第2章确知信号与随机信号分析基础分解

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第2章确知信号与随机信号分析基础课件

此定理的物理意义是 :时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号，且信号的取值是确定的。
12
例题：试利用对称性求低通滤波器的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质（一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10

现代通信原理PPT课件第2章+随机信号分析

整理ppt
12
1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所有可能的取值和它对应概率乘积的和）-----物理意义平均值
记为： E 、 E 、 E () 、 E [] 、 E [ X ] 等等
离散型： E n x i Pi i 1
式中 x i ——取值
P i ——取值为 x i 的概率
离散随机变量的概率密度函数曲线
整理ppt
9
概率密度函数特点：
A）由于F ( x )是单调不減函数，所以 f (x) 0 B）离散随机变量的概率密度函数为冲激函数，冲激强度为对应取该值的概率，见前页曲线。
C） f(x)d xF ( )F ( ) 1-------面积为l
E xf(x)d x E yf(y)dy
例2 证明
, 独立E ( ) E E
E ()
xyf(x,y)d xd y
因为 ,独立 f( x y ) f ( x ) f ( y )
E ( ) xy f(x)f(y)d x d y
xf(x)dx yf(y)dy
5
整理ppt
6
整理ppt
7
2)概率密度：分布函数的导数称为概率密度函数，记为 f ( x ) 则：f (x) dF(x) dx
概率密度函数曲线 (见P16)
整理ppt
8
f (x)
P 1 ( x x 1 ) P 2 ( x x 2 ) P 3 ( x x 3 ) P 4 ( x x 4 ) P 5 ( x x 5 ) P n ( x x n ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x n x
二维概率密度：
f
(x1,
x2)

信号分析

P lim 1 T
T T

2 T 2
f ( t )dt f ( t )
2 2
确知信号频谱函数
2.3 确知信号的频谱函数
信号的时域波形只能表示信号的电压或电流值在各时间点的大小。用频率-幅度空间对信号进行分析，可得到信号的频谱特性，对应的数学变换称为频谱变换。频谱变换只是对信号从频率的角度进行分析的过程，并没有改变信号的任何参数。对不同信号，频谱分析时采用的函数不一样：周期信号采用付氏级数，非周期信号采用付氏变换，而随机信号则采用信号功率谱进行频谱分析。
周期信号的频谱
傅里叶级数一、周期信号的分解
设有一个周期信号
2 F 2 T
f ( t ) ，它的周期是 T
，角频率
，它可分解为：
f (t )
a0 2
a 1 cos( t ) a 2 cos( 2 t ) ......
b 1 sin( t ) b 2 sin( 2 t ) .....
Fn Fn 1 2 1 2 An e
j n
的关系

1 2
an
2 2
jbn
An
1 2 bn
an
an bn
n arctan
F n 1 2 An e
j n

1 2
an
jbn Fn

an An cos n Fn F n bn An sin n j Fn F n

2
e jTn 1
n 2
e
j
n 2

2 j sin

第2章确知信号分析

{
x1 ( t ) → y1 ( t ) x2 ( t ) → y 2 ( t )
⇒ [ x1 (t ) + x2 (t )] → [ y1 (t ) + y2 (t )]
（一个激励的存在并不影响另一个激励的响应）一个激励的存在并不影响另一个激励的响应）非线性系统：非线性系统：凡是不满足叠加定理的系统
F (ω ) = T0 V n
F (ω )
：谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。
3）矩形脉冲的频谱函数；门函数的频谱函数）矩形脉冲的频谱函数；
τ τ A − <t< 2 2 f (t ) = τ τ 0 t < − , t > 2 2
2）时不变和时变系统）时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化）：
{
y ( t ) = f [ x ( t )] y ( t −t 0 ) = f [ x ( t −t 0 )]; −∞ <t ,t 0 < ∞
时变系统（变参/随参系统）：随参系统）：时变系统（变参随参系统 3）物理可实现和物理不可实现系统）物理可实现系统：物理可实现系统：系统的响应不可能在加上激励以前出现物理不可实现系统：物理不可实现系统：
F (ω) = F [ f (t )]
付氏正变换付氏反变换
f (t ) = F −1 [ F (ω)]
或者记为：或者记为： F (ω) ↔ f (t ) ， f (t ) ↔ F (ω)
2） (ω ) 与 Vn 、 Cn ） F
的关系
1 Vn = T0

