构图如下图所示。图中，
（3）增加系统前向通道中积分环节的数目，使系统的无差度（阶次）提高，可以消除不同输入信号的稳态误差。但是，增加积分环节的数目会降低系统的稳定性，并影响其他动态性能指标。在过程控制系统中，采用比例积分（PI）调节器可以消除系统在扰动作用下的稳态误差，但为了保证系统的稳定性，相应地要降低比例增益。而采用比例积分微分（PID）调节器，则可以得到更满意的调节效果。
(s)
10(0.456s 1) s(s 1)(0.114s 1)
原系统的对数幅频特性曲线
由于
Kv
lim
s
sGc
(
s)Gk
(
s)
10
，不能满足对系统稳态性能的要求。为了
提高系统的稳态性能，可如下图所示在系统中加入前馈装置，其传递函数为
Gr
(s)
k2 s 2 Ts
k1s 1
系统采用前馈控制装置
为滤波器的传递函数， 1 为执行电机的传递函数
Km ，为负载力矩，
T1s 1
s(Tms 1)
即本系统的扰动量。要求选择适当的前馈补偿装置 GN (s) ，使系统输出不受
扰动影响。
【解】设扰动量 N (s可) 测。选择 GN (s构) 成前馈通道，如上图所示。由此
可求出扰动对输出的影响，即 N (s引) 起的输出为
的动态性能，然后再设置补偿器 Gc (s) ，以提高系统对输入信号的稳态精度。

稳态误差

2! e(0) r ( t ) 1 Fe(0)( t ) e ss ( t ) Fe(0)r ( t ) F r 2! C 0 r ( t ) C1r ( t ) C 2( t ) r
拉普拉斯反变换，得
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。 (2) 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。 (3) 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。
给定稳态误差与扰动稳态误差一
终值定理： ess tlim e(t ) lim SE(s) s0 与输入有关！给定稳态误差终值的计算
1 essr lim SEr (s) lim SR (s)Fr(s) lim S R (s) s 0 s 0 s 0 1 G(s)
消除或减少稳态误差的方法 • 产生稳态误差的原因
给定输入 1(t) 系统型号越高，无差度 t 越高。可以串联积分环 t2/2
输入信号是实际的需要，不能变
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统 1/(1+K) 0 0 ∞ 1/K 0 ∞ ∞ 1/K
节提高系统型号。 1. 稳态误差与输入信号有关传递系数越大，稳态误差越小。 2. 稳态误差与系统型号有关 3. 稳态误差与系统传递系数有关 4. 稳态误差与扰动有关
ess =
esr
+ esn
s 1 / H s
E s X or s X o s s X i s X o s X i s H s X o s / H s

稳态误差

s0
s 0
K 2 K 3 s1 (Ts 1) A A 2 s s1 s2 K 1 K 2 K 3Ts K 1 K 2 K 3 K1
结论：减少扰动误差的方法之一:在主反馈口和扰动点加积分环节或增大增益
作业
P110 3.12 3.13
e ss e ssr e ssn
1 Kn K
例系统结构图如图所示，求 r(t)分别为A· 1(t), At, At2/2时系统的稳态误差。
e ( s)
E( s) s(Ts 1) R( s ) s(Ts 1) K
说明：本题接上题，所以未写出判断系统稳定的过程。
s 0
essr
当 3时，K a lim
K G0 ( s) , s 0 s
essr 0
当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即 Ct 2 A B C 当r (t ) A Bt 时，有essr 2 1 K p Kv K a 结论
s0

A Kv
K K v lim sG1 ( s ) H ( s ) lim v1 G0 ( s) s 0 s 0 s
当 0时，Kv lim sKG0 (s) 0 ,
s0
essv
essv A K
当 1时，K v lim KG0 ( s ) K ,
lim G0 ( s ) 1
s0
根据纯积分环节的个数判断系统的型别。
e ( s) E ( s) 1 R( s ) 1 G1 ( s ) H ( s ) 1 K 1 v G0 ( s ) s
1 ess lim s e ( s) R( s) lim s R(s ) s0 s0 K 1 v G0 ( s) s

稳态误差

p
在单位阶跃作用下， 0 的系统为有差系统，此时开环增益K 越大稳态误差越小； 1 的系统为无差系统。
13
3.6 稳态误差分析
单位斜坡函数输入时的稳态误差
当输入为R ( s )
e ssr lim
s 0
1 s
2
时（单位斜坡函数）
s 1 s
2
1 Gk (s)

