相交线和平行线典型例题及拔高训练(附答案)
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4.2 相交线和平行线
典型例题及强化训练
课标要求
① 了解对顶角，知道对项角相等。
② 了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③ 知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④ 知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质
⑤ 知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条 直线的平行线。
⑥ 体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题 1. 判定与性质 例1判断题： 1） 不相交的两条直线叫做平行线。
（ ） 2） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（ ） 3） 两直线平行，同旁内角相等。
（ ） 4）
两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
（ ）
答案：（1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 （2）错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 （3）
错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。
（4） 错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 例2已知：如图， AB// CD 求证：/ B+Z D=Z BED
分析：可以考虑把/ BED 变成两个角的和。如图5，过E 点引 一条直线EF// AB,则有Z B=Z 1，再设法证明Z D=Z 2,需证
EF// CD 这可通过已知 AB// CD 和EF// AB 得至鷹 证明：过点E 作EF // AB,则Z B=Z 1 （两直线平行，内错角 相等）。
•/ AB// CD （已知）， 又••• EF// AB （已作），
••• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
•••Z D=Z 2 （两直线平行，内错角相等）。
又T Z BED 玄 1+Z 2,
• Z BED 玄B+Z D （等量代换）。
变式 1 已知：如图 6, AB// CD 求证：Z BED=360 - （Z B+Z D ）。
分析：此题与例1的区别在于E 点的位置及结论。我们通常所说的Z BED 都是指 小于平角的角，如果把Z BED 看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例 结论是一致的。因此，我们模仿例 1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点E 作EF// AB,则Z B+Z 1=180° （两直线平行，同旁内角互
补）。
•/ AB// CD （已知）， 又••• EF// AB （已作），
• EF// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 • Z
D+Z 2=180° （两直线平行，同旁内角互补）。 B+Z 1 + Z D+Z 2=180° +180°（等式的性质）。 BED 玄 1+Z 2,
B+Z D+Z BED=360 （等量代换）。 BED==360 - （Z B+Z D ）（等式的性质）。
1
1
•Z
又T Z
•Z
•Z
变式2已知：如图7, AB// CD求证：Z BED=/ D- Z B。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例
与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。
证明：过点E乍EF// AB,则/ FEB=Z B （两直线平行，内错角相等）。
•/ AB/ CD（已知），
又••• EF/ AB （已作），
••• EF/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
•••/ FED=Z D （两直线平行，内错角相等）。
•••/ BED玄FED-/ FEB
•••/ BED玄D-/ B （等量代换）。
变式3已知：如图8, AB// CD求证：/ BED=/ B- / D。
分析：此题与变式2类似，只是/ B、/ D的大小发生了变化。
证明：过点E作EF/ AB,则/ 1 + / B=180° （两直线平行，同旁内角互补）。
•/ AB/ CD（已知），又••• EF/ AB （已作），
•EF/ CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
•/ FED+Z D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
•/ 1 + / 2+/ D=180°o
•/ 1 + / 2+/ D- （/ 1+/ B）=180° -180 ° （等式的性质）。
•/ 2=/ B- / D （等式的性质）。
即/ BED玄B- / Do
例3 已知：如图9, AB// CD / ABF=/ DCE 求证：/ BFE=/ FEC 证法一：过F点作FG// AB，则/ ABF=/ 1 （两直线平行，内错角相等）。
过E点作EH// CD，则/ DCE/ 4 （两直线平行，内错角相等）。
••• FG// AB（已作），AB// CD（已知），
• FG// CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
又••• EH// CD （已知），
• FG// EH （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
•/ 2=/3 （两直线平行，内错角相等）。
•/ 1 + / 2=/3+/ 4 （等式的性质）
即/ BFE=/ FEC
证法二：如图10,延长BF、DC相交于G点。
•/ AB// CD（已知），
• /仁/ABF（两直线平行，内错角相等）。
又•••/ ABF=/ DCE（已知），
•/ 1 = / DCE（等量代换）。
•BG// EC （同位角相等，两直线平行）。
•/ BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）。
如果延长CE、AB相交于H点（如图11）,也可用同样的方法证明程略）。
证法三：（如图12）连结BC
•/ AB// CD（已知），
•/ ABC/ BCD（两直线平行，内错角相等）。
又•••/ ABF=/ DCE（已知），
•/ ABC-/ ABF =/ BCD-/ DCE（等式的性质）。即/ FBC=/ BCE
•BF/ EC （内错角相等，两直线平行）。
•/ BFE=/ FEC（两直线平行，内错角相等）。F
G
H