条件概率的定义_
rf条件随机场为了计算条件概率的估计

rf条件随机场为了计算条件概率的估计(原创实用版)目录1.条件概率的定义与含义2.条件概率的计算方法3.条件随机场的概念与应用4.条件概率在实际生活中的应用案例正文一、条件概率的定义与含义条件概率是指在已知某个事件发生的情况下,另一个事件发生的概率。
在概率论中,我们通常用 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率。
其中,P(A|B) 读作“A 给定 B 的条件概率”。
条件概率是一个十分重要的概念,它在实际生活中的应用非常广泛,例如在医学、统计学、机器学习等领域都有重要的应用。
二、条件概率的计算方法计算条件概率的方法通常有两种:一种是基于概率的公理化定义,另一种是基于条件随机场。
基于概率的公理化定义,我们可以通过以下公式计算条件概率:P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中,P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率,P(B) 表示事件 B 发生的概率。
而基于条件随机场的方法,我们可以通过构建一个条件随机场来计算条件概率。
条件随机场是一个概率模型,它包含了一个随机过程和一个条件概率分布。
通过这个条件随机场,我们可以计算出任意一个事件在给定另一个事件发生的条件下的概率。
三、条件随机场的概念与应用条件随机场是一种用于计算条件概率的数学模型。
在条件随机场中,我们通常考虑两个事件之间的关系,并通过一个随机过程来描述这种关系。
条件随机场的主要应用领域包括机器学习、模式识别、图像处理等。
四、条件概率在实际生活中的应用案例条件概率在实际生活中的应用非常广泛,例如在医学领域,我们可以通过条件概率来预测某种疾病在给定某种症状的情况下的发生概率;在金融领域,我们可以通过条件概率来预测某种投资在给定某种市场情况下的收益率。
条件概率的应用可以帮助我们更好地理解和预测事件之间的关系,从而做出更准确的决策。
综上所述,条件概率是一个非常重要的概率概念,它在实际生活中的应用非常广泛。
条件概率定义

条件概率定义
unit3
条件概率是指已知一个事件发生的条件下,另一个事件发生的概率。
它的计算方法是
根据相关试验的结果统计出发生概率最大的事件作为单一结论。
具体来说,条件概率就是
指已知某一事件A发生的前提下,另一事件B发生的概率。
其计算公式是:
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
条件概率可以用于各种事件的测定,如自然现象的研究、药物的效果、社会现象的分
析等。
它的应用可以在改善食品质量,改善治疗药物的疗效,提高社会安全性等方面得到
雄厚的贡献。
例如,人们可以分析一次精神分裂所犯罪行的发生概率,以及和某种心理障
碍有关的犯罪行为出现的概率等。
此外,条件概率还可以应用于提高决策效果,它来源于统计学相关概念,可以通过对
不确定事件发生概率进行统计,确定最佳的选择。
例如,假如我们可以采取的决策中,以
犯罪为条件考虑,那么我们就可以通过分析犯罪发生的概率,判断最佳方案,从而提高决
策效率。
条件概率也广泛用于财务分析中,它可以帮助金融机构分析财务风险,提高风险评估
的准确度,预测企业的盈利能力,以及确定它们的行为是否正确、合理以及可行等。
此外,条件概率还可以用于企业的投资决策。
通过它,可以根据过去的不同时期的资产表现,对
未来的投资进行估值,并有效限制投资风险,实现长期的财务收益。
概率论与数理统计第一章第四节:条件概率

