专题24 推理与证明A

专题24 推理与证明A

一：选择题（每小题5分，共60分）

1．已知13＋23＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝

⎛⎭

⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝

⎛⎭

⎪⎫

2022，…，若

13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025，则n ＝( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

答案 C

解析 观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n 3时，

等号右边的数为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22，因此，令⎣

⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22＝3025，则n (n ＋1)2＝

55，n ＝10或n ＝－11(舍去)．

2．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新

大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

【答案】C

【解析】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选C ．

3. 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有

一个实根”时，要作的假设是()

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

答案A

解析因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．故选A.

4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c ＝0，求证：b2－ac<3a”索的因应是()

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

答案C

解析要证b2－ac<3a，只需证b2－ac<3a2，即证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证[2a－(a＋b)](a －c)>0，即证(a－b)(a－c)>0，故索的因应是(a－b)(a－c)>0.

5．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()

A．结论正确B．大前提不正确

C．小前提不正确D．全不正确

[解析]f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误，故推理错误．

[答案]C

6. 用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为()

A．1 B．1＋2

C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23

答案D

解析n＝1时，左边计算所得的式子为1＋2＋22＋23.

7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆

半径为r，则r＝2S

a＋b＋c，类比这个结论可知，四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC 的体积为V，则R等于()

A.V

S1＋S2＋S3＋S4B.

2V

S1＋S2＋S3＋S4

C.3V

S1＋S2＋S3＋S4D.

4V

S1＋S2＋S3＋S4

答案C

解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三

棱锥体积的和，则四面体的体积为V＝V四面体S－ABC＝1

3(S1＋S2＋S3＋S4)R，

所以R＝3V

S1＋S2＋S3＋S4

.故选C.

8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，试归纳猜想出S n 的表达式为( )

A ．S n ＝2n

n ＋1

B ．S n ＝2n －1

n ＋1

C ．S n ＝2n ＋1

n ＋1

D ．S n ＝2n

n ＋2

答案 A

解析 ∵S n ＝n 2

a n ＝n 2

(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2

n 2－1

·S n －1，又S 1＝a 1＝1，

则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2n

n ＋1，故选A.

9. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个刺绣图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图案包含f (n )个小正方形，则f (6)＝( )

A ．61

B ．62

C ．63

D ．64

[解析] 根据前面四个图案发现： f (2)－f (1)＝4×1， f (3)－f (2)＝4×2， f (4)－f (3)＝4×3， ……

依此类推，f (n )－f (n －1)＝4×(n －1)， 这(n －1)个式子相加可得f (n )＝2n 2－2n ＋1. 当n ＝6时， f (6)＝61. [答案] 61