分治算法讲解

第二条件：每个小规模都具有最佳子结构（在变量范围内，可以用来表示）
第三条件：每个小问题可以通过合并在一起形成大问题的解
第四条件：每个小问题相互独立
专题一：分治算法之二分查找
思考题：找假币：
有一堆个数为32的硬币，和一个天平，已知其中有一个假币，且假币比真硬币轻，找出这个假币
1.普通方法：两两比较，轻的那个是假币，最多比较16次
四：基本步骤
（1）划分：把问题的实例划分成子问题
（2）求解：若是子问题比较简单，就直接解决，否则递归求解子问题
（3）合并：合并子问题的解得到原问题的解
课前引导：
一：分段函数
例如：高中数学中的分段函数也是类似分治思想的体现，如看图求y关于x的表达式。一个分段函数，反映的是x与y的关系，简单来说，就是在R的范围内将y的表达式表示出来，那么这时候利用分治的思想，将R区间划分为小区间，然后分别求出各个小区间的表达式，最后合并起来，完成y关于x的表达式的求解
【思路】
按分治的实现过程，可以先找到上面所示日程表的规律，即对角线相等，那么所要完成的操作就是对角线填充。
实现过程：
(1)用一个for循环输出日程表的第一行for(int i=1;i<=N;i++) a[1][i] = i
(2)然后定义一个m值，m初始化为1，m用来控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置。
}
int main()
{
int a[100];
int n,key,i;
cin>>n;
for(i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
cin>>key;
erfen(a,n,key);
return 0;
}
二分递归：
#include <iostream>
using namespace std;
int search(int a[],int left,int right,int key)
（4）重复上述过程，直到在数组中找到相同的数字。
（5）若在数组中找不到这个数据，则显示查找不成功
III. 算法框架：
按照分治算法三步骤，将二分算法作如下介绍：
（1）二分算法代码设计模式:
//arr[]表示要进行二分查找的顺序排列对象数组，low表示数组下标的最小值，high表示数组下表的最大值，key表示要查找的元素
第一次归并后：{6,202},{100,301},{8,38},{1}，比较次数：3；
第二次归并后：{6,100,202,301}，{1,8,38}，比较次数：4；
第三次归并后：{1,6,8,38,100,202,301},比较次数：4；
总的比较次数为：3+4+4=11；
归并基本算法：
输入两个整数，作为两个数组的长度，输入两个按升序排列好的数组，将两个已排序的数组合并后存放在另一个数组中，且合并后的数组也是有序排列（要求不能合并后再排序），再输出合并后的数组。
cin>>a[i];
for(j=0;j<n;j++)
cin>>b[j];
i=0;j=0;
while(i<m&&j<n)//当数组a和数组b都没有完全赋值到数组c中时
{
if(a[i]<b[j])//如果a数组里的元素比b数组的小
{
c[k]=a[i];//就把数组a的元素赋给数组c
i++;k++;//且将数组a和数组c的下标都往后移一位
{
right=middle-1;
return search(a,left,right,key);
}
else
{
left=middle+1;
return search(a,left,right,key);
}ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
}
}
int main()
{
int a[100],n,x,left,right,i;
cin>>n;
for(i=0;i<n;i++)
普通写法：
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int i,s[100],n;
cin>>n;
for(i=0;i<n;i++)
cin>>s[i];
int x;
cin>>x;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(s[i]==x)
{
cout<<i<<endl;
cin>>a[i];
left=0;
right=n-1;
cin>>x;
cout<<"这个数的下标是："<<search(a,left,right,x)<<endl;
}
专题二：分治算法之归并排序
归并排序是分治算法的一个非常典型的应用。
归并排序原理：
归并排序具体工作原理如下（假设序列共有n个元素）：
将序列每相邻两个数字进行归并操作（merge)，形成floor(n/2)个序列，排序后每个序列包含两个元素
二：基本思想
分治设计思想：将一个大的问题，分解成一个个小的，相同类型的问题，然后逐个击破各个小问题，最后将小问题逐步合并，得到最终的解。（可能会用到递归，大问题里包含小问题，找到规律然后解决）
分治基本策略：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
j++;k++;
}
}
else//当数组b已经被完全赋值到数组c中
{
while(i<m)//当数组a还没有完全赋值
{
c[k]=a[i];//此时，只需要把a数组中剩余的数全部赋值到数组c接下去的位置上
i++;k++;
}
}
for(i=0;i<m+n;i++)
cout<<c[i]<<" ";
}
归并函数：所涉及知识过多，目前只需要了解思想
分治算法
一：基本概念（分而治之）
分治就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。比如：二分查找，归并排序，快速排序，树的遍历等等
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
}
else//要是数组b的元素比数组a的元素大时
{
c[k]=b[j];//就把数组b的元素赋值到数组c中
j++;k++;//且将数组b和数组c的下标往后移一位