1 lim s G k ( s )
s 0
s K
可见给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的开环增益有关；与积分环节的个数有关。
11
3.6 稳态误差分析
开环系统的型
系统的无差度阶数（开环传递函数的型）通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数，并将系统按无差度阶数进行分类。当 0 ，无积分环节，称为0型系统当 1 ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统当 2 ，有二个积分环节，称为Ⅱ型系统 ……………… 当 2 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
s 0
当 2时， K v lim
Kv
K s
s 0
G0 (s) ,
14
K 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 v 越大，e ss 越小。所以说 K v 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。根据 K v 计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的误差。
3.6 稳态误差分析
2
3.6 稳态误差分析
显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。有时，把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系统。

控制003-5(稳态误差)

2 c
εss
=− K K 0
4、减小系统误差的途径
（1）系统的输出通过反馈元件与输入比较，因此反馈通道的精度对于减小系统误差是至关重要的。反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通道引入干扰。（2）在保证系统稳定的前提下，对于输入引起的误差，可通过增大系统开环放大倍数和提高系统型别减小之；对于干扰引起的误差，可通过在系统前向通道干扰点前加积分器和增大放大倍数减小之。
（3）、系统对单位加速度输入的稳态误差
1 2 xi (t ) = t 2 1 Xi (s) = 3 s
1 1 1 1 1 = = ess = lim s ⋅ ⋅ 3 = lim 2 2 2 lim s G(s) Ka s→0 s→0 s + s G( s) 1+ G(s) s s→0
K(τ1s + 1)⋯ 对0型统 Ka = lim s 系 =0 s→0 (T1s + 1)⋯
3-5 控制系统的误差分析和计算
——控制系统的稳态精度
对控制系统的基本要求： 1、稳定静差：由元件不完善造成的； 2、准确误差{ 原理性误差： 3、快速
1、不能很好跟踪输入信号造成的； 2、由于扰动引起的。
一、稳态误差的基本概念
稳态误差： ess = lim e(t )
t →∞
误差定义： e(t ) = xor (t ) − xo (t )
εssX
− G2 (s)H(s) εssN = lim s ⋅ε N (s) = lim s N(s) s→0 s→0 1+ G (s)G (s)H(s) 1 2
1 = lim s ⋅ε X (s) = lim s Xi (s) s→0 s→0 1+ G (s)G (s)H(s) 1 2

线性系统的稳态误差分析

（阶跃输入） r(t)=1(t)
（斜坡输入） r(t)=t
（加速度输入） r(t)=t2/2
0型系统 1
1 KP
Ⅰ型系统
0 1 Kv
Ⅱ型系统
0
0 1 Ka
• 误差系数Kp、Kv和Ka描述了系统减少或消除稳态误差的能力，系数值愈大，则给定稳态误差终值愈小。一般来说，在保持瞬态响应在一个允许的范围内时，希望增加误差系数，如果在静态速度误差系数和加速度误差系数之间有任何矛盾时，主要考虑前者。
线性系统的稳态误差分析 1误差及稳态误差的定义
C0 (s) (s)
N (s)
R(s) E(s) G1(s) + B(s) -
-
G2 (s) C(s)
系统误差：输出量的希望值 c0 (t)和实际值 c(t) 之差。即
(t) c0 (t) c(t)
系统稳态误差：当t→∞时的系统误差，用 ss 表示。即
ss
lim (t)
t
系统偏差：系统的输入 r(t) 和主反馈信号 b(t) 之差。即
e(t) r(t) b(t)
系统稳态偏差：当t→∞时的系统偏差，用 ess表示。即
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE(s)
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳态误差计算
偏差和误差之间存在一定的关系：
E(s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s) (s)
ss s0 sG(s)H (s) K lim sG(s)H (s)
v
s0
1 ess Kv
3、输入为单位加速度函数R(s) 1 时
s3
其稳态误差为：