1. 条件概率的定义
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外,有时还要考虑在“事件A已经发生” 的条件下,事件B发生的概率。
通常记事件A发生的条件下, 事件B发生的 概率为 P(B|A)。
一般情况下, P(B|A) ≠P(B) 。
Ch1-2
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
P(A, P(B, P(AB),P(B|A)
解
甲车间产品数
乙车间产品数
总
数
合格品数 54 32 86
次品数 6 8 14
总数 60 40 100
P(A) 86 0.86 P(B) 60 0.6 P(AB) 54 0.54
100
100
100
而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生 的概率(即甲车间生产的合格品率),由于甲车间 产品有60件,而其中合格品有54件,所以
8 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形,就
得到在概率计算中常用的全概率公式。
全概率公式
设A1, A2,…, An是两两互斥的事件,且 P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, …, An 之一同时发生,则
n
P(B) P( Ai )P(B|Ai ) i 1
P(Ai | B)
P(Ai )P(B|Ai )
n
,
P(Aj )P(B|Aj )
j 1
i 1, 2,, n .
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导 致B发生的每个原因的概率。
B AB AB
P(AB) P(A) P(B | A) P( AB) P( A) P(B | A)
条件概率、乘法公式、全概率公式

• 条件概率的定义与性质 • 乘法公式及其应用 • 全概率公式及其应用 • 条件概率、乘法公式、全概率公式的
联系与区别 • 案例分析
01
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生的情况下,另一事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B),读作“在B 的条件下A的概率”。
总结词
应用乘法公式
详细描述
天气预报中经常使用概率模型来预测未来天 气情况。例如,预测明天下雨的概率是70%, 那么应用乘法公式可以计算出在明天下雨的 条件下,明天是阴天的概率是30%。
案例三:保险业务中的风险评估
总结词
利用全概率公式
详细描述
在保险业务中,全概率公式用于评估风险。例如,一辆 汽车在一年内发生事故的概率是0.01,那么可以根据全 概率公式计算出在1000辆汽车中,预计有10辆汽车会 发生事故。
条件概率的定义公式为:P(A|B) = P(A∩B) / P(B),其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率,P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
01
P(A|B) ≥ 0,即条件概率不能是负数。
归一性
02
P(A|B) = 1 - P(¬A|B),即条件概率满足归一化条件,其中¬A
05
案例分析
案例一:赌博游戏中的概率计算
总结词
理解条件概率
VS
详细描述
在赌博游戏中,条件概率是一个重要的概 念。例如,在掷骰子游戏中,如果已知前 一个骰子的点数,那么下一个骰子的点数 与此无关。这可以通过条件概率公式来描 述,即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
案例二:天气预报的概率模型
《条件概率》课件

两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析:第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$,第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$,因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为条件概率,记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下,事件A发生的概率,这可以表示 为在事件B发生的条件下,事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时,另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法,通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值,选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中,常常需要计算不同类别下的条件概率,以设计最优的分类器。例如, 在朴素贝叶斯分类器中,通过计算不同特征在不同类别下的条件概率,实现分类器的设
1.4条件概率

P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格, 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
解
思考2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(A1|B)= 0.00786
即使你检出阳性,尚可不必过早下结论 你有癌症,这种可能性只有0.786% (平均来 说,1000个人中大约只有8人确患癌症),此 时医生常要通过再试验来确认.
例 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品
用乘法公式容易求出 P(A1A2A3A4) b个白球, r个红球
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
当 c>0 时,由于每次取出球后会增加下一次也 取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发 现一个传染病患者,都会增加再传染的概率.进一 步,当 c=0 时,放回抽样;当 c=-1 时,不放回抽 样。
第四节 条件概率
一、条件概率的定义及性质
设A,B是两事件,且P(A)>0,称
P AB P ( B | A) P A
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 .
1.条件概率P(•|A)满足概率定义的三条公理,即 1) 对于每一事件B,有P(B|A)≥0; 2) P( |A)=1 3) 设B1,B2,…两两不相容,则有
全概率公式:
条件概率