第二章随机信号分析

SCUT DT&P Labs
5
2.2 随机过程的一般表述

自相关函数 R (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。 R(t1 , t 2 ) E[x (t1 ) x (t 2 )]

x1 x2 f 2 (x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
自协方差B (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。

Ps () ＝
∞
-∞
R ( ) e -j d
∞

R ( ) ＝ (1/2) -∞ Ps () e j d (逆变换)
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17
课堂练习

例2.4.1 x (t) sin(0 t + )，求x (t)的功率谱密度函数。思路：首先证明x (t) 是平稳随机过程，然后对自相关函数R ( ) 进行傅立叶变换，求得功率谱密度函数Ps () 。其步骤为： 1，求数学期望 E[x (t)] ＝0，自相关函数R (t1, t2) ＝ 0.5 cos0 ，因此数学期望与时间无关，相关函数仅与时间间隔有关，因此x (t) 是平稳随机过程。 2，对R ( ) 进行傅立叶变换，求得Ps ()
P ( ) E[ Ps ( )] lim x E FT ( ) T
2 T
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16

可以证明：平稳随机过程的功率谱密度等于该过程的自相关函数的富里叶变换。
P ( ) R( ) 表示富里叶变换 x

复习：富里叶变换。
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第2章随机信号分析

第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。

噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。

随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。

如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。

也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。

随机过程是所有样本函数的集合。

2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。

每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。

固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。

随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。

信号分析基础

t0
• 当Δt无限趋小而成为dτ时，上式中不连续变量kΔt成了连
续变量τ，对各项求和就成了求积分。于是有
r
t
t
0
s ht d
这种叠加积分称为卷积积分。
频域分析
• 作为时间函数的激励和响应，可通过傅立叶变换将时间变量变换为频率变量去进行分析，这种利用信号频率特性的方法称为频域分析法。频域是最常用的一种变换域。
③两信号错开一个时间间隔0处相关程度有可能最高，它反映两信号x(t)、y（t) 之间主传输通道的滞后时间。
五、相关分析应用
1、影像相关原理
影像相关是利用互相关函数，评价两块影像的相似性以确定同名点。
示意图
目标区
同名点
互相关函数
搜索区
相似程度
影像匹配---同名点寻找
2、电子相关
个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时
间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的
函数值。 lim f (t ) lim f (t )
• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
周期信号的频域分析方法
• 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成分的正弦波之和。
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
R( ) lim 1
T
x(t)x(t )dt
T 2T T
lim 1
T
x(t )x(t)dt
T 2T T
lim
T
1 2T
T T
x(t)x(t )dt
lim 1
T
x(t)x(t )dt R( )

确知信号分析基础精编版

jn1
2
2A
n1T
sin n1
2
A
T
sin n1
2
n1
A
T
Sa n1
2
2
清华大学出版社第2章信号分析础式中 Sa(x) sin x / x 称为抽样函数。由此得周期矩形信号f (t) 的傅里叶级数指数形式为
f
(t)
A
T
n
Sa
n1
2
e jn1t
据此画出 Fn 的双边频谱，如图2.9(b)所示。显然，频谱的包络分布服从抽样函数分布规律，幅度呈
清华大学出版社
第2章信号分析基础
幅度
图2.1 波形的二维描述
时间
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第2章信号分析基础
图2.2 波形的三维描述清华大学出版社
第2章信号分析基础
2．时限信号和非时限信号信号一般都是独立时间变量的函数，按信号的持续时间划分，可将其分为时限信号和非时限信号。时限信号只在一定的时间范围内存在，而非时限信号则不受时间限制，可在整个时间轴上一直存在，分别如图2.3和图2.4所示。
4．周期信号和非周期信号按信号是否具有重复性，将信号划分为周期信号和非周期信号。一个连续信号 f (t) ，若对所有 t 均有
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第2章信号分析基础
f t f t nT ,n 0,1,2,...
则称 f (t)为连续周期信号，如图2.7所示。满足上式的最小T值称为f (t)的周期。周期信号也可以表示为
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第2章信号分析基础
5．能量信号和功率信号按信号的能量特性划分，将信号分为能量信号和功率信号。若将信号f (t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生的瞬时功率为 f (t) ，2 在一定的时间区间内会消耗一定的能量。把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率。对时间区间取极限，则信号 f (t)的能量E和功率P 定义为

