数学建模 概率模型案例

设计变量所受的限制
若每天购进 0 份， 则收入为 0。
若每天购进 1 份， 售出，则收入为 a-b。 退回，则收入为 –(b-c)。
若每天购进 2 份，售出1份，则收入为 a-b –(b-c) 。 售出2份，则收入为 2(a-b) 。 退回，则收入为 –2(b-c)。
收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量
n
0
p(r)dr p(r)dr
ab bc
n
n
0
1
pn(pr()rd)drrab bc 00..125553
0
n
p(r)dr
0
p(r)dr
ab bc
Βιβλιοθήκη Baidu
n
n
0
1
pn(pr()rd)drrab bc 00..125553
0
n p(r)dr50.625
0
8
(n500)0.6250.5 50
0.125
(n )(0 )0.625 查概率积分表得
6 模型推广
1）酒店 酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再 接受有过失信记录的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会 要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种 方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多）， 而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。 这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。
p0.05 b/g0.2
p 0.1 b/g0.2
结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和36时，可以达到 最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为 36%和54%。 当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期 利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和 30%。
定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内
D＝带走的产品数/生产的产品数 ＝s/n
S的确定：与空钩个数有关
从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。
从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地 位，在一周期内，m个钩子求出非空 的概率p，则s=mp
P的确定 任一只钩子被一名工人触到的概率： 任一只钩子不被一名工人触到的概率： 工人相互独立，任一只钩子不被n名工人
以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。
3 模型假设
飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为 常数 r。
机票价格按照 gr n 来制订，其中 (1) 是利润
调节因子，如 0.6表示飞机60%满员就不亏本。
预订票数量的限额为常数 m(>n) ，每位乘客不按时前来 登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。
设有 k个人误机的概率是 Pk ，
P kC m kpkqm k,q1p
平均利润 S 即 ( s数学期望值)，
m n 1
m
S ( m ) P k [ n r g ( m k n ) b ] P k m k g r
k 0
k m n
m
m
由 kP k m,p Pk 1
k0
k0
m n 1
得 S(m )qm r g bg P km nk k 0
当 n,g,r,p,b 给定后，可以求 m 使 S (m) 最大。
m n 1
m
S ( m ) P k [ n r g ( m k n ) b ] P k m k g r
k 0
k m n
m n 1
m n 1
P km kgr P km kgr
模型变形
航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是 航班载客量的60%，即 0.6ngr
S r0.1 6n p m 1b g m k n 0 1 P km nk 1
mJ (a m ) x S r 0 .1 6 n p m 1 b g m k n 0 1 P km n k 1
则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。
1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
rn 售 r 出 赚 (a b )r 退 n r 回 赔 ( b c )n ( r )
rn 售n 出 赚 (ab)n
每天的收入函数记为U(n)，则
(ab)r(bc)n (r) U (n,r) (ab)n
收入函数的期望值为
nr nr
n
G ( n ) [a (b ) r ( b c )n (r )f( ] r ) ( a b ) n ( r )f
r 0
r n 1
求 n 使 G(n) 最大
将r视为连续变量 f (r)p(r)(概率密度）
k 0
k 0
m n 1
m
S ( m ) P k [ n r g ( m k n ) b ( m k ) g r ] P k m k g r
k 0
k 0
m n 1
m
m
S ( m ) ( b g ) P k ( m k n ) kk g P P k ( m r ) g
每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。
4 模型建立
先不考虑社会声誉的影响。
公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量
订票的总人数是 m，m有可能超出 n
当有 k个人误机时，
航空公司可能从航班中得到的利润为
s m kg r,
m k n
s n g r (m k n )b , m k n
mn j1
Pj (m)
Pk
k0
j
n
m-n
m-n-j
被挤掉的乘客数超过 j 人等价于m位预订票的乘客中 不按时前来登机的不超过 m-n-j 人。
所建模型为双目标的优化模型
m n 1
mS (a m ) xpm r g b g P km n k k 0 mnj1
minPj(m) Pk k0
a b bc
n
售完的 概率
P1
n prdr是需求量
0
r不超过
n的概率
P2
prdr是需求量
n
r超过
n的概率
上式意义为：购进的份数 n应该使卖不完与卖完的概率 之比，恰好等于卖出一份赚的钱 ab 与退回一份赔的钱 bc
之比。
n
0
p(r )dr p(r )dr
a b bc
n
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
E ( X )x ip i ( i 1 ,2 , ,n )
连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) 则随机变量 X 的数学期望值为
E(X) xf(x)dx
期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！
传送系统的效率
在机械化生产车间里，你可以看到这样的 情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张的 生产同一种产品，工作台上方一条传送带 在运转，带上若干个钩子，工人们将产品 挂在经过他上方的钩子上带走，当生产进 入稳态后，请大家构造一个衡量传送系统 效率的指标，并建立模型描述此指标与工 人数量、钩子数量等参数的关系。
