线性二次型最优控制

一、主动控制简介
概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。

特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。

优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。

但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。

组成：传感器、控制器、作动器
工作方式：开环、闭环、开闭环。

二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用
1.主动变刚度A VS控制装置
工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。

锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；
打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。

示意图如下：
2. 主动变阻尼A VD控制装置
工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。

关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；
打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。

示意图如下：
3．振动实例 已知多自由度有阻尼线性结构的参数：276200027600002300M kg ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，54.406 1.92101.921 3.443 1.52210/0 1.522 1.522K N m -⎡⎤⎢⎥=--⨯⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，阻尼矩阵采用瑞利阻尼C M K αβ=+，,αβ根据前两阶自振频率及阻尼比确定，阻尼比取0.05，该多自由度结构（参数同上）所受地震波数据见dzb.xls 文件，文件第一列为时间，单位s ，文件第2列为加速度，单位m/s 2。

3.1变刚度
对比了刚度分别为K 、10*K 以及0.1*K 时M1的响应时程曲线以及最大位移。

MATLAB 程序如下：
clear
clc
M=diag([2762 2760 2300]); %质量矩阵
K=100000*[4.406 -1.921 0;-1.921 3.443 -1.522;0 -1.522 1.522];
kk={K,10.*K,0.1.*K} %细胞矩阵-变刚度 W=[4.1041;10.4906;14.9514]; %各阶频率
zuni=0.05
area=2*W(1)*W(2)*zuni/(W(1)+W(2));byta=2*zuni/(W(1)+W(2));
C=area*M+byta*K; %阻尼矩阵
num=xlsread('dzb.xls',1,'B1:B1501');P=M*ones(3,1)*num'; %读入外荷载
*********中心差分法**********
h=0.02; %步长
para=[1/h^2,1/(2*h),2/h^2,h^2/2]; %参数向量
Kx=para(1)*M+C*para(2); %x(i+1)前系数
x(:,1)=zeros(3,1); %初位移
v(:,1)=zeros(3,1); %初速度
a(:,1)=-0.00082*num(1)*ones(3,1); %初加速度
for j=1:3
for i=1:1:1501
%差分迭代第一步 if i<2;
x0=x(:,1)-h*v(:,1)+h^2/2*a(:,1);
Px(:,i)=P(:,i)-(kk{j}-para(3)*M)*x(:,i)-(para(1)*M-para(2)*C)*x0;
x(:,i+1)=inv(Kx)*Px(:,i);
a(:,i+1)=para(1)*(x0-2*x(:,i)+x(:,i+1)); %加速度响应
v(:,1)=para(2)*(x(:,i+1)-x0); %速度响应else %差分迭代Px(:,i)=P(:,i)-(kk{j}-para(3)*M)*x(:,i)-(para(1)*M-para(2)*C)*x(:,i-1);
x(:,i+1)=inv(Kx)*Px(:,i);
a(:,i+1)=para(1)*(x(:,i-1)-2*x(:,i)+x(:,i+1)); %加速度响应
v(:,i)=para(2)*(x(:,i+1)-x(:,i-1)); %速度响应end
end
*************中心差分法*************
X=x(:,1:1501);
Y=max(abs(X),[],2);
Z(j)=max(Y);
save X %保存位移相应subplot(3,1,j) %画图
plot(X(1,:))
xlabel('时间t/0.02s')
ylabel('位移X1/m');
end
运行结果如下：
最大位移分别为：0.0085ｍ0.0045ｍ0.0100ｍ
３.２变阻尼
依旧使用上述系统，对比无阻尼，阻尼为C和0.5C三种情况下Ｍ１的响应时程曲线和最大位移。