第2章随机信号分解

所以，t＝1时刻， X(t)等于A ，可能值为 0与1 ，
X t A 0 0.9 1 0.1 0.1
P A 0 0.9 P A 1 0.1
所以在t＝1时刻，随机变量X(t,s)即A最有可能出现值为0 。
随机信号分析 2
第2章随机信号

本章讨论： 1）随机信号的定义、基本概念； 2）几个典型的信号及其分析方法； 3）随机信号一般特性与描述方式； 4）高斯信号与独立信号
随机信号分析
3
第2章随机信号
2.1 定义与基本特性 2.2 典型信号举例 2.3 一般特性与基本运算 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.5 独立信号
随机信号分析 7
2.1 定义与基本特性
例2.3 医院登记新生儿性别。男婴＝1，女婴＝0。结果：10011010…，或001010110… 它是随机序列： X n ( ), n 1,2,... 是“随机变量串”。
随机信号分析
8
2.1.1 概念与定义

定义2.1 对随机实验样本空间上每个，定义函数 X (t , ) ，则确定了一个具有一定统计特性的随机函数，称为随机过程（Stochastic or random process），或随机信号(Random signal)。
随机信号分析
16
例题2续

解（1） X 5 A cos 200 5 A
F x;5 P A x
FA x 0.1u x 1 0.9u x
X (t , s )
X 2 t 0
t 5s
t
t 0.0025s
随机信号分析

第2-1章：确知信号分析：信号

二、信号的描述和典型示例
由泰勒级数展开 3 5 7 2 4 6 cos 1 sin 2 4 6 3 5 7 j 同样若 e 展开，可得到 2 3 4 j j j j e j 1 1! 2! 3! 4! 2 4 6 3 5 7 1 j 2 4 6 3 5 7
sin t t sin 8t t
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint t sin8t t
sin t sin 8t
sint sin8t
t
t
三、信号的运算
2、平移：
f (t ) f (t t0 )
前（左）移或后（右）移，f(t)变成f(t+t0)， t0 >0时，左移； t0 <0时，右移。
n
二、信号的描述和典型示例
设复数 A Ke A
j
则A为复常数；
设f ( t ) Ae jt A e j (t )
复常数乘以ejwt,则成为复指数函数，可以描述一个点在复平面上的圆周运动。取该函数的实部，得cos函数，取虚部得sin函数；通过复指数函数进行电路分析，可以简便计算。而且计算结果也比较直观， |A|代表相应实函数的振幅，θ代表相应实函数的初相角。对共轭的两个复指数函数加减运算，可得cos和sin函数。
sin t t d t π

二、信号的描述和典型示例
7、复指数信号表达式：
f (t ) Kest
其中：
s j
借助欧拉公式，可以展开如下：
Ke st Ke ( j ) Ket cost jKet sin t

第二章 (4)教材配套课件

3．时移特性
若 f (t) F单(j击) ，此则处编辑f (t母 t版0 ) 文本F(样j)式e jt0
(2-11)
第物二理级意义：时域中的时移，在频域中反映为在原频谱函
数F(jω第)三基级础上附加一个相移函数 e jt0 。
4．频第移四特级性
若 f (t) F(j) ，则第五级 f (t) e j0t F[j( 0 )]
由欧拉公式，第得五e级jct e jct 2 cosct ，因此
f
(tt [e jct ejct ]
2 A0
Sa 0t cos ct
第1章西绪安电子科论技大学出版社
XIDIAN UNIVERSITY PRESS
5．调制定理
第1章西绪安电子科论技大学出版社
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第2章确知信号与随机信号分析
单击此处编辑母版文本样式第二级2.1 确知信号分析
第三2.级2 随机信号分析 2第.3四级确定性信号与随机信号通过线性系统 2.4 第五窄级带随机过程概述
2.5 余弦波加窄带高斯随机过程
随机信第号四：级当给定一个时间值时，取值不确定，只知其取某
一数值的概率的信号。
第五级
2．周期信号与非周期信号
若满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期；若不满足
上述关系，则称为非周期信号。
第1章西绪安电子科论技大学出版社
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3．能量信号与功率信号
第五E 级