§1.4 条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容,主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。
一、条件概率的定义条件概率要涉及两个事件A 与B ,在事件B 已经发生的条件下,事件A 再发生的概率称为条件概率,记为P (A |B )。
它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。
例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水,每个浴场要安装一个阀门,这25个阀门购自两家生产厂,其中部分还是有缺陷的,具体情况如下:A :“选出的阀门来自厂1”,B :“选出的阀门有缺陷” 则P (A )=15/25,P (B )=7/25,P (AB )=5/25。
那么P (A |B )=5/7=57/2525=()()P AB P B ; P (B |A )=5/15=1/3=515/2525=()()P AB P A 。
解释:按厂家和有无缺陷做树状图,很容易求得P (B |A )和P (A |B )。
例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭,其样本空间是{,,,}bb bg gb gg Ω=,其中b 代表男孩,g 代表女孩,bg 代表大的是男孩小的是女孩,依次类推……。
讨论:A =“家中至少有一个女孩”, B =“家中至少有一个男孩” 计算:(),()P A P B(|),(|)P A B P B A定义1.4.1 设A ,B 是样本空间Ω中的两事件,若()0P B >,则称()(|)()P AB P A B P B = 为“在B 发生下A 的条件概率”,简称条件概率。
例1.4.2 设某样本空间Ω含有25个等可能的样本点,事件A 含有15个样本点,事件B 含有7个样本点,交事件AB 含有5个样本点计算:(),()P A P B ,()P AB(|),(|)P A B P B A概率的有关性质对条件概率是否成立? 如:(|)1(|)P A B P A B =-当12,A A 互不相容时,1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 实际上都是成立的。
《条件概率》课件

在机器学习中的应用
01
分类器设例如,朴素贝
叶斯分类器就是基于条件概率的分类器之一,它可以根据已知特征的概
率分布来预测未知样本的类别。
02
聚类分析
在聚类分析中,条件概率可以帮助我们确定不同数据点之间的相似性或
差异性。例如,基于密度的聚类算法可以利用条件概率密度函数来评估
数据点之间的相似性或差异性。
03
强化学习
在强化学习中,条件概率可以帮助我们确定在不同状态下采取不同行动
的概率。例如,Q-learning算法可以利用条件概率来评估在不同状态下
采取不同行动的期望回报。
04 条件概率的实例分析
抛硬币实验的条件概率分析
总结词:直观理解
详细描述:通过抛硬币实验,理解条件概率的概念。假设硬币是均匀的,那么正 面朝上的概率是0.5。在硬币已经连续出现几次正面朝上的情况下,下一次抛掷 仍然是正面朝上的概率仍然是0.5,即条件概率不变。
全概率公式与贝叶斯公式
总结词
全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的 两个重要公式,全概率公式用于计算一 个事件的概率,而贝叶斯公式则用于更 新一个事件的概率。
VS
详细描述
全概率公式将一个事件的概率分解为若干 个互斥事件的概率之和,而贝叶斯公式则 是在已知先验概率和新信息的情况下,更 新一个事件的概率。这两个公式在统计学 、机器学习和数据分析等领域有着广泛的 应用。
B
题目2答案与解析
出现一个正面和一个反面的概率为0.75。解 析:出现一个正面和一个反面意味着出现 HH、HT、TH、TT四种情况中的三种,其
D
概率为C(2,1) / C(2,2) * C(2,1) / C(2,2) =
3/4。
条件概率

Probabilit
条件概率的性质
Probabilit
例 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25 岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.
解 :设A表示“活到20岁以上”的事件,B表示“活
Probabilit
到25
P(A)=0.7,P(B)=0.56,且B A.
P( A | B)
4 P( AB) 10
Probabilit
4 5
4 4 10 P( AB) P( A | B) 5 5 P( B) 10
B
AB A
条件概率的定义
定义1.4.1 设(Ω,F ,P)为一概率空间, A∈ F ,B∈ F ,且P(B)>0,在“已 知事件B 已经发生”的条件下,“事件 A 发生”的条件概率P(A|B)定义为:
Probabilit
Probabilit
4、 根据以往的临床记录,某种诊断癌 症的试验具有如下的效果:若以A表示事 件“试验反应为阳性”,以C表示事件” 被诊断者患有癌症”,则有P(A|C) =0.95,P( A | C ) 0.95 .现在对自然人群 进行普查,设被试验的人患有癌症的概率 为0.005。即P(C)=0.005。试求P(C|A)
Probabilit
Probabilit
4
四、贝叶斯公式
全概率公式的逆问题 设在进行随机试验中该事件B已发生,问 在这条件下,各原因发生的条件概率是多 少?
Probabilit
A1 A2
A3
B A4 A7
A5 A6 A8
四、贝叶斯公式
Probabilit
高二数学条件概率知识点总结