(n50) 0(1)00.625 50
n5000.32 50
n516
1 问题的提出
航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业 务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰 等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘 客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降 低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订 好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外 地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救 总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。
效率：工人所生产的产品数，
传送系统带走的产品数，
稳态：工人生产一件产品的时间长短相同， 即，生产周期相同，
当生产进入稳态后，工人生产一件产品的 时刻再一个周期那是等可能，
工人的生产是相互独立的。
钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的 钩子为空钩。
模型的建立：工人人数n个 钩子个数 m个 带走的产品数s个
挂产品的概率： 任一只钩子非空的概率为
则传送系统效率为：d=s/n=mp/n
= m[1(1 1)n]
n
m
mn Dm[1(1nn(n1)) ]1n1
n m 2m 2
2m
D87 .5% 当n＝10,m=40
报童的诀窍
问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上 将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b， 零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出
3）图书馆 图书馆都有可能购买一些畅销书籍的多种版本。特别是在 学院或大学图书馆里，时常购买一系列课本。某些版本极 有可能仅限在图书馆内，以方便学生们的使用。可以尝试 建立书籍使用的模型。
概率模型
（一）传送系统的效率问题 （二）报童的诀窍 （三）航空公司的超额订票问题
随机模型
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
数学期望 离散型随机变量 X 的概率分布为
P ( X x i) p i ( i 1 , 2 , ,n ) 则随机变量 X 的数学期望值为
dG
n
(bc) p(r)d r(ab ) p (r)dr
dn
0
n
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b
b c
使报童日平均收入达到最大的购进量 n应满足上式。
因为
0
prdr
1
0 nprdr n prdr1
n p(r)drab
0
ac
因为当购进 n份报纸时，
售不完的 概率
n
0
p(r )dr p(r )dr
2）汽车出租公司 汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内） 以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折， 以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一 次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了 一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预 测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可 能充分地留出比它们计划中要多的汽车。
k 0
k 0
k 0
m n 1
S (m ) (b g ) P k(m k n ) m p mg r g
k 0
m n 1
S(m )qm r g bg P km nk
k 0
从社会声誉和经济利益两方面考虑
考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。 而由于被挤掉者的数量是随机的。 用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为衡量标准。 设被挤掉的乘客数超过 j 人的概率为 Pj (m) ，则
一份报纸赚a- b，退回一份赔b-c。报童每天购进
报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会 少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量， 以获得最大收入。
1.确定设计变量和目标变量
每天的总收入为目标变量 每天购进报纸的份数为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
求解技巧：连续化
人口模型，战争模型
2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形
2000年C题 飞越北极 球形到椭球形
随机变量的目标函数：期望值 航空公司的超额订票模型
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价 为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元， 需求量服从均值500份，均方差50份的正态 分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平 均收入最高，最高收入是多少？
G ( n ) 0 n [ a b ( ) r ( b c ) n ( r ) p ( r ] ) d n ( a r b ) n ( r ) d p
dG
n
(ab)n(p n) (bc)p(r)dr
dn
0
(ab)n(n p)n(ab)p(r)dr
n
(b c)0p (r)d r (a b )np (r)dr
mnj1
minPj(m) Pk k0
mJ (a m ) x S r 0 .1 6 n p m 1 b g m k n 0 1 P km n k 1
mnj1
s.t. Pj(m) Pk k0
01
5 模型求解 计算一架载客量为300的飞机所能得到的预期利润，假设
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则
P1 a b
P2 b c
结论
P1
P2
O
n
r
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大
时，报童购进的份数就应该越多。
注意
建模方法：从特殊到到一般
1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商
归纳抽象
1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动
试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。
2 问题分析
订票策略：为了航空公司的经济利益与社会声誉，
确定预订票的最佳数量。
公司的经济利益 公司的社会声誉
利润 = 收入-成本-赔偿金 已订票但被挤掉的乘客的数量
问题转化为 怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤 掉的乘客的数量尽可能小。