断裂力学讲义ch7-动态裂纹扩展_76680560

其中


1
E
2 1

，


E
21

动态问题，不再忽略惯性项 ui ，将几何方程代入本构方程最终代入
平衡方程，得 Navier 方程
u j, ji 2ui ui
※一般的动态弹性力学问题
Navier 方程： u j, ji 2ui ui
u3 ReH zs ， ReFzl ，3 ReGzs ，其中 H、F 和 G 是解
析函数。如何确定？ 两个复平面上的极坐标表示 zl rleil ， zs rseis
u1 ,1 3,2
以 I 型问题为例，类似于静态裂纹，以幂级数展开，首项为
物质点对时间导数 u3

u3 t
x

uˆ3 t
x

uˆ3 t
x
luˆ3 x1
x2 ,t
luˆ3 x1
(近
x2 ,t
似在裂尖成立) 为什么？
物质点对时间导数
l v
x1 x2 ,t
x1 x2 ,t
u 3
在静态断裂问题时，我们采用应力函数等来自动满足一些方程。对 于动态问题，Sternberg 证明，满足上式的位移场可以用一个标量
势函数 和一个散度为零的向量势函数k 来表示
ui ,i eijk k , j k,k 0
称为 Helmholtz 变换，可以证明 Navier 方程等价于下述波动方程
相对于 Rayleigh 波 速
※局部波速效应的理论工作——III 型剪切动态裂纹 （Guo G，Yang W，Huang Y，2003，JMPS）
超音速扩展仍建立 在局部非线性弹性 硬化基础上。
提出预储存能量可 以保证裂纹超音速 扩展时正的能量释 放率。
动态断裂小结
1. 经典的动态断裂预测裂纹扩展速度不能超过 Rayleigh 波速，应力奇异性仍为 r 的-1/2 次方，应力强度因子随 裂纹扩展速度增加而减少
dW da

dU da

dT da


1 Ba

dW dt

dU dt

dT dt

其中与静态能量释放率相比，多出动能项 T。
动态能量释放率 GI v 与动态强度因子 KD v 存在如下关系
G

1
E
2
FK
2 D
4sl

1


2 s
2
0对应于瑞利波速
百度文库
F
， 3

KIII v
2r
3
; v
l 1 v2 / Cl2 s 1 v2 / Cs2 zl x1 il x2 zs x1 is x2

1
2r
K
I
v

I

;
v


K
II
v

II

;
v

2．角分布函数与裂纹扩展速度 v 和泊桑比 有关。以 I 型
zl x1 il x2 ， zs x1 is x2 ， 其 中 l 1 v2 / Cl2 ，
s 1 v2 / Cs2
通解为 u3 ReH zs ， ReFzl ，3 ReGzs ，其中 H、F 和
G 是解析函数【题 7-2】。注意是亚音速 v Cs ，两个复平面。
Arl cos l ，3 Brs sin s
再利用裂纹上下岸的表面自由边界条件 ,3 u
2 0
得特征方程并解特征值为


3 2
，
B

2 l
1


2 s
A
只剩一个未知量A，怎么定？
l 1 v2 / Cl2 s 1 v2 / Cs2 zl x1 il x2 zs x1 is x2
2. 对于 I 型裂纹扩展， 0有最大环向应力。而当 v 0.6Cs 时，最大环向应力出现在 60 度角的方向。可以用于解释 动态裂纹扩展分叉。
3. 传统理论不能解释的跨音速和超音速裂纹扩展
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luˆ3 x1
x2 ,t
v l 为裂纹扩展速度，类似的


v2

x12
x2
,t
u3,

1 Cs2
u3

0
,

1 Cl2


0
3,

1 Cs2
3

0
定解方程从对时间的二阶导数变做对移动坐标的二阶导，进而引入
变换型的复变量使方程变成调和方程
ui ,i eijk k , j
fi ， ,3 , ， ui ui,
准静态裂纹扩展
定解方程可以解耦变成以下两组：
1. 反平面剪切问题： u3 2,1 1,2 , 0 ，因此定解方程
u3,

1 Cs2
u3

0 【题
7-1】，
※超音速裂纹扩展的分子动力学模拟（Abraham 和 GaoH2000PRL）
（思考何种波速）
三角形晶格，1424×712 atoms界面原子间采用LJ势，其余采用二次 势
※超音速裂纹扩展的分子动力学模拟(Abraham 和 GaoH2000PRL)续
裂纹扩展速度的禁区
观察到 II 型裂纹扩展的一个转折点
x1 x1 lt ， x2 x2
l t 为裂纹扩展长度
原定解方程都建立在物质点上，如 u3,

1
C
2 s
u3

0 ，如何用移动坐标表
示？以 u3 为例， u3 (x1, x2 ,t) uˆ3 (x1, x2 ,t) uˆ3 (x1 lt, x2 ,t)
r 0
2r 22 r,0,t 3
2
4 s l