高二数学条件概率知识点总结概率论作为数学的一个重要分支,是研究随机事件发生的规律性的一门学科。
而条件概率则是概率论中的一个重要概念,它描述了在已知某一事件发生的条件下,其他事件发生的概率。
在高二数学学习中,我们不可避免地会接触到条件概率的知识。
本文将对高二数学中条件概率的相关知识点进行总结。
1. 定义与公式条件概率是指在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率,记作P(A|B)。
其计算公式如下:P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中,P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率,P(B)表示事件B发生的概率。
2. 条件概率的性质(1) 非零性:当事件B发生的概率P(B)不为零时,条件概率P(A|B)也不为零。
(2) 正规性:对于一个样本空间Ω中的任意一个事件A,有P(A|Ω) = P(A)。
(3) 对偶性:事件A在已知事件B发生的条件下的概率,与事件B在已知事件A发生的条件下的概率是相同的,即P(A|B) =P(B|A)。
(4) 加法定理:对于两个事件A、B,有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
3. 独立事件与互斥事件(1) 独立事件:如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = P(A) × P(B),则称事件A与事件B是相互独立的。
当事件A与事件B 相互独立时,有P(A|B) = P(A),即事件B的出现并不影响事件A 的概率。
(2) 互斥事件:如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = 0,则称事件A与事件B是互斥的。
互斥事件发生的条件下,事件A 和事件B不能同时发生。
4. 贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理,它用于利用已知的条件概率来计算逆条件概率。
贝叶斯定理的表达式如下:P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)其中,P(A)为先验概率,即在没有任何其他信息的情况下,事件A发生的概率;P(A|B)为后验概率,即在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率。
名词解释-条件概率:

名词解释-条件概率:
条件概率是概率论中的一个重要概念,它不单独表示一种事件发生的概率,而是一种与前一个发生的事件有关的概率。
因此,它被称为"条件概率"。
在定义上来讲,条件概率是事件A在事件B发生的条件下发生的概率,即P (A|B)。
这里A和B是事件,P(A|B)表示在B已经发生的条件之下,A发生的概率。
它比普通的概率更加精细,应用场景也更加广泛。
它不仅可以表示单一事件的发生概率,而且可以表示多个事件对自身发生可能性的影响。
条件概率的概念可以用于多种行业实际的应用,特别是在投资、保险、预测、统计和决策等领域。
例如,投资者可以根据股市的走势和市场波动等因素,分析股票的条件概率,作出最佳的买入和卖出决策;保险公司根据历史赔偿统计数据,计算未来不同的风险的条件概率,制定出恰当的赔偿方案等等。
条件概率是概率论中最常用的一种概念,它既可以表示单一事件发生的概率,又可以表示多个事件发生的概率及其之间的关系。
它能够更精细地测量不同行业内因素之间的关系,从而为业务决策提供更加科学而有效的分析支持,为公司节省更多财力,实现经济效益的最优化。
条件概率

§ 1.4 条件概率一、条件概率条件概率的直观定义:设有事件A ,B ,P (A )>0,在事件A 发生的条件下,B 发生的概率称为条件概率。
记为P (B|A )条件概率的性质i i j i i i 1i 11P(|A)12P(|)13i=12,i j,P(|)P(|)B S A B B A B A φ∞∞==≤≤=≠=∑() 非负性:0;() 规范性: =;() 可列可加性;若B ,,,....,且B 则有;以上是三条基本性质,象前面一般概率一样也可推出以下性质:(1)P(|)0A φ=i i j nn i i i 1i 1i=12,i j,P(|)P(|)B B A B A φ===≠=∑(2)有限可加性;若B ,,,....,且B 则有;(3)P(|A)1P(|)()B B A =-重要公式(4)A B P{(B-A)|C}P(B|C)P(A|C)⊂=-(减法公式)若,则(5)P{(A+B)|C}P(A|C)P(B|C)P(AB|C)=+-(一般加法公式)n ni i i j i=1i 11i j n n 1i j k 12n 1i j k n (6)(P(A |B)P(A |B)P(A A |B)P(A A A |B)...........(1)P(A A .......A |B)=≤<≤-≤<<≤=-+-+-∑∑∑∑多除少补原理)二、 乘法公式将条件概率公式 P (A B )P (A |B )P (B )= 改写 P(AB)P(B)P(A|B)=称为乘法公式 利用结合律推出多个事件的乘法公式:三个事件积的乘法公式 123P (A A A )12312P (A A )P (A |A A )= 312=P()P()P(A |A A )121AA|An 个事件积的乘法公式123n 1213123123n 123n-1P(A A A .........A )(A )(A |A )(A |A A )(A |A A A )......(A |A A A .........A )P P P P P =⋅三、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。
条件概率(公开课)课件

