同余的 概念与性质

由上例可知，同样的两个数关于不同的模同余关系可能不相同．
例3. 2 求证：(1) 如果a除以m的余数为r(0≤r<m), 那么 a≡r (modm); (2)如果a ≡r (modm)，0≤r<m，那么a 除以m的 余数为r。
证明 (1) 由题意得可设， a＝mq+r ( 0≤r<m ) ． 由于0≤r<m ，所以r除以m的不完全商为0，余数为r，即 r ＝m· ０+r ( 0≤r<m ) ． 根据同余概念，可得a≡r(modm); (2) 因为a ≡ r(modm)，所以由同余概念可得· a＝mq1+R , r＝mq2+R，( 0≤R<m )， 又因为０≤r<m，所以q2＝0，即R＝r. 因此 得 a＝mq1+r (0≤r<m)．即a被m除，所得的余数为r．
例3. 12 把由1开始的自然数依次写下来，直写到 第201位为止，就是 201位
12345678910111213…
试问这个数除以3的余数等于几?


解 因为1～9写在一起构成九位数，10～99写在一 起为90 X 2＝180位数，所以由1开始的自然数依 次写到99，合计为189位数，由于201－189=12， 因此只需在1写到99后再写上100，101，102，103 四个数．即从１开始的自然数依次写到103就构成 一个201位数(由103个连续的自然数组成）． 因为每三个连续自然数的各位数字之和能被3除， 103≡1(mod3)，所以这个数除以3的余数为1．
从例3．6的证明，还可以得出如下的结论：
如果 a ≡ b (modm)，又d 能整除m以及整除a，b两 个数中的一个，则d 必能整除a，b中的另一个．

c ≡ d (modm) ,那么 a ≡ d (modm) .

例3. 7 求证：如果a ≡ b (modm) , b = c ,


证明 因为a ≡ b (modm)，所以 m | (a－b)，又 b＝c，因此 m | (a－c)， 所以 a ≡ c (modm) ， 又因为 c ≡ d (modm)， 由传递性，所以 a ≡ d (modm)． 例3. 7告诉我们，在讨论同余的时候，可以 把等号混在同余中同时使用，即例3. 7的结论 可以写成a ≡ b = c ≡ d (modm)
所以 71427 X 19≡6 X 5=30≡2(mod7)， 即71427 X 19≡7除的余数为2； (2) ∵ 47 ≡ 5(mod7), 472≡52 ≡ 4 (mod7), 所以 476=(472)3≡43=64≡ 1(mod7), 即 476被7除的余数为1．
例3. 11 求1350分别被5，11除所得的余数．
故 a＋c ≡b＋d (modm), a－ c ≡b－ d (modm) .
推 论

推论1 在同余式的两边同加上(或同减去) 一个整数，同余式仍成立。
推论2
在一个同余式中，一个项可以改变 符号后移到同余式的另一边去， •即：若 a＋b ≡c (modm), 则a＋b－ c ≡0 (modm), 或a≡c－b (modm). • 推论3 定理3.5可以推广到有限个同余式 的情况。
例

例1 试证明一个整数能被3整除的充分必要 条件是它的10进位数码的和能被3整除.
•证明 设a是一正整数,并将a写成10进位数的形式: a an10n an 110n 1 a110 a0, 0 ai 10 因为10≡1(mod3),所以我们得到
因此,我们知道
当且仅当
§3. 3 同余概念、性质的应用 • 利用同余定义与 性质，可以解决小学 数学中的某些较难的 问题，例如确定余数 的大小，乘积或乘幂 的末位数字问题以及 整除的证明问题等等.
例3.10 求下列各数被7除后的余数； (1) 71427 X 19， (2) 476．


解 (1) 因为 7≡14≡0(mod7)， 71427≡6(mod7)，19≡5(mod7)，
⑴a+km≡b (modm)并非理所当然地就有 b≡ a +km (modm) ,仅当关系满足自反律时才能成立. ⑵前者根据同余的定义证明的,而后者是应用定理 3.1证明的.
§3.2 同余的性质
1.同余的基本性质: 在数学中, 具有自反律, 对称律, 传递
律的关系称之为等价关系.同余关系就是一种等价关系.也就是 说,由同余的定义可以得到
§3.1 同余的概念
定义 假定两个整数a,b对于正整数m，有 a＝mq1+r1 ,( 0≤r1<m )， b＝mq2+r2，( 0≤r2<m )， 并且 r1 ＝ r2 , 那么我们就称a 与b 对(关)于模m同余,用符号表示为 a ≡ b (modm)或a ≡ b (m). 假定上面的r1 ≠ r2, 我们就说两个整数a 与b关于模 m不同余,用符号 a ≡ b (modm)或a ≡ b (m)表示. 例如,31 ≡ 9(mod11),31 ≡ 9(mod10).
作业
P134
习题3.1 第1,4,5题
2. 同余的运算性质: 二个同模的同余式能 够象等式一样进行加、减和乘等运算.
定理3.5 设a ≡ b (modm), c ≡ d (modm), 则
a＋c ≡b＋d (modm), a－ c ≡b－ d (modm) . 证明: 由题意, 有m| (a－ b ), m| ( c－ d ), 所以 即 m| [(a－ b ) ±( c－ d )], m| [(a ±c )－ ( b ± d )],