f
2 (t) d
t

S
lim
1

第二章-信号分析与信息论基础

设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1 上，ξ(t1)是一个随机变量。显然，这个随机变量的统计特性，可以用概率分布函数或概率密度函数去描述。
4、随机过程的数字特征随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、
方差及相关函数等。 1）数学期望
随机过程ξ(t)的数学期望被定义为
可把t1直接写成t。随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。
2.1 确知信号分析
信号是通过电的某一物理量（如电压或电流）表示出的与时间t之间的函数关系。确知信号：能用函数表达式准确表示出来的信号。它与时间的关系是确知的。随机信号：与上述相反。
通信中传输的信号及噪声都是随机信号。
2.1.1 周期信号与非周期信号周期信号：满足条件 s(t)=s(t+T0) -∞＜t＜∞，T0＞0 非周期信号：不满足上述条件。功率信号：信号在（0，T）内的平均功率S(式2-2)值为一定值。能量信号：当T→ ∞时，式(2-3)是绝对可积的。
解： Γ[COS ω0 t]= π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] 冲激强度为π，根据卷积定理：
Γ[f(t)COS ω0 t] =（1/2 π)F(ω)* {π[δ(ω- ω0)+ δ(ω+ω0)] }
=(1/2) [F(ω- ω0)+ F(ω+ω0)]
2.1.3 信号通过线性系统
线性系统：输出信号与输入信号满足线性关系（允许
说，如果对于任意的n和τ，随机过程ξ(t)的n维概率
密度函数满足：
则称ξ(t)是平稳随机过程。
6、广义平稳过程广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随

第02章随机信号分析 67页 1.4M PPT版

主要内容
第二章随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通信系统中的信号通常具有某种随机性.他们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布（分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数

随机信号分析基础

1
x 2 (t )
0
t1
x 2 (t1 )
τ
x n (t ) x n (t1 )
x n (τ )
0
t1
τ
t
图 2.2.2 随机信号的 N 次记录接下来考虑随机信号精确的数学描述。如图 2.2.2 ，对一个信号进行了 N 次记录 ( N 次试验 )，得到 N 个随时间变化的函数 (即每次记录都是时间的函数 )，记为
第二章随机信号分析基础 ........................................................................................... 25 § 2. 1 概述 ............................................................................................................. 25 § 2. 2 随机信号的概率结构 ................................................................................... 28 § 2. 2. 1 概率论基本概念 ............................................................................... 29 § 2. 2. 2 随机信号有限维概率密度及数字特征 ............................................. 32 § 2. 3 随机信号的平稳性 ...................................................................................... 34 § 2. 4 离散随机信号和复随机信号 ....................................................................... 37 § 2. 4. 1 离散时间随机信号及其数字特征 .................................................... 37 § 2. 4. 2 复随机信号 ...................................................................................... 39 § 2. 5 随机信号的遍历性 ...................................................................................... 40 § 2. 5. 1 总集意义上的数字特征与时间意义上的数字特征 .......................... 40 § 2. 5. 2 平稳随机信号的遍历性 .................................................................. 41 § 2. 6 平稳随机信号的功率谱密度 ....................................................................... 43 § 2. 6. 1 维纳 — 辛钦定理 ............................................................................... 44 § 2. 6. 2 功率谱密度的性质 ........................................................................... 45 § 2. 6. 2 离散随机序列的功率谱密度 ............................................................ 47 § 2. 7 几种常见的随机信号 ................................................................................... 49 思考题 .................................................................................................................... 52 习题 .................................................................................................................... 53

通信原理(第二版)第2章确知信号与随机信号分析

通信原理(第二版)第 2章确知信号与随机
信号分析
目录
• 确知信号分析 • 随机信号分析 • 确知信号与随机信号的应用 • 信号分析的现代方法
01
确知信号分析
定义与分类
定义
确知信号是指在任何时刻都已知其全部信息的信号，如正弦波、方波等。
分类
连续信号和离散信号，周期信号和非周期信号，实信号和复信号等。
小波变换具有多分辨率分析的特点，能够适应不同频率的信号处理需求。
小波变换在信号降噪、特征提取、模式识别等领域有着广泛的应用。
神经网络在信号分析中的应用
神经网络能够通过学习自动提取信号中的特征，具有很强的自适应性。
神经网络在语音识别、图像处理、雷达信号处理等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理非线性信号，对于一些难以用传统方法处理的复杂信号非常有效。
随机信号的时域分析
自相关函数
描述随机信号取值在时间上的相关性。
互相关函数
描述两个随机信号在时间上的相关性。
谱估计
通过时域数据估计随机信ห้องสมุดไป่ตู้的功率谱密度的方法。
03
确知信号与随机信号的应用
确知信号在通信中的应用
载波信号
用于调制信息信号，实现信息的传输。
脉冲信号
用于数字通信中表示二进制状态，如脉冲编码调制（PCM）。
确知信号的频域分析
01
02
03
傅里叶级数
将确知信号表示为无穷多个正弦波的叠加，每个正弦波具有不同的幅度、频率和相位。
频谱密度函数
描述信号中各频率分量的强度，通常用图形表示，即频谱图。
频谱分析
通过频谱图分析信号中各频率分量的特性，如频率范围、幅度和相位等。