MATLAB程序：
clear
clc
M=diag([2762 2760 2300]); %质量矩阵
K=100000*[4.406 -1.921 0;-1.921 3.443 -1.522;0 -1.522 1.522]; %刚度矩阵
W=[4.1041;10.4906;14.9514]; %各阶频率
zuni=0.05
area=2*W(1)*W(2)*zuni/(W(1)+W(2));byta=2*zuni/(W(1)+W(2));
C=area*M+byta*K;
cc={0*C,C,0.5*C}; %变阻尼
num=xlsread('dzb.xls',1,'B1:B1501');P=M*ones(3,1)*num'; %读入外荷载
**************中心差分法************
h=0.02; %步长
para=[1/h^2,1/(2*h),2/h^2,h^2/2]; %参数向量
Kx=para(1)*M+C*para(2); %x(i+1)前系数
x(:,1)=zeros(3,1); %初位移
v(:,1)=zeros(3,1); %初速度
a(:,1)=-0.00082*num(1)*ones(3,1); %初加速度
for j=1:3
for i=1:1:1501 %差分迭代第一步if i<2;
x0=x(:,1)-h*v(:,1)+h^2/2*a(:,1);
Px(:,i)=P(:,i)-(K-para(3)*M)*x(:,i)-(para(1)*M-para(2)*cc{j})*x0;
x(:,i+1)=inv(Kx)*Px(:,i);
a(:,i+1)=para(1)*(x0-2*x(:,i)+x(:,i+1)); %加速度响应
v(:,1)=para(2)*(x(:,i+1)-x0); %速度响应else %差分迭代Px(:,i)=P(:,i)-(K-para(3)*M)*x(:,i)-(para(1)*M-para(2)*cc{j})*x(:,i-1);
x(:,i+1)=inv(Kx)*Px(:,i);
a(:,i+1)=para(1)*(x(:,i-1)-2*x(:,i)+x(:,i+1)); %加速度响应
v(:,i)=para(2)*(x(:,i+1)-x(:,i-1)); %速度响应end
end
**************中心差分法******************
X=x(:,1:1501);
Y=max(abs(X),[],2);
Z(j)=max(Y);
save X %保存位移相应subplot(3,1,j) %画图
plot(X(1,:))
xlabel('时间t/0.02s')
ylabel('位移X1/m');
end
运行结果是：
最大位移分别为：0.0115ｍ0.0085ｍ0.0068ｍ
三、主动控制算法简介
主动控制算法是主动控制的基础，它们是根据控制理论建立的。

好的控制理论算法必须在线计算时间短、稳定性及可靠性好、抗干扰能力强。

结构控制算法分为经典控制理论与现代控制理论两类。

１.经典控制理论：
经典控制理论的特点是以输入输出特性（主要是传递函数）为系统数学模型，采用频率响应法和根轨迹法这些图解分析方法，分析系统性能和设计控制装置。

经典控制理论的数学基础是拉普拉斯变换，占主导地位的分析和综合方法是频域方法。

经典控制理论包括线性控制论、采样控制理论、非线性控制理论三个部分。

２.现代控制理论：
现代算法计算主要用时间域,采用状态空间法(State Space Method) 来描述系统的动力性态,其数学工具为线性代数、矩阵理论和变分法。

其主要包括下面一些算法：
（1）经典线性最优控制法
（2）瞬时最优控制法
（3）极点配置法
（4）独立模态空间控制法
（5）随机最优控制法
（6）界限状态控制法
（7）模糊控制法
（8）预测实时控制法
（9）H∞优化控制
（10）变结构控制
３.简要介绍各种算法
最优控制算法
通俗来讲：即对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。

在工程上，最优控制算法以现代控制理论中的状态空间理论为基础，采用极值原理，使用最优滤波或者动态规划等最优化方法，进一步求解结构振动最优控制输入，在振动主动控制领域应用比较普遍。

当被控对象结构参数模型可以被精确建模，并且激励和测量信号比较确定时，采用最优算法设计控制器可以较容易地取得控制效果。

最优控制法根据具体算法又可分为经典线性最优控制法、瞬时最优控制法、随机最优控制法等等，下面简单介绍：
A经典线性最优控制法
该算法基于现代控制理论,以线性二次型性能指标为目标函数来确定控制力与状态向量之间
的关系式。