控制系统的误差与稳态误差

（2） 1时，称该开环系统为Ⅰ型系统。（3） 2时，称该开环系统为Ⅱ型系统。
当 2时，依此类推，但Ⅱ型以上的系统实际上很难稳定，故在控制工程
中一般很少见。因为可以通过确定闭环系统无差的程度，所以有时也把
称为系统的无差度。
综上所述，控制系统的稳态误差主要由以下三方面确定。
（1）输入信号的类型，即所需跟踪的基准信号，如脉冲信号、阶越信号、斜坡信号、抛物线信号等。
E(s) R(s)
1 (s)
1
G(s)H (s) 1 G(s)H (s)
1
1 G(s)H (s)
1
1 Gk (s)
为了方便系统稳态误差的表达和推导计算，可对系统误差的数学模型进行分解，一般先将系统的传递函数变换成如下所述的表达形式。
系统的开环传递函数 Gk (s)以零、极点的形式来表示为
m1
m2
Gk (s)
K s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Gn (s)
式中 K——系统的开环增益（放大系数）；
——前向通道积分环节的个数， 1 表示个积分环节
s
Gn (s) ——零、极点因子的环节增益归一表达式。
1
串联；
s
则开环增益为
K
lim s
s0
Gk
(s)
根据前向通道积分环节的个数，可按照下述方式定义开环系统的类型。
（1） 0时，称该开环系统为0型系统。
自动控制原理
控制系统的误差与稳态误差
1.1 误差与稳态误差的概念
控制系统的误差就是系统的期望输出值与实际输出值之差，表示为
e(t) r(t) c(t)
其中，误差 e(t) 也是时间的函数，如下图所示。图中阴影部分就构成了系

3.3 反馈控制系统的稳态误差

R ∞ k R Kp=? k lim s· ν K =? s s→0
e(t ) r (t ) b(t )
稳态误差定义为
ess e() lim e(t ) lim [r (t ) b(t )]
t t
对于单位反馈系统，稳态误差可写为
ess e() lim e(t ) lim [r (t ) c(t )]
t t
对于1型系统：N＝1
K (1 T1s)(1 T2 s) K v lim s K s(1 Ta s)(1 Tb s) s 0
开环放大系数
1 ess K
具有单位反馈的1型系统，其输出能跟踪等速度输入，但总有一定误差；其稳态误差与K成反比。对于2型系统或2型以上系统：N≥2
3.3.3主扰动输入引起的稳态误差
系统的负载变化往往是系统的主要扰动，假如主扰动 n(t)的作用点如图所示，现在分析它对输出或稳态误差的影响。 1 例 G1 (s) K G2 ( s )
分别计算当r(t)和n(t)为阶跃输入时的系统稳态误差解： K
Js
H ( s) 1
GK ( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
若扰动为阶跃函数n(t)=1(t)，则
G2 (0) H (0) essn 1 G1 (0)G2 (0) H (0)
当
G1 (0)G2 (0) H (0) 1 G2 (0) H (0) 1 essn 1 G1 (0)G2 (0) H (0) G1 (0)
扰动作用点以前的系统前向通道传递系数G1(0)越大，由一定扰动引起的稳态误差就越小。对于无差系统，即N≥1， G1(0) =∞．即应该是G1(s)中包含积分环节，才保证扰动不影响稳态响应，由此产生的稳态误差为零。

《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算

伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院第三章线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院第三章线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院第三章线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算

§3-5稳态误差的分析与计算

R(s) H1(s) G1(s) N(s) G2(s) C(S)
G 2 (s) E n (s) Cn (s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
s 0
s 0
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
1 e ssr 阶跃输入下: 1 KP 斜坡输入下: essr 1 Kv 1 e ssr 抛物线输入下: Ka
K (TjS 1) G (s) S (TiS 1)
i 1 j1 n
K G( s) v s
i 1
n
系统开环传递函数中不含积分环节
KP lim G (s) K
s 0
e ss 1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
K lim SG (s) 0 斜坡输入时，误差系数=0 s 0
ess
2

稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
Ka lim S G (s) 0抛物线输入时，误差系数=0 s 0 ess 输出不能跟随输入，
KP lim G(s)
K lim SG(s)
s 0
s 0
Ka lim S G(s)
s 0
m2
2
m
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j j 1 l 1
m1
2 2 k
s 2 k k s 1) s 2 l l s 1)
(T s 1) (T
2 2
l
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统分别三种典型输入稳态误差有九种情况

稳态误差总结分析与例解

稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。

只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。

一、误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。

图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)=L −1[E(S)]=L −1[Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)=E sR (S )=11+G s ∗H s根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)=lim s →0s ∗E (s )=lim s →0s∗R (S )1+G s ∗H s二、系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K (Tis +1)m i =1s ^v (Tjs +1)n −vj =1K 为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。