2第二章随机信号分析复习-2012

其中： an (2 / T0 )
T0 / 2
T0 / 2

f (t ) cos(2 nt / T0 ) dt
f (t ) sin(2 nt / T0 ) dt
n 0,1, 2
n 0,1, 2
bn (2 / T0 )
T0 / 2
T0 / 2

ω0=2π/T。称为基波，nω0称为n次谐波。
A/5

离散频谱
ω
-40π -24π -8π 0 8π 24π 40π
周期矩型脉冲频谱特点
1、离散性：由不连续的线条组成; 2、谐波性：线条之间的距离相等，谐波频率与基波频率间有简单的
整数倍关系。
2.傅里叶变换
非周期信号不能直接展开成傅里叶级数，但可以把它看成是周期T 的极限情况。
T

特例： f t t1 * t t2 f t t1 t2
(1) 时域卷积定理
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 (w) F2 (w)
即时域的卷积对应频域的乘积 (2) 频率卷积定理
1 F1 (w) * F2 (w) f1 (t ) f 2 (t ) 2
0
τ /2
帕塞瓦尔定理物理意义和应用
帕塞瓦尔定理把一个信号的能量或功率的计算和频谱函数或频谱联系起来了。帕塞瓦尔定理给出一个很重要的概念，即能量信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的连续和；而周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的功率之和。
注意：功率谱密度和能量谱密度都与振幅-频率特性有关，而与相位--频率特性无关。
指数表示形式
f (t )
其中： c (1/ T ) T n 0

第2章随机信号分析基础

若机变n 量= 。n0 为固定值， ζ为变量，则x(ζ, n0)}为一个随若ζ = ζ0为固定值， n为变量，则x(ζ0, n)}为一个样
本序列。若ζ = ζ0 ， n = n0 均为固定值，则x(ζ0, n0)}为一个
数。若ζ和你n都是变量，则x(ζ, n)}是一个随机过程。
px (x1, x2, , xM ; n1 k, n2 k, , nM k)
8
第2章随机信号分析基础
2.2.1 随机过程的基本统计量
宽平稳(WSS)随机过程
x (n) x
rx (n1, n2 ) rx (n1 n2 ) rx (k),
k n1 n2
互功率谱
k
Sxy () DTFT{rxy (k )}
复互功率谱
Sxy (z) Z{rxy (k)}
16
第2章随机信号分析基础
2.4 随机信号通过线性系统
复功率谱
Sxy
(
z
)

H
*
(
1 z*
)
S
x
(
z)
Syx (z) H (z)Sx (z)
功率谱
S
y
(
z
)

H
N(z) D(z)

2 w
B(z) A( z )
B(1/ A(1/
z) z)
w2Q(z)Q(1/
z)
差分方程：
p
q
x(n) ak x(n k) bk w(n k)
k 1
k 0
20
第2章随机信号分析基础
2.5 谱分解定理
例2.5.1