在决策理论中的应用
决策树
决策树是一种表示决策过 程的方法,其中条件概率 用于计算每个决策节点的 收益和损失。
贝叶斯决策理论
贝叶斯决策理论利用条件 概率来计算期望值和风险, 从而选择最优的决策。
强化学习
强化学习中,条件概率用 于描述状态转移和奖励函 数,帮助智能体在环境中 做出最优决策。
在机器学习中的应用
条件概率(公开课)课 件
目录
• 条件概率的定义与性质 • 条件概率的计算 • 条件概率的应用 • 条件概率的扩展 • 条件概率的注意事项
01
条件概率的定义与性质
定义
条件概率的定义
在某个事件B已经发生的情况下,另 一个事件A发生的概率,记作P(A|B) 。
条件概率的数学表达式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B),其中P(A∩B) 表示事件A和事件B同时发生的概率, P(B)表示事件B发生的概率。
01
分类器
分类器利用条件概率来计算给定输入属于某个类别的概率,常用的分类
器有朴素贝叶斯分类器和逻辑回归分类器。
02
聚类分析
聚类分析中,条件概率可以用于相似性度量和距离计算,常用的聚类算
法有K-means和层次聚类。
03
自然语言处理
在自然语言处理中,条件概率被广泛用于词向量表示、语言模型、情感
分析等任务中,例如使用循环神经网络(RNN)或长短期记忆网络
在实际应用中,有时候很难获取到足 够的数据来进行准确的条件概率计算。
THANKS
感谢观看
如果两个事件是独立的,那么它们的 条件概率等于它们各自的概率。
如果两个事件不是独立的,那么它们 的条件概率会受到其他事件的影响, 不能简单地使用各自的概率来计算。
条件概率(公开课)课件

P(A|B) = P(A∩B) / P(B),其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率,P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
条件概率P(A|B)是非负 的,即P(A|B) ≥ 0。
归一性
在给定事件B发生的条 件下,事件A发生的概 率加上事件A不发生的 概率等于1,即P(A|B) + P(¬A|B) = 1。
总结词
应用场景
在使用全概率公式时,需要确保每个构成事件的概率 之和为1,即Σ P(Bi) = 1。
注意事项
全概率公式广泛应用于各种领域,如天气预报、市场 调查、交通规划等,用于分析多个因素对结果的影响 。
贝叶斯公式
总结词
贝叶斯公式用于在已知先验概率和条件概率的情 况下,计算后验概率。
应用场景
贝叶斯公式广泛应用于各个领域,如自然语言处 理、机器学习、统计学等,用于更新和调整事件 的概率估计。
01
深度学习是一种机器学习技 术,通过构建多层神经网络 来学习复杂数据的内在规律 和表示。条件概率在深度学 习中用于描述不同层之间的 连接关系和数据特征的依赖 性。
02
在深度神经网络中,条件概 率通常用于定义前一层的输 出作为下一层输入的条件。 这种条件概率关系使得网络 能够学习数据特征之间的依 赖性和层次结构。
注意事项
使用乘法规则时需要注意确保分母不为零,即事件B发生 的概率不能为零。
全概率公式
全概率公式用于计算复杂事件发生的概率,通过将其 分解为若干个简单事件的概率之和。
输入 标题
详细描述
全概率公式是将一个复杂事件A的概率表示为其构成 事件的概率之和,即P(A) = Σ P(Bi) * P(A | Bi),其中 Bi是构成事件A的各个基本事件。
条件概率与事件的独立性