1


2 s
2
4
1


2 s
A
s 1 v2 / Cs2
显然，当 4sl

1


2 s
2
0 时，动态应力强度因子为零，对
应于瑞利波速 CR ，所以该公式表明裂纹不可能在均匀介质
中以高于瑞利波速的速度运行。
v CR Cs Cl （稍后讨论） ※ 裂纹扩展的应力强度因子准则
不多的几个动态裂纹理论解 Yoffe 的平移运动中心裂纹的动态裂纹解
动态断裂研究热点--超音速或跨音速裂纹扩展 ※实验（Rosakis,1999，Nature）II型，弱界面（解释）
※实验（Rosakis,1999，Nature）II 型续 观测到了马赫锥，超音速扩展？
超过剪切波速 Cs ！经典理 论不能预测！ 稳定扩展波速为 2Cs 符合 Freund 的理论预测
当静态裂纹 KI KIC 时，裂纹起裂，裂纹扩展速度逐渐增加， 而动态裂纹应力强度因子 KD 逐渐减小，当 KD 低于 K IC 时， 止裂，之后 KI 又上升，裂纹再次起裂和扩展，循环往复这 一过程，直至 KD KIC 。
※ 裂纹扩展的能量判断准则
动态能量释放率 GI v
1 B

先以 Rayleigh 波速扩展，突然 产生 daughter crack 并以纵波 波速扩展
先以 Rayleigh 波速扩展，突然 产生 daughter crack 并以 1.6 倍的纵波波速扩展，超音速扩展
看动画展示
※非线性系统分子动力学模拟（双二次势） （Buehler，Abraham，Gao，2003，Nature）
1. 裂纹的起裂按照 Griffith 的能量断裂准则
2. daughter crack 产生于当 mother crack 裂纹前方延长 线上的峰值拉应力大于最大内聚力时
※另一种可能的机制—局部波速控制扩展（Abraham 等人 2002PNAS） 分子动力学模拟 对比两种势：
二次势：线弹性 非 二 次 势 ：（ 非 线 性 弹 性）由 LJ 势的斥力部分 对称构造，并确保与二 次势在平衡位置时的初 始刚度一致。
动态裂纹为例，当 v 0 ，解退化为静态裂纹， 0 有最大
环向应力。而当 v 0.6Cs 时，最大环向应力出现在 60 度角 的方向。可以用于解释动态裂纹扩展分叉。
3．动态应力强度因子 KD 与裂纹扩展速度 v 有关 l 1 v2 / Cl2
KD

lim
第七章 动态裂纹扩展
※ 经典的动态断裂 ※ 现今动态断裂方面的一个热点问题
经典动态断裂研究
※首先考察一般的动态弹性力学问题
平衡方程： ij, j fi ui
几何方程： ij

1 2
ui, j
u j.i
本 构 方 程 （ 各 向 同 性 线 弹 性 ）：
ij kk 2 ij
动态扩展裂纹的应力强度因子
KD

lim
r 0
2r 22r,0,t 3
2

4 s l

1


2 s
2
4
1


2 s
A
1． 动态裂纹尖端场仍具有 r1/2 的奇异性

1
2r
KI
v
I
; v
KII
v
II
; v
※超音速裂纹扩展
的分子动力学模拟
(Abraham
和
GaoH2000PRL)续
在裂纹转折点处发
生了什么现象？
Mother Crack
&
Daughter Crack
超音速扩展的机制
和解释一
※关于超音速裂纹扩展的 Mother&Daughter Crack 的理论 工作（Gao，Huang and Abraham，2001，JMPS）

2


2
k

1 0
Cl2
1 Cs2
k
0
其中 Cl
2
为纵波波速， Cs

为横波波速。
※ 具体到裂纹尖端场


2


2
k

1 Cl2


0
1 Cs2
k

0
当无限靠近裂尖 L 时，有以下量级关系
k,k 0
待定场函数为 u3
2. 平面应变问题： u1 ,1 3,2 ， u2 ,2 3,1 ，对应的定解方程为
,

1 Cl2

0 ，3,

1 Cs2
3
0，
待定场函数为 和3
在静态裂纹时，对于定解方程采 用复变函数中的解析函数使方 程自动满足，动态裂纹可以类似 处理，但是需采用随裂尖运动的 坐标系
为能量转换因子
F

1
Cs2
v3l 4 s l

1


2 s
2
，两个极限
当 v 0 ，退化为静态裂纹， F 1
F 随 v 增加而增加，当 v 趋近于瑞利波速 CR 时， F ，即若裂纹 按瑞利波速扩展，需要无限的裂纹注入裂尖，据此亦可说明断裂速 度应小于瑞利波速。（稍后讨论）