目标函数中用权矩阵来协调经济性与安全性之间的关系,需求解Riccati方程。

由于该算法忽略了荷载项,严格说来,由它得到的控制不是最优控制;但数值分析和有限的试验证明,这一控制算法虽然不是最优的,但是可行的和有效的。

B瞬时最优控制算法
该算法以瞬时状态反应和控制力的二次型作为目标函数,在动荷载作用的时间范围内,每一瞬
时都实现其目标函数最小化。

该算法不需求解Riccati方程,计算量减小;增益矩阵与受控结构的协调特性无关,控制系统的鲁棒性能较好;具有时间步进性,可推广用于非线性、时变结构系统。

但该算法只是一种局部最优控制算法,从控制结构最大反应这个意义上讲,仍然不是最优控制。

C随机最优控制法
使随机控制系统的某个性能指标泛函取极小值的控制称为随机最优控制。

由于存在随机因素，这种性能指标泛函需要表示为统计平均（求数学期望）的形式：
随机最优控制有两个重要的性质。

由于存在不确定性，控制作用常宁可取得弱一些，保守一些。

这称为谨慎控制。

另一方面为更好和更快地进行估计，必须不断激发系统中各种运动模式，
为此需要加入一些试探作用。

试探作用的大小，则根据增加的误差、直接费用和所带来的好处等因素加以折衷权衡进行选择。

谨慎和试探已成为设计随机控制策略的两个重要原则。

模态控制法
将系统或结构的振动置于模态空间中考察，无限自由度系统在时间域内的振动通常可以用低阶自由度系统在模态空间内的振动足够近似地描述，这样无限自由度系统的振动控制可转化为在模态空间内少量几个模态的振动控制，亦即控制模态，这种方法称为模态控制法。

其中分为模态耦合控制与独立模态控制，后者可实现对所需控制的模态进行独立的控制，不影响其它未控的模态，具有易设计的优点，是目前模态控制中的主流方法。

前者的各阶模态的控制力依赖于所有被控模态坐标的值，同时也说明一个作动器对所有模态均有控制作用，因此可以达到减少作动器的目的，减小成本。

独立模态空间控制法是基于振动体系振型分解的概念建立的,多个自由度体系的运动方程由正交原理可分解为个独立的对应不同模态的单自由度运动方程,对各模态可分别进行控制设计。

对于求出的模态控制作用通过模态的参与矩阵进行线性变换,由模态控制作用得出结构控制作用。

为了节省时间,控制设计可只针对几个主要振型进行该算法的先决条件是结构必须可控而且可观测。

在实际结构中,由于模态截断引起控制溢出和观测溢出,前者将影响实际系统的性能,而后者可导致残余模态的不稳定;而且该控制法显然仅对线性系统有效。

严格来讲,独立模态控制的必要条件是控制器布满体系的所有自由度,但作为一种近似方法,控制器数目少于体系自由度时,亦可应用此法,只是所截取的振型数目要和控制器的数目相同。

独立模态控制分析过程：
建立控制力下的运动方程：
[]b 为主元杆件的方向余弦矩阵，{}f 为控制力。

令{
}[]{}()X t q ϕ=，可得：
若记：()
1N i is s is s s F g q h q ==-+∑
可得：
计算得出is g 和is h 即可得到i F ，即得到控制力{
}f 。

耦合模态控制分析过程：
将运动方程用状态方程表示：
[]{}[]{}[]{}[]{}()()()M X t C X t K X t b f ++={}[]{}{}[]{}{}
22T i i i i i i i q diag q diag q b f F ξωωϕ⎡⎤⎡⎤++==⎣⎦⎣⎦{}()211
N N is s is i is s s s q h q g q ωδ==+++=∑∑{}[]{}[]{}P A P B f =+
其中：{}[][][]200,,,,2i i i T q I P A B diag D diag q D b ωξωϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===Ω==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-Ω-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
控制性能指标可表示为：
相应的最优控制力为 (){}[][][]{}1T
f t R B G P -=-
其中i G 为下面Ricaati 方程的解
从以上各式可以看出，在采用耦合模态控制时，第i 阶模态控制力的大小依赖于所有被控模态坐标的值，同时一个作动器对所有的模态均有控制作用，因此可以用较少的作动器控制较多的模态。