四、阶跃输入下的e ss (∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：e ss (∞)= R1+K ,ν=00 ,ν≥1用Kp 表示静态位置误差系数：e ss (∞)=R 1+lim s →0G s ∗H s =R1+Kp其中： Kp=lim s →0G s ∗H s且有一般式子：Kp=K ,ν=0∞ ,ν>=1五、斜坡输入下的e ss (∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：e ss (∞)= ∞ ,ν=0RK ,v =10,v ≥2用Kv 表示静态速度误差系数：e ss (∞)=R lim s →0G s ∗H s =RKv其中：Kv=lim s →0s ∗G s ∗H s六、加速度输入下的e ss (∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt 2/2,则有：e ss (∞)= ∞ ,ν=0、1R/K,v =20 ,v ≥3用Kv 表示静态速度误差系数：e ss (∞)=R lim s →0G s ∗H s =RKa其中：Kv=lim s →0s ^2∗G s ∗H s且有：Ka= 0, v =0、1K , v =2∞, v ≥3七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =−G 2 s1+G s 为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施：（1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。

自动控制原理：3-3 控制系统的稳态误差

ans=
2.0000
-2.0000
-0.0000+1.0000i
-0.0000-1.0000i -0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i
由于有1个正实部根的特征根，所以，系统不稳定。
《自动控制原理》国家精品课程浙江工业大学自动化研究所 14
3.4.2 MATLAB求控制系统的单位阶跃响应
有差系统无差系统
准确跟踪系统
§3-3 控制系统的稳态误差
2.单位斜坡输入 xr (t) t
Xr
(s)
1 s2
e lim s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s
lim
s0
1
s WK
s
1 s2
1
lim
s0
sWK
s
若令
Kv
lim
s0
sWK
s
则 e 1
Kv
速度误差系数
0型系统 Ⅰ型系统 Ⅱ型以上系统
当输入r(t) 为单位加速度信号时，为使系统的静态误差为零，试确定前馈环节的参数a 和b 。
lim
s0
sN1X r s
sN K
稳态误差取决于Kk与N，而N越高稳态精度（准确性）越高，稳定性越差。
二、典型输入情况下系统的给定稳态误差及误差系数
1.单位阶跃输入
xr
t
1 0
t0 t0
1 X r (s) s
§3-3 控制系统的稳态误差
e
lim
s0
sE
(s)
lim
s0
s 1
Xr (s)
WK s

稳态误差计算

课程回顾
稳定性的概念稳定的充要条件
limk(t) 0
t
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均严格位于左半s平面
稳定判据
D(s) an sn an1sn1 a1s a0 0
（1）判定稳定的必要条件 ai 0
（2）劳斯判据（3）劳斯判据特殊情况的处理
判定系统的稳定性（4）劳斯判据的应用确定使系统稳定的参数取值范围
静态速度误差系数
K
Kv
lim
s0
s G1(s)H(s)
lim
s0
sv1
A A
1
A
K essa
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
s3
1 G1(s)H (s)
lim
s0
s
2
G1
(
s
)
H
(
s
)
a
静态加速度误差系数
Ka
lim
s0
s
2
G1
(s)H
(
s)
lim
s0
K sv2
第11页/共21页
D(s) s1s2 K1K2 K3Ts K1K2 K3 0
K1 T
K
2K 0
3
0
essr
lim
s0
s
e
(s)
A s3
lim
s0
A s2
s1 s2
s1 s2 K1K 2 K 3Ts
K1K2K3
A K1K2K3
en(s)
E(s) N (s)
1
K 2 K 3 (Ts 1) K1K 2 K 3 (Ts 1)

稳态误差分析.

• 前者在实际系统中是可量测的，具有一定的物理意义；
• 后者一般只有数学意义。将图（a）等效变换为图（b），
可以看出两者之间有对应关系：
E(s) E(s) / H(s)
对于单位反馈系统来说，这两种定义是等价的。
二、稳态误差 ess
• 稳态误差是系统的误差响应达到稳态时的值，
是对系统稳态控制精度的度量，
lim
s0
0
sH (s)G(s)
0
Kv
令
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
K v 静态速度误差系数
Static velocity error constant
0 Kv K
0 1 2
ess
v0 K
0
0 1 2
加速度信号输入
ess
lim
s0
sE ( s)
lim s0 1
sR(s) H (s)G(s)
1
R(S) 1 GC (s)GP (s)H (S)
E(S)
H (S)GP (s)
N (S) 1 GC (s)GP (s)H (S)
def
e (s)
E(s) R(s)
1
1 H (s)G(s)
E(s)
e
(s)R(s)
1
R(s) H (s)G(s)
e(t) L1[e (s)R(s)]
输入形
式
ess ()
解：
根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因
而令其开环传递函数为 G(s)
K
K
S(S 2 bS C)
按定义
Kv
lim
s0
SH (s)G(s)
C

