考点35 二项式定理——2021年高考数学专题复习讲义
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数学无耻得分综合篇！ 做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇 到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特 殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证 法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。填空题也 是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否 用特殊值代入法以及特例求解法。选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到 不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对 了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不 要有马虎的地方。 大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标 准形式 Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及
A． 29
B． 49
C． 39
D． 1
2．设 (x2 1)(4x 3)8 a0 a1(2x 1) a2 (2x 1)2 a10 (2x 1)10 ，则 a0 a1 a2 a10 等于
()
5
A．1
B．2
C．
D．5
4
3．若多项式 x2 x10 a0 a1 x 1 a9 x 19 a10 x 1 10 ，则 a9 （ ）
考到概率超小 7.选择题中考线面关系的可以先从 D 项看起前面都是来浪费你时间的 7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点 带入能成立的就是答案 8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运 气，文科可以试试。） 9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是 D 因为 B 可以看 作是 2/2 前面三个都是出题者凑出来的 如果答案在前面 3 个的话 D 应该是 2(4/2).
A．9
B．10
C．-9
D．-10
4．已知 x 15 a0 a1 x 1 a2 x 12 a5 x 15 ，则 a2 （ ）
A． 20
B． 20
C． 80
D． 80
考点四 二项式性质及运用
1．在
x
1 2
x
n
的展开式中，只有第
5
项的二项式系数最大，则展开式中
x5
的系数为（
）
A． 7
【思维导图】
考点 35 二项式定理
【常见考法】
考点一 指定项系数
1．
1
百度文库
1 x
5
展开式中
1 x3
项的系数为（
）
A．10
B．5
C． 10
D． 5
2．若
x2
a x
6
的展开式中
x6
的系数为
150，则 a2
（
）
A．20
B．15
C．10
D．25
3．在 1
x
1 x 2018
10
的展开式中，
x2 的系数为（
不如果算错了第二问做出来了也白算了。第二问有直线与圆锥曲线相交时，记 住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根 之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否 存在。第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的 条件转化成你刚才联立完的 x1+x2 和 x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的 题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标 之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上 的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点 关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对 称轴上）、定点问题（直线 y=kx+b 过定点即找出 k 与 b 的关系，如 b=5k+7，然 后将 b 代入到直线方程 y=kx+5k+7=k（x+5）+7 即可找出定点（-5,7））、定值 问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜 率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。）、最值或范围 问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截 距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域— 别忘了 delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数 法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求 出来了）。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而 不求思想证明问题。 选修题我只说下参数方程与极坐标，各种曲线的参数方程的标准形式要记准， 里面谁是参数，以及各量的意义以及参数的几何意义，一般都是先画成直角坐 标，变成直角坐标题意就简单了，有的题要用到参数方程里参数的几何意义来
A． 10
B． 20
C．、 30
D． 40
3．
x2 x 1
x
2 x
6
的展开式中的常数项为（
）
A．40
B．80
C．120
4．已知(1＋ax)·(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a＝
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
D．140
考点三 （二项式）系数和
1．已知 1 3x9 a0 a1x a2 x2 a9 x9 ，则 a0 a1 … a9 等于（ ）
辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最 小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体 u=wx+fai 的 范围，然后可以直接画 sinu 的图像，避免画平移的图像。这部分题还有一种就 是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向， 即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的 题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。 理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前 n 项和公式；证明 数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数 列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同 的方法（已知 Sn 求 an、已知 Sn 与 an 关系求 an（前两种都是利用 an=Sn-Sn1，注意讨论 n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差 或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列 lamt，通过构造一个新数列使 其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一 步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法 证明，还有就是数列可以看成一个以 n 为自变量的函数。 第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定 理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中 点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积， 注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角 等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计 算，不要算错。
A． C633
B． C643
C． C634
D． C644
2．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规 律，去掉所有为 1 的项，依次构成 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前 50 项和为 （）
A．2025
B．3052
C．3053
D．3049
如何学好数学
1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致 k 算不出，这时你可以取特殊值 法强行算出 k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解 的表达式，就 ok 了 2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差 2 倍的小的 就是答案，体积找到差 3 倍的小的就是答案，屡试不爽！ 3.三角函数第二题，如求 a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算 的比如角 A 等于 60 度直接假设 B 和 C 都等于 60°带入求解。省时省力！ 4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想 不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直 接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有 2 分可以 得！ 5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简 单！ 6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！