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1、能量信号
T
2
若E lim f 2 (t)dt f 2 (t)dt T
T
2
则称f (t)为能量信号
18
2、功率信号
若E f 2 (t)dt
T
但S lim 1
2
f 2 (t)dt
T T T
2
则称f (t)为功率信号.
19
3、能量信号与功率的有关结论：（1）周期信号必定是功率信号，不可能是能量信号，
F ( j)
cos(0t)
( )
( )
0 0 0
sin(0t)
F ( j)
( )
( )
0 0 0
11
§2 付氏变换的性质一、线性叠加性质
若 f1(t) F1( j) f2 (t) F2 ( j) 则 f1(t) f2 (t) F1( j) F2 ( j) 二、对称性
若 f (t) F( j) 则 F( jt) 2f () 或 F( jt) 2f ()
A
13
0 0 0
三、时移特性
若 f (t) F ( j) 则 f (t t0 ) F ( j)e jt0
其物理意义是 ,时间域中的时移 , 在频域中反映在
原频谱函数F ( j)的基础上附加一个相移函数e jt0
四、频移特性
若 f (t) F ( j) 则 f (t)e j0t F[ j( 0 )]
12
例题：试利用对称性求低通滤波器的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
/ 2
A sin( / 2) ASa
/ 2
2
F(
j)的零点满足如下关系
:
k , k
1,2,
2
从而得 : 2k , k 1,2,
注意到信号的大部分能量集中在第一个主瓣内 ,
因此,得此信号的带宽为 2k f 1
结论 : 矩形脉冲信号的带宽 f与信号的宽度成反比 8
f (t) A
F ( j)
(1)
1
0t
0
6
2 直流信号f (t) A
1 2 () A 2A ()
f (t) A
F ( j) (2A)
0
t
0
物理意义 : 直流信号对应频域中的 0频率分量,带宽为0 对于随时间变化很慢的信号,它的频带宽度(带宽)很窄
7
3. 矩形脉冲的付里叶变换
/ 2
F ( j) f (t)e jt dt Ae jt dt
bn
sin
n0t )
其中：a0
2 T0
T0
2 T0
f (t)dt
2
an
2 T0
T0
2 T0
f (t) cos n0tdt
2
(n=1,2
)
bn
2 T0
T0
2 T0
f (t)sin n0tdt
2
(n=1,2
)
3
2、指数形式
利用高等数学中的欧拉公式，可将三角形式的
付氏级数展开式变换成指数形式的级数展开式。周期信号频谱Fn的特点是离散谱，如下图所示。
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
0成反比
10
4. 正弦信号的付里叶变换
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
[ ( 0 ) ( 0 )]
sin 0t
1 2j
e j0t e j0t
j[ ( 0 ) ( 0 )]
其物理意义是 ,时间域中的相移 , 对应频谱函数在频域中的频移
14
五、调制定理
若f (t) F( j)
则f
(t) cos0t
1 2
F[
j(
0 )]
1 2
F[
j(
0 )]
f
(t) sin 0t
j 2
F[
j(
0 )]
j 2
F[
j(
0 )]
F ()
0
0
0
15
六、时域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j) 则 f1(t) f2 (t) F1( j)F2 ( j)
f
(t)
n
Fne
jn0t
Fn
n
Fn
1 T0
T0 / 2
f (t)e jn0t dt
T0 / 2
0 f0 2 f0 3 f0 4 f0
f
4
二、非周期信号的付氏变换形式
(1)
f
F
(t)
( j)
1
2
F ( j)e jt
f (t)e jt dt
d
(逆变换) (正变换)
(2) f (t) F ( j)
随机信号：给定一个时间值时，信号的取值不确定，只知其取某一数值的概率。
二、周期信号与非周期信号
满足x(t)=x(t+T0)，则称为周期信号，T0为周期，不满足上述关系的信号称为非周期信号。
17
三、能量信号与功率信号
设信号为f(t)，它为电压或电流，则作用在1Ω电阻上的功率为p(t)=f 2(t)。
因为其能量必为无穷大，为什么？（2）对于非周期信号，可能为功率信号，也可能为能
付里叶变换对
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住。
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函数 (t)
E (t) E 或 (t) 1
物理意义 : 变化快的信号如很窄的脉冲等,可近似用
数学模型 (t)来表示,上式说明这类随时间变化很快
的信号的频谱很宽. (t)
第2章确知信号与随机信号分析基础
本章包括信号分析、概率论与随机过程三个方面的内容。这些内容已在《信号与系统》、《高等数学》中学过，本章对其中的部分内容作一个复习和总结，只给出结论，并尽量通俗地理解其中的物理意义及背景，不作证明。此外，还有一些内容将在具体的章节中进行复习。这些基本内容是学习《信息论》与《通信原理》的必备的数学知识，要求大家掌握。
此定理的物理意义是 :时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j) F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号，且信号的取值是确定的。
1
第一部分：信号分析内容复习与总结
§1 周期信号和非周期信号的频谱一、周期信号的付氏级数展开式
1、三角形式
n
f (t) A0 An cos(n0t n )
n 1
其中0
2
T0
为基波频率 , T0为信号的周期 ,
而n0为n次谐波频率
2
三角形式傅立叶级数
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t

第2章 确知信号与随机信号分析基础分解

第2章 确知信号与随机信号分析基础课件