定理3. 1 两个整数a,b对于模m同余的必要且充分 条件是这两个数的差a－b 能够被正整数m整除,即 a ≡ b (modm) m|(a－b)。
证明： ∵ a ≡ b (modm) ∴ a＝mq1+r ， b＝mq2+r，( 0≤r<m )， ∴ a－ b ＝mq1+r －（mq2+r）＝m(q1－q2)， 从而由整除的定义得 m |(a－b)。 设a＝mq1+r1,(0≤r1<m), b＝mq2+r2 ,(0≤r2<m)， 则 a－ b＝m (q1－q2) + (r1－r2 )， 因为 m |(a－b). 所以m|(r1－ r2 )，而0≤r1<m ， 0≤r2<m 故| r1－r2 |<m, 又因为 | r1－r2 |≥0，所以 只有r1－r2 ＝0，即r1＝r2 所以a ≡ b (modm)
第三章

同余与同余式
同余概念与性质 同余的概念 同余的性质 同余的应用
第一部分 – §3. 1 – §3. 2 – §3. 3
第三章 同余与同余式

在日常生活中,有时我们注意的常常不是某些 整数,而是这些整数用某一个固定的整数去除 所得到的余数.例如本月2日是星期3,那么9 日,16日,…都是星期3,这是因为它们用7除后得 到的余数都是2.在我国古代的干支纪年也是这 样的,它是以60作为除数的纪年法.这样,在数学 中就产生了同余的概念.同余概念是Gauss在 1800年前后创立的.
例3. 6 求证 若a≡b(modm)，则(a, m)=(b, m)．

证明 因为a ≡ b (modm)，所以m|(a－b)。 即存在 整数q，使得a＝mq+b ，设d1是a，m的公约数，则 d1|a ，d1| m，又因为 b= a－mq，所以d1| b；
再设d2是b，m的公约数，则
d2 | b，d2 | m, 因为 a = mq+b，所以 d2 | a． 因此，a，m的公约数集和b，m的公约数集相同， 所以 (a, m) = (b, m) ．
例3．3与例3．5的启示

在同余式的左右两边中，把一个数换成与这个数 同余的数(a换成a+km, b换成b+km),同余式仍成立. 也就是说,在同余式的左边或右边,可以加上模的任 意整数倍km, 就象加零一样,即它与等式性质”在 等式的左边或右边加上零,等式不变”是类似的.
例3．3与例3．5的比较:

例3．3 求证；如果a ≡ b (modm) ， 那么a+km≡b(modm)，这里k为整数．

证明：由a ≡ b (modm) ，得 a＝mq1+r ， b＝mq2+r，( 0≤r<m )，
∴ a+km ＝ mq1+r+km ＝m(q1+k)+r ， ∴ a+km≡b (modm)。
两个整数同余的充分必要条件
推论

推论1 如果m | (a－b) ，那么a ≡ b (modm) 推论2 a ≡ b (mod m) 的必要且充分条件是存在 整数k，使得a ＝ b+km (mod m) ． (这里是等号不是同余号)
定理3.
1及推论2都是同余的必要且充分条件，因 此也可以把它们作为同余的定义: 如果a－b 能被m整除，我们就说a与b对于模m同 余． 同余的这个定义与前一个定义是等价的，也就是 说，既能从前面一个定义推出这个定义，也能从这 个定义推出前一个定义 (读者可自行证明)． 今后讨论与同余定义有关的问题时，灵活选用其中 一个，可以使讨论简便．


例3. 9 巳知 x≡2(mod5)， 求证：2x2－x+3≡4(mod5)
证明 因为x≡2(mod5)， 所以 x2≡22 ≡ 4(mod5 )， 2x2≡8≡3 ( mod5)，而－x≡－2(mod5)，

因此, 2x2－x+3≡2×22－2＋3≡9≡4(mod5) . 从例3．9可以看出，应用定理3. 5的推论1 与定理3. 6的推论1与推论3，对同余式可以 像等式那样进行代换.
a的对于模m的最小非负剩余