界限状态控制法
根据结构的安全性、适用性和舒适性要求,预先给定结构反应的限值。

一旦实际结构反应超出限值,则控制系统启动,利用外加控制力减低结构反应,这就是界限状态。

该算法控制目标明确,实施简便,在线计算量小,适用于线性和非线性系统。

界限状态控制法尽管在控制力计算中建立了目标函数,但脉冲控制力的施加在本质上仍是试探性和直接推断的,因此,它不是最优控制法。

自适应控制法
自适应算法是指处理和分析过程中,根据处理数据的数据特征自动调整处理方法、处理顺序、处理参数、边界条件或约束条件,使其与所处理数据的统计分布特征、结构特征相适应,以取得最佳的处理效果。

自适应控制算法不要求结构参数模型严格精确，因此具有更强的适应性。

通常，自适应控制算法需要大量估计参数，与一般常规控制器相比，自适应控制器变得特别复杂。

自适应控制器由参考模型和对象间输出误差反馈等信号的线性组合构成。

若选择一个低阶参考模型，那么，自适应控制器中需要计算的参数就会减少。

这种即类似于模型参考自适应控制（MRAC ）又有简洁的结构和算法，易于工程实现的新型自适应控制算法就是简单自适应控制（SAC ）。

自适应控制大致可分为自适应前馈控制、自校正控制和模型参考自适应控制三大类。

结构振动自校正控制是一种将受控结构参数在线辨识与控制器参数整定相结合的控制方式。

控制时辨识器根据系统的输入输出信息,在线地辩识系统的模型参数或状态,并自动校正控制律。

这样,结构可以根据状态和干扰特性的变化自动校正控制动作,达到输出方差最小的控制目的。

智能控制算法
现代控制理论虽然从理论上解决了系统的可控性、可观测性、稳定性及许多复杂系统的控制问题，但其各种控制方法都是以控制对象精确的数学模型为基础的，而土木工程结构是非线性、强耦合、多变量、不确定性的复杂系统。

土木工程结构包括受力的结构构件和不受力的非结构构件，结构构件设计计算和控制建模时通常不考虑非结构构件的效应，因此，建成后的实际结构非{}[]{}{}[]{}()
T T J P Q P f R f dt =+⎰10T T i i i i i i i i i i G A A G Q G B R B G -++-=
结构构件和质量变化都将影响结构振动控制的计算模型；此外，实际结构在诸如地震那样的强烈动力作用下可能进入非线性，结构构件的强度和刚度可能发生退化，实际结构的模型修正将是结构振动控制一个突出的问题。

因此，研究不依赖精确计算模型、调节简单的模糊控制算法以及具有很强的学习和逼近非线性映射能力的神经网络建模和控制算法是结构振动控制发展的一个热点问题。

智能控制是一门新兴的理论和技术，具有能对复杂系统进行有效的全局控制，并有较强的容错能力，同时具有以知识表示的非数学广义模型和以数学模型表示的混合控制等特点。

智能控制还具备学习功能、适应功能和组织功能。

智能控制的控制器是数学解析形式和知识系统相结合的广义模型。

目前，智能控制的研究主要集中在模糊逻辑控制、神经网络控制、进化计算及三者的相互结合上。

A模糊控制法
模糊控制规则不需要对象的精确数学模型，模糊控制是为了解决其他控制算法需要精确模型，并且精确模型获取后，对扰动有时候鲁棒性差的问题而提出的。

模糊控制是近代控制理论中建立在模糊集合论基础上的一种基于语言规则与模糊推理的控制理论，它是智能控制的一个重要分支。

与传统控制理论相比，模糊控制有两大不可比拟的优点：第一，模糊控制在许多应用中可以有效且便捷的实现人的控制策略和经验，这一优点自从模糊控制诞生以来就一直受到人们密切的关注；第二，模糊控制不需要被控对象的数学模型即可实现较好的控制，这是因为被控对象的动态特性已隐含在模糊控制器输入、输出模糊集及模糊规则中。