B． 35
35
C．
D．7
8
8
2．已知 (1 x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则 n （ ）
A．9
B．11
C．10
D．12
3．在二项式
2x3
1 x
12
的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________．
4．已知二项式
2
x
1 n x 的展开式中第 2 项与第 3 项的项式系数之比是 2 : 5 ，则 x3 的系数为
）
A．10
B．30
C．45
D．120
4．若曲线
y
3
ln
x
1
在
x
1
处的切线斜率为
a
，则
3x
1 ax2
6
的展开式中的常数项为（
）
A． 4
B．4
C．60
D． 60
考点二 因式之积的特定项系数
1． (2 x)5 (x 1) 的展开式中， x3 的系数是（ ）
A． 32
B． 40
C． 32
D． 40
2． x 2 y x y5 的展开式中 x3 y3 的系数为（ ）
____________.
1． 5555 除以 8 ，所得余数是(
考点五 整除问题 )
A． 7
B． 1
C． 0
D． 1
2．已知 m 0 ，且152020 m 恰能被 14 整除，则 m 的取值可以是（ ）
A． 1
B．1
C．7
D．13
考点六 杨辉三角
1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的 一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列 1，1，1，1，2，1，1，3，3，1， 1，4，6，4，1，…，则此数列的第 2020 项为（ ）
解题（注意直线参数方程只有是标准的参数方程才能用 t 的几何意义，要不会 差一个倍数，弦长|AB|=|t1-t2|，|PA||PB|=|t1t2|（注意 P 点得是你参数方程里前面 的（a，b），只有这样联立后的参数 t 才表示 PA、PB）），这时会简单许多。极坐 标也是，先化成直角坐标再解题，这样就简单了。
第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求 概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数 /所有可能的个数；理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算 K 方值，别算 错数了，会查表，用 1 减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中 各项的意义）即可求出直线方程，注意（x 平均，y 平均）点满足直线方程。理 科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少 了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是 1，不是 1 说明要不你概率 算错了，要不随机变量数少了。 第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时 注意与定义域取交。看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用 导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二 次函数的比较多，讨论开口 a=0、a<0、a>0 和后两种情况下 delt<=0、 delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点 与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的 区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端 点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的 运用。证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、 理科的数学归纳法）。多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结 论。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求 思想证明问题。 第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、 直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。一定检查下第一问算的数对不，要
A． 29
B． 49
C． 39
D． 1
2．设 (x2 1)(4x 3)8 a0 a1(2x 1) a2 (2x 1)2 a10 (2x 1)10 ，则 a0 a1 a2 a10 等于
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A．1
B．2
C．
D．5
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3．若多项式 x2 x10 a0 a1 x 1 a9 x 19 a10 x 1 10 ，则 a9 （ ）
考到概率超小 7.选择题中考线面关系的可以先从 D 项看起前面都是来浪费你时间的 7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点 带入能成立的就是答案 8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运 气，文科可以试试。） 9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是 D 因为 B 可以看 作是 2/2 前面三个都是出题者凑出来的 如果答案在前面 3 个的话 D 应该是 2(4/2).