稳态误差

4
六系统误差分析和计算
单位加速度输入时系统的稳态偏差 1 t2 X i ( s ) 3 (单位抛物线函数) xi (t ) a(t ) s
ess lim s
1 1 1 1 1 lim 2 lim s G ( s ) H ( s ) K a s 0 1 G( s) H ( s) s 3 s0 s 2 s 2 G( s) H ( s) s 0 静态加速度误差系数 K a lim s 2 G( s) H ( s)
s 0
s1 j 1 (1 T j s)
K i 1 (1 i s )
m n 1
K
ess
1 1 K vI K
II型系统:
K vII lim s
s 0
s 2 j 1 (1 T j s)
K i 1 (1 i s)
m n2

ess
1 0 K vII
静态速度误差系数 0型系统:
m
1 s2
(单位斜坡函数)
K v lim s G ( s ) H ( s )
s 0
K v 0 lim s
s 0
K i 1 (1 i s)
j 1 (1 T j s)
n
0
ess
1 Kv0
I型系统:
K vI lim s
2
0型系统:
K a 0 lim s
2 s 0
s 0
K i 1 (1 i s )
m
(1 T j s)
n j 1
0
ess
1 Ka0
I型系统:
K aI lim s
s 0
2

已知闭环传递函数求稳态误差

已知闭环传递函数求稳态误差已知闭环传递函数求稳态误差引言：在控制工程中，闭环传递函数被广泛应用于描述控制系统的性能和稳定性。

稳态误差是评估控制系统性能的重要指标之一，它表示在稳定状态下系统输出与期望输出之间的偏差。

本文将详细探讨已知闭环传递函数的情况下如何求解稳态误差，以及其中的关键概念和方法。

一、稳态误差的定义和分类稳态误差是指在稳定状态下系统输出与期望输出之间的差异。

它通常用于评估控制系统对不同输入信号的跟踪能力。

稳态误差可以分为三类：零误差、有限非零误差和无穷大误差。

零误差表示系统能够完全跟踪期望输入信号，也即系统输出与期望输出完全一致。

有限非零误差表示系统输出与期望输出之间存在一定的差异，但这种差异是有限的，可以通过参数调整来减小。

无穷大误差表示系统无法跟踪期望输入信号，输出与期望输出之间的差异会趋于无穷大。

二、已知闭环传递函数求解稳态误差的方法已知闭环传递函数的情况下，我们可以使用不同的方法来求解稳态误差。

以下是常用的两种方法：1. 误差常数法误差常数法是一种基于稳态误差的定义和概念来求解稳态误差的方法。

对于单位阶跃输入信号（step function），我们可以通过计算系统输出的稳态值与期望输出的稳态值之间的差异，来求解稳态误差。

具体来说，我们可以将闭环传递函数表示为最简形式，即传递函数的分子次数小于或等于分母次数，然后根据其特性来求解稳态误差。

常见的误差常数包括静态误差常数、速度误差常数和加速度误差常数。

通过计算这些误差常数，我们可以得到稳态误差的近似解。

2. 根轨迹法根轨迹法是一种基于闭环传递函数的极点位置和稳态误差之间的关系来求解稳态误差的方法。

通过根轨迹的分析，我们可以确定系统极点的位置，从而评估系统的稳态误差。

一般来说，系统极点越接近原点，稳态误差越小；系统极点越远离原点，稳态误差越大。

通过绘制根轨迹图，并结合稳态误差定义，我们可以准确地求解稳态误差。

三、个人观点和理解在控制工程中，求解稳态误差是非常重要的，它直接关系到控制系统的性能和稳定性。

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s
e (s)
R(s)
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s2
K
Kn
en(s)
E(s) N (s)
1
Tns 1 K
(Tn s
Kns(Ts 1)
1)s(Ts 1)
K
s(Ts 1)
essn
lim
s0
s
en(s)
N (s)
lim
s0
s
(Tn s
Kns(Ts 1) 1) s(Ts 1)
lsim0 G0(s) 1
E(s)
1
1
e(s)
R(s)
1 G1(s)H (s)
1
K sv
G0 (s)
1
ess
lim s
s0
e (s)
R(s)
lim s
s0
R(s) 1
K sv
G0 (s)
(3) 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。
自动控制原理 §3.6 线性系统的稳态误差
§3.6
线性系统的稳态误差(1)
概述
稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。
本讲只讨论系统的原理性误差，不考虑由于非线性因素引起的误差。
通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
§3.6
线性系统的稳态误差(2)
§3.6.1 误差与稳态误差
按输入端定义的误差 E(s) R(s) H(s)C(s)
按输出端定义的误差
E(s) R(s) C(s) H(s)
稳态误差
静态误差：ess