所以模糊控制被越来越多的应用于各个领域，尤其是被广泛应用于家电系列中，基于模糊控制的洗衣机就是其中的一个典型实例。

因为模糊控制不需要对系统模型进行精确地计算,直接根据系统的输入输出特性给出控制指令,因此其控
制虽然不是最优的,但是是有效的。

B 神经网络控制法
人工神经网络具有很强的非线性逼近、自学习和自适应、数据融合以及并行分布处理等能力，在多变量、强非线性、大滞后系统的辨识、建模和控制中显示出了明显的优势和应用前景。

大量研究结果表明，神经神经网络可以很好实现对多变量非线性系统模型的辨识与预测，进而实现系统的自适应控制。

在土木工程结构的模糊辨识和控制方面，Masri等人（1992，1994）研究了非线性结构的神经网络辨识与自适应控制；Joghataie等人（1994）、Venini等人（1994）以及Amini等人（1994）在弹性、弹塑性结构的神经网络主动控制等方面做了初步的研究工作。

神经网络具有很强的非线性建模和预测能力，但推理和控制的能力较弱，而模糊控制具有很强的不精确语言表达和推理的能力，能有效地控制难以建立精确模型的系统，两者结合不仅相互弥补了各自的不足，而且可以实现复杂系统模型的定性知识表达和定量数值处理，进而更好地实现系统的控制。

在神经网络控制算法中，利用神经网络学习掌握被控结构的动力性能，当建筑结构遭遇地震时，由神经网络根据所掌握的结构动力性能以及结构的动力反应和结构所受的外部激励之间的关系，对结构控制驱动器输出一个控制信号，由驱动器提供动力对结构振动进行控制，神经网络控制算法的步骤为：首先，训练神经网络根据机构系统已有的反应时程和控制信号预测结构以后的
反应，采用训练好的神经网络模仿器模仿结构反应并评估控制信号与系统反应之间的敏感程度，在模仿的过程的每一小时段均对控制信号加以校正，使控制器产生所需的控制力，其大小是由控制目标决定的；然后，在神经网络模仿器的帮助下训练一个神经网络控制系统来学习结构反应与控制信号和校正后控制信号之间的关系。

这样，经过训练的控制系统可以根据结构已有的反应时程和控制信号的时程，给出一个当前的控制信号，从而对结构振动反应进行有效的控制。

由于神经网络在学习结构动力性能时，自动学习了结构控制系统中时滞等因素的影响，因此，在神经网络控制系统中不存在传统控制系统具有时滞的问题，而且神经网络控制系统也适用于非线性结构系统。

应当指出，采用神经网络对结构反应进行控制时，应注意神经网络结构的确定、神经网络输入变量的选择等问题
四、线性二次型最优控制
1.基本原理
在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），但是具有最小能量的控制方式更具实际意义。

对于
Bu Ax x += Cx y = （4-1）
系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述：
⎰∞+=0d ][t Ru u Qx x J T T （4-2）
Q 是对称正定（半正定）加权矩阵，R 是对称正定加权矩阵，他们反映了设计者对状态x 和控制u 中各分量重要性的关注程度。

第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。

通常状态x 衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q 、R ，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（4-1）和保证一定性能指标（4-2）的前提下，,设计一个控制器u ,使J 最小。

若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（4-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式：
Kx u -= （4-3） 将控制器（7-3）代入系统方程（4-1）可得
x BK A x )(-= （4-4）
若系统是渐近稳定的，矩阵BK A -所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的
Lyapunov 稳定性定理，（4-4）一定存在一个正定对称矩阵P 的二次型Lyapunov 函数
Px x x T =)V(，利用系统的稳定性可得
⎰⎰∞∞⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=00d )(V d d d )(V d d t x t t x t Ru u Qx x J T T
[]{}∞==∞--+-++=⎰t t T T T T t x t x P BK A BK A P x Ru u Qx x 00
)]([V d )()( []000d Px x t x P B K PBK P A PA RK K Q x T T T T T T +--+++=⎰∞
对上式“下划线”部分“+”“-”P B PBR T 1-进行配平方得到
P B PBR P B PBR P B K PBK RK K T T T T T 11---+--
P B PBR P B R K R P B R K T T T T 111)()(------=
可得
[]0001d Px x t x P B PBR P A PA Q x J T T T T +-++=⎰∞-
⎰∞----+011d )()(t x P B R K R P B R K x T T T T （4-5）
求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵K ，是性能指标J 最小化。