有可能结果构成的集合就是B,
B中共有3个元素, 它们的出现是等 可能的, 其中只有 1个在集A中,
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B)116 P(AB) 3 36 P(B)
又如,10件产品中有7件正品,3件次品, 7件正品中有3件一等品,4件二等品. 现从这 10件中任取一件,记
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
由乘法公式
因为若第2个人抽到
了入场券,第1个人
P (A 2)P (A 1 )P (A 2|A 1 ) 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券,必须第1 个人未抽到,
计算得: P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理,第3个人要抽到“入场券”,必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
下面四个结论中,正确的是:
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
容易证明,若两事件A、B独立,则
A与 B,A与 B,A与 B也相互独立.
证明: 仅证A与 B 独立 概率的性质 P(AB )= P(A-A B)
A、B独立
= P(A)-P(AB)= P(A)-P(A) P(B)
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}, j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球,第 一、第二个是白球,第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
概率论 第四节条件概率 全概率公式

乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分,别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息(知道B发生),人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80,三家产品数所占比例为2:3:5,混 合在一起。
(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率; (2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、
我们也称A ,B,C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的,则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色,如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件,由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的,则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见,虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小,但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大,这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
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知识点名称:条件概率的定义 主讲人:杨宇明
一. 条件概率
例: 抛掷两个均匀的骰子,已知其点数和大于7, 求掷出点数和11的概率。
已知事件B发生的条件下,事件A发生的可能 性的客观度量称为条件概率,记为P(A|B)。
例1 某种产品100件,其中有5件是不合格品,而 5件不合格品中又有3件是次品,2件是废品,现 任意在100件产品中抽取一件,已知抽到的是不 合格品,求:它是废品的概率.
由于 AB=B,P(A)=0.2,P(AB)=P(B)=0.15
所以 P(B | A) P( AB) 0.15 0.75 P( A) 0.2
P(B | A) CC73C133120 39
计算是把A当成样本空间来算的。
例3 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在20年 内发生特大洪水的概率为80%,在30年内发生特大洪 水的概率为85%,该地区现己无特大洪水20年了,在 未来10年内也不会发生特大洪水的概率是多少?
解: 令A={该地区从某次特大洪水发生后20年内无特 大洪水}, B={该地区从某次特大洪水发生后30年内 无特大洪水),则所求的概率为P(B|A)
P Ai B P Ai B
i1
i1
条件概率也是概率,概率的其它性质也满足 例:
P(B1 B2 | A) P(B1 | A) P(B2 | A) P(B1B2 | A) P(B | A) P(B | A) 1,
注: p( B | A) + p( B | A) 一般不再等于1
注意:
条件概率P(A|B) 与无条件概率 P(A) 之间没有 确定的大小关系。
对条件概率P(A|B)的理解: •Ω 上的条件概率 •Ω1上的概率( Ω1=Ω∩B )
注意:学会判断问题是否涉及条件概率。
例2 四个人打桥牌,记A={东家拿到6张黑桃}, B={西家拿到3张黑桃},问P(B|A) 解:由古典概率
例1 某种产品100件,其中有5件是不合格品,而5件 不合格品中又有3件是次品,2件是废品,现任意在 100件产品中抽取一件,已知抽到的是不合格品
求:它是废品的概率.
解:令A ={抽得的是废品} ,B ={抽得的是不合格品}
有
2
P( A | B) 2 100 P( AB)
5
5 100
P(B)
B AB
A
m1 m2 n
定义:设A,B是随机试验E的两个随机事件,
且P(B) >0,称 P ( A B) P( AB)
P(B)
为在事件B 发生的条件下,事件A发生的条件概率。
条件概率的性质:
1. (非负性) 对任一事件A, 有0≤P(A|B)≤1;
2. ( 规范性) P( |B )=1;
3. (可列可加性) 设事件列A1, A2 ,…互不相容,则