}
}
if(i==m)//当数组a已经被完全赋值到数组c中
{
while(j<n)//当数组b还没有完全赋值
{
c[k]=b[j];//此时，只需要把b数组中剩余的数全部赋值到数组c接下去的位置上
三：分治使用情况
1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2)该问题可以分解为相同类型的小问题（前提）
3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；（关键）
4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
{
if(left>right)
{
cout<<"Not found!"<<endl;
exit(0);
}
else
{
int middle=(left+right)/2;
if (a[middle]==key)
{
return middle;
}
else if(key<a[middle]) //这里key是和a[middle]比较，而非middle;
while(low<=high)
{
mid=(low+high)/2;
if(a[mid]==key)
{
cout<<"这个数的下标是："<<mid<<endl;
break;
}
else if(a[mid]>key)
high=mid-1;
else
low=mid+1;
}
if(low>high)
cout<<"Not Found！"<<endl;
II. 思路分析：
二分查找的基本思想是：
（1）先确定一组顺序排列的数据存储到数组中，输入要查找的数据
（2）将数组元素的中值与查找的数据相比较，如果两者相等，则子函数返回相应的结果后终止；
（3）否则利用中间位置缩小数据查找的范围。如果中间位置的数组元素大于查找数值，则进一步查找中值之前的数组元素，否则进一步查找中值之后的数组元素。
同理，对第二部分（即三四行），划分为两部分，第三部分同理。
(5)最后，根据以上for循环对整体的划分和分治法的思想，进行每一个单元格的填充。填充原则是：对角线填充
for(inti=m+1;i<=2*m;i++) //i控制行
(3)用一个for循环将问题分成几部分，对于k=3，n=8，将问题分成3大部分，第一部分为，根据已经填充的第一行，填写第二行，第二部分为，根据已经填充好的第一部分，填写第三四行，第三部分为，根据已经填充好的前四行，填写最后四行。for (ints=1;s<=k;s++) N/=2;
(4)用一个for循环对③中提到的每一部分进行划分for(intt=1;t<=N;t++)对于第一部分，将其划分为四个小的单元，即对第二行进行如下划分
二：大整数乘法
123 345 678 * 3 = 370 037 034
在这里我们可以这样写：
123 * 3 = 369 345 * 3 = 1035 678 * 3=2034
组合在一起是 369 1035 2034。
对比发现，当使用千进制的时候结果变成了370037034
首先他满足：
第一条件：分解到一定小规模的时候可以解决
将上述序列再次归并，形成floor(n/4)个序列，每个序列包含四个元素
重复步骤2，直到所有元素排序完毕
归并操作：
归并操作(merge)，也叫归并算法，指的是将两个顺序序列合并成一个顺序序列的方法。
如 设有数列{6，202，100，301，38，8，1}
初始状态：6,202,100,301,38,8,1
int erfen(int arr[],int low,int high,int key){
如果数组下标的最小值大于最大值
则返回结果为-1至主函数；//表明在数组中不存在要查找的元素
确定数组的中间位置mid
若查找的元素等于数组的中间元素，则进行相应的步骤
④若查找的元素大于数组（指定范围内）的中间元素
break;
}
}
if(i==n)
cout<<"Not found"<<endl;
return 0;
}
二分写法：
#include<iostream>
using namespace std;
void erfen(int a[],int n,int key)
{
int low=0,high=n-1,mid;
【例题三】设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：
(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
(2)每个选手一天只能参赛一次；
(3)循环赛在n-1天内结束
请按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。假设有8位参赛选手，8个选手的比赛日程表如下图：
2.二分法：将硬币分为两份，假币在轻的那份中，然后继续分，直到找出假币，最多用5次
哪种方法好？
课题：二分查找（折半查找）
知识目标：理解二分查找算法的概念以及执行过程。
重点：掌握二分查找算法的常规写法以及递归写法。
1.边界错误造成的问题
2.死循环
3.溢出
I. 算法介绍：
二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好;其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。
则将查找范围缩小至数组（指定范围内）中间元素右边；
⑤若查找的元素小于数组指定范围内的中间元素
则将查找范围缩小至数组（指定范围内）中间元素左边；
}
例题1：输入一个整数n，然后按升序输入n个整数，将它们存入数组a中，再输入一个数x,然后在数组中查找x,如果找到，输出相应的最小下标，否则，输出“Not Found”.
【样例输入】
4 5
1 2 3 4
5 6 7 8 9
【样例输出】
1 2 3 4 5 6 7 8 9
代码：
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int m,n,i,j,k=0,a[100],b[100],c[200];
cin>>m>>n;
for(i=0;i<m;i++)