A．9
B．10
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4．已知 x 15 a0 a1 x 1 a2 x 12 a5 x 15 ，则 a2 （ ）
A． 20
B． 20
C． 80
D． 80
考点四 二项式性质及运用
1．在
x
1 2
x
n
的展开式中，只有第
5
项的二项式系数最大，则展开式中
x5
的系数为（
）
A． 7
【思维导图】
考点 35 二项式定理
【常见考法】
考点一 指定项系数
1．
1
百度文库
1 x
5
展开式中
1 x3
项的系数为（
）
A．10
B．5
C． 10
D． 5
2．若
x2
a x
6
的展开式中
x6
的系数为
150，则 a2
（
）
A．20
B．15
C．10
D．25
3．在 1
x
1 x 2018
10
的展开式中，
x2 的系数为（
不如果算错了第二问做出来了也白算了。第二问有直线与圆锥曲线相交时，记 住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根 之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否 存在。第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的 条件转化成你刚才联立完的 x1+x2 和 x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的 题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标 之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上 的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点 关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对 称轴上）、定点问题（直线 y=kx+b 过定点即找出 k 与 b 的关系，如 b=5k+7，然 后将 b 代入到直线方程 y=kx+5k+7=k（x+5）+7 即可找出定点（-5,7））、定值 问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜 率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。）、最值或范围 问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截 距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域— 别忘了 delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数 法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求 出来了）。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而 不求思想证明问题。 选修题我只说下参数方程与极坐标，各种曲线的参数方程的标准形式要记准， 里面谁是参数，以及各量的意义以及参数的几何意义，一般都是先画成直角坐 标，变成直角坐标题意就简单了，有的题要用到参数方程里参数的几何意义来
A． 10
B． 20
C．、 30
D． 40
3．
x2 x 1
x
2 x
6
的展开式中的常数项为（
）
A．40
B．80
C．120
4．已知(1＋ax)·(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a＝
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
D．140
考点三 （二项式）系数和
1．已知 1 3x9 a0 a1x a2 x2 a9 x9 ，则 a0 a1 … a9 等于（ ）
辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最 小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体 u=wx+fai 的 范围，然后可以直接画 sinu 的图像，避免画平移的图像。这部分题还有一种就 是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向， 即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的 题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。 理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前 n 项和公式；证明 数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数 列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同 的方法（已知 Sn 求 an、已知 Sn 与 an 关系求 an（前两种都是利用 an=Sn-Sn1，注意讨论 n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差 或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列 lamt，通过构造一个新数列使 其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一 步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法 证明，还有就是数列可以看成一个以 n 为自变量的函数。 第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定 理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中 点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积， 注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角 等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计 算，不要算错。
A． C633
B． C643
C． C634
D． C644
2．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规 律，去掉所有为 1 的项，依次构成 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前 50 项和为 （）
A．2025
B．3052
C．3053
D．3049
如何学好数学
1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致 k 算不出，这时你可以取特殊值 法强行算出 k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解 的表达式，就 ok 了 2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差 2 倍的小的 就是答案，体积找到差 3 倍的小的就是答案，屡试不爽！ 3.三角函数第二题，如求 a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算 的比如角 A 等于 60 度直接假设 B 和 C 都等于 60°带入求解。省时省力！ 4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想 不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直 接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有 2 分可以 得！ 5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简 单！ 6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！
B． 35
35
C．
D．7
8
8
2．已知 (1 x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则 n （ ）
A．9
B．11
C．10
D．12
3．在二项式
2x3
1 x
12
的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________．
4．已知二项式
2
x
1 n x 的展开式中第 2 项与第 3 项的项式系数之比是 2 : 5 ，则 x3 的系数为
）
A．10
B．30
C．45
D．120
4．若曲线
y
3
ln
x
1
在
x
1
处的切线斜率为
a
，则
3x
1 ax2
6
的展开式中的常数项为（
）
A． 4
B．4
C．60
D． 60
考点二 因式之积的特定项系数
1． (2 x)5 (x 1) 的展开式中， x3 的系数是（ ）
A． 32
B． 40
C． 32
D． 40
2． x 2 y x y5 的展开式中 x3 y3 的系数为（ ）
____________.
1． 5555 除以 8 ，所得余数是(
考点五 整除问题 )
A． 7
B． 1
C． 0
D． 1
2．已知 m 0 ，且152020 m 恰能被 14 整除，则 m 的取值可以是（ ）
A． 1
B．1
C．7
D．13
考点六 杨辉三角
1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的 一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列 1，1，1，1，2，1，1，3，3，1， 1，4，6，4，1，…，则此数列的第 2020 项为（ ）
解题（注意直线参数方程只有是标准的参数方程才能用 t 的几何意义，要不会 差一个倍数，弦长|AB|=|t1-t2|，|PA||PB|=|t1t2|（注意 P 点得是你参数方程里前面 的（a，b），只有这样联立后的参数 t 才表示 PA、PB）），这时会简单许多。极坐 标也是，先化成直角坐标再解题，这样就简单了。
第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求 概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数 /所有可能的个数；理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算 K 方值，别算 错数了，会查表，用 1 减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中 各项的意义）即可求出直线方程，注意（x 平均，y 平均）点满足直线方程。理 科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少 了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是 1，不是 1 说明要不你概率 算错了，要不随机变量数少了。 第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时 注意与定义域取交。看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用 导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二 次函数的比较多，讨论开口 a=0、a<0、a>0 和后两种情况下 delt<=0、 delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点 与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的 区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端 点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的 运用。证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、 理科的数学归纳法）。多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结 论。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求 思想证明问题。 第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、 直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。一定检查下第一问算的数对不，要