由（4-5）只有第三项依赖于矩阵K ，而且是非负的，只有当第三项等于零J 才能最小，当且仅当
P B R K T 1-= （４-6）
K 依赖于正定对称矩阵P ，特别是当可以找到一个P ，满足Riccati 方程
01=+-+-Q P B PBR P A PA T T （４-7） 此时
00Px x J T = （４-8） 闭环系统方程为
x P B BR A x T )(1--= （４-9） 最优状态反馈控制器为 Px B R u T 1--= （４-10）
可以证明，确实有
x P P B BR A P B BR A P x Px x x P x t x T T T T T T ])()([d )dV(11---+-=+=
x
P B PBR P A P B PBR PA x T Q T T T ][1)77(1---=--+-= (利用了P 的对称性)
0][1<+-=-x P B PBR Q x T T (利用了Q 、R 、P 的正定对称性) 这就证明了最优状态反馈控制器（7-10）
Px B R u T 1--=是稳定的。

2.MATLAB 实例
在MATLAB 中，lqr 函数
R)Q,B,lqr(A,]E P,K,[= （４-11）
给出了相应二次型最优控制问题的解。

函数输出变量中的K 是最优反馈增益矩阵，
P 是Riccati 方程（４-7）的对称正定解矩阵，E 是最优闭环系统的极点。

实例：对系统
u x x x x x
x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10092735100010321321 ，设计一个最优状态反馈控制器)()(t Kx t u -=，使系统性能指标⎰∞==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=0123d t u x I x J R Q T 最小（Q 为3阶单位矩阵）。

解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，执行以下m 文件
]9-27-35-1;000;10[A =；
]10;0;[B =；
]1000;100;01[Q =；
[1]R =；
R)Q,B,lqr(A,]E P,K,[=
可得：K =
0.0143 0.1107 0.0676
P =
4.2625 2.4957 0.0143
2.4957 2.8150 0.1107
0.0143 0.1107 0.0676
E =
-5.0958 + 0.0000i
-1.9859 + 1.7110i
-1.9859 - 1.7110i
因此，系统的最优状态反馈控制器为：[]0.01430.11070.0676u x
=-
检验最优闭环系统对初始状态T
x ]001[0=的响应，执行以下m 文件
]9-27-35-1;000;10[A =；
]10;0;[B =；
]0.06760.11070.0143[K =
))3(eye ),3(eye ),3(eye K,*B -A (ss sys =；
8:01.0:0t =
)t ]0;0;1[sys (initial x ，，=
x *]001[1x '=；
x *]010[2x '=；
x *]100[x3'=；
subplot(2,2,1); plot(t,x1);grid
x label(…t(sec)‟);ylabel(…x1‟)
subplot(2,2,2); plot(t,x2);grid
x label(…t(sec)‟);ylabel(…x2‟)
subplot(2,2,3); plot(t,x3);grid
x label(…t(sec)‟);ylabel(…x3‟)
得到如图响应曲线
状态空间就是以状态变量为坐标轴构成的n维空间。

状态方程法讲解：状态方程：X A X B U Y C X D U =+
=+
补充知识：
瞬时最优控制：目标函数和具体求解方式与经典线性最优控制不同
线性二次型高斯问题（LQR）：离散状态方程的两个式子后面都加了噪声，即干扰时求解目标函数
拍现象：频率比在1~2之间时会出现。

泛函：简单的说，泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。

也就是说，它是从函数空间到数域的映射。

参考文献
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