(2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
解.
(1)
G(s)
s
(s2
Ka
20xs
100)
K Ka 100
D(s) s3 20x s2 100 s 100K 0
s3
1
100
s2
20x
100K
s1 2000x 100K 0
20x
s0
100K
x0 K 20x
K0
判断系统的相对稳定性
s 3 3s)7 s 2 23 s (100K 61) 0
s3
1
23
s2
37 100K 61
s1
912 100K 37
0
K 9.12
s 0 100K 61
K 0.61
§3.5
线性系统的稳定性分析
问题讨论：
(1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。 (2) 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。
ess1
lim s s0 s(Ts 1) K
s
0
r(t) A t
s(Ts 1) A A
e ss 2
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s2
K
r(t) A t2 2
s(Ts 1) A
e ss 3
lim
s0
s
s(Ts 1)
K
s3
影响 ess 的因素：
系统自身的结构参数外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）
§3.6.3
静态误差系数法（1）
静态误差系数法 —— r(t)作用时ess的计算规律
G(s)
G1(s)H (s)
K ( 1s 1)
sv (T1s 1)
( m s 1)
(Tnv s 1)
K sv
G0 ( s)
G0 ( s)
( 1s 1)
(T1s 1)
( m s 1)
(Tnv s 1)
(s) K * (s z1 )( s z2 ) (s zm ) C1 C2 Cn
(s 1 )( s 2 ) (s n ) s 1 s 2
s n
k(t) C1e1t C2e2t Cnent
闭环零点影响系数Ci ，只会改变动态性能。
闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。
K
1 s2
Kn K
ess
essr
essn
1 Kn K
§3.6.2
计算稳态误差的一般方法 (2)
例 2 系统结构图如图所示，求 r(t)分别为A·1(t), At, At2/2时系统的稳态误差。
解． e (s)
E(s) R( s )
s(Ts 1) s(Ts 1) K
s(Ts 1) A
r(t) A1(t)
lim e(t )
t
e()
动态误差：误差中的稳态分量 es (t )
§3.6.2 计算稳态误差的一般方法
（1）判定系统的稳定性（2）求误差传递函数
E(s)
E(s)
e(s)
, R(s)
en(s)
N (s)
（3）用终值定理求稳态误差
ess
lim s s0
e (s) R(s) en(s) N(s)
解依题意有
G(s)
K s 1 s 3 12
9K (s 1)
s 32
D(s) s 32 9K s 1 s2 9K 6s 91 K 0
9K 6 0
1
K
0
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例2 系统结构图如右，
(1)确定使系统稳定的参数(K,x 的范围;
令s) s a,代入系统特征方程,若对 s) 稳定,则全部极点 s a 之左
(2)当 x2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当 x2 时，进行平移变换：s s 1
D(00 s
100K
0
D(s ) (s 1)3 40 (s 1)2 100(s 1) 100K 0
（2）劳斯判据（3）劳斯判据特殊情况的处理（4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）
3
劳斯判据的应用
(1)、判断稳定性，确定正根的个数 (2)、确定使系统稳定的参数的范围 (3)、判断系统的相对稳定性
例1 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应增益K的范围。
自动控制原理
吉林化工学院自动化系
自动控制原理教学组
课程回顾
一稳定性的概念 limk(t) 0 t
二稳定的充要条件
系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均位于左半s平面
三劳斯判据
D(s) an sn an1sn1 a1s a0 0
（1）判定稳定的必要条件 ai 0
§3.6.2
计算稳态误差的一般方法 (1)
例１系统结构图如图所示，已知 r(t)=n(t)=t，求系统的稳态误差。
解．
e(s)
E(s) R(s) 1
1 K
s(Ts 1) s(Ts 1) K
s(Ts 1)
D(s) Ts2 s K 0
s(Ts 1) 1 1
essr
lim
s0