同余的概念和性质
同余的基本概念和性质
模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律 模相等的同余关系满足消去律 模相等的同余关系满足分配律 模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法 同余在模方程中的应用实例 同余在模方程中的求解步骤 同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
● - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有传递性，即如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 ● - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关 系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某 个固定整数得到的余数相同， 则称这两个整数同余。
同余
可以理解为： 31除以4的余数是3 可以理解为： 50除以4的余数是18
求123+72的和除以10的余数
方法一：123+72=195
求121+74的和除以3的余数
方法一：121+74=195
求121-74的差除以3的余数
方法一：121-74=47
同余式定义和基本性质
若ab(mod m), cd(mod m), k为正整数 ①可加减性 和（差）的余数等于余数的和（差） 即a±c b±d(mod m), 特别地有a±k b±k(mod m). 同时有a-b 0（mod m） 显然：移项变号同样适用于同余式
【例7】若今天是星期六，从今天 102003天后的那一天是星期（ ）
10 3(mod7)
6
10
2003
3
2003
(mod7)
3 （ 1 mod7） 2003 6 333 5
10
2003
3 3
2003
5
5(mod7)
∴所求那天是星期四。
一次同余式组
• 本节介绍一次同余式组的解法及其应用举 例． • 在公元三世纪前,《孙子算经》里已提出了下 面的同余式组 xb1(mod m1), xb2(mod m2),…, xbk(mod mk) (1) • 这种形式的问题, 并且很好地解决了它.《孙子 算经》里所提出的问题之一如下: • “今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之 剩三, 七七数之剩二. 问物几何？” “答日二 15:51:43 十三.”
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余 2，求这个数。 被7除余2的数有：2，9，16，23
被5除余3的数有：3，8，13，18，23 被3除余2的数有：2，5，8，11，14，17 ，20，23
小升初数学复习知识点：余数、同余与周期
小升初数学复习知识点：余数、同余与周期余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m 同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m），读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：a≡a（mod m）；②对称性：若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③传递性：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡ c（mod m）；④和差性：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a-c≡b-d（mod m）；⑤相乘性：若a≡ b（mod m），c≡d（mod m），则a×c≡ b×d （mod m）；⑥乘方性：若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）；⑦同倍性：若a≡ b（mod m），整数c，则a×c≡ b×c（mod m×c）；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n （mod 9）或（mod 3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod 11）；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（mod p）。
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同余1
关于同余11概念与性质定义1:若整数a,b 被整数m(m >1)除的余数相同,则称a 同余于b 模m,或a,b 对模m 同余.记为a ≡b(modm).余数r:0≢r<1.例如:对任意整数n 有:n 2≡0,1(mod3),n 2≡0,1(mod4),n 2≡0,1,4(mod5),n 2≡0,1,3,4(mod6),n 2≡0,1,2,4(mod7),对素数p 和1≢k ≢p -1有)(mod 0p C k p ≡.性质 (ⅰ)a ≡b(modm)⇔m|a-b,即a=b+mk,k ∈Z .(ⅱ)若a ≡b(modm),b ≡c(modm),则a ≡c(modm).(ⅲ)若a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm),且k ∈N *,则a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),则k a 1≡kb 1(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm), a 1k ≡b 1k (modm).(ⅳ)设f(x)=a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0,g(x)=b n x n +b n-1x n-1+…+b 1x+b 0是两个整系数多项式,满足a i ≡b i (modm)(0≢i ≢n).若a ≡b(modm),则f(a)≡f(b)(modm).(ⅴ)a c ≡bc(modm)⇔a ≡b(mod ),(m c m ), (ⅵ)⎩⎨⎧≡≡)(mod )(mod 21m b a m b a ⇔b a ≡(mod [m 1,m 2]). 推论:若a ≡b(modm 1),a ≡b(modm 2),且(m 1,m 2)=1,则a ≡b(modm 1m 2).(ⅶ)设m >1,(a ,m)=1,则存在整数c(1≢c ≢m -1)使得a c ≡1(modm).称c 为a 对模m 的逆或倒数,记为c ≡a -1(modm).且(a -1,m)=1.(ⅷ)设正整数a ,b 满足a ≣2,且(a ,b)=1.则存在正整数d ≢a -1,b d ≡1(mod a ), 且如果d 0是适合b d ≡1(mod a )的最小正整数,则b h ≡1(mod a )⇔d 0|h(h).(ⅸ) Fermat 定理:设p 是素数,则对任意正整数a 有a p ≡a (modp ).特别地,当(p,a )=1时, a p-1≡1(modp).(ⅹ) Wilson 定理:设p 是大于1的整数，则p 是素数⇔(p -1)!≡-1(mod p ). (ⅹi)Euler 定理:设正整数a ,m 满足m>1且(a ,m)=1.则)(mod 1)(m a m ≡ϕ.例1.求证:11552011+342011不是平方数.例2.求证:对任意正整数n,3n +2•17n 不是5的倍数.并求最小的正整数n,使得 11|(3n +2•17n ).例3.已知p n =1n +2n +3n +4n ,求出所有正整数n,使得5|p n .例4.求证:对于任意正整数n,s n =12011+22011+32011+…+n 2011不能被n+2整除.例5.设31000的数字和为a,a 的数字和为b,b 的数字和为c.求c.例6.若将一个正整数的各位上的数字颠倒后仍得到原数字,则称这个数为“原数”.证明:等差数列18,37,…中有无穷多原数.例7.已知正整数n 满足5n+1是完全平方数,证明:n+1为五个完全平方数之和. 例8.证明:).641(mod 012525≡+=F 并求F 6关于(mod641)的余数.例9.证明:对于任意正整数n,∑=++-n k k n k k C 01212)1(2012不能被13整除.例10.设p 为质数.求证:)(mod p p n C p n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡≡. 例11.确定n 5=1335+1105+845+275中的n.例12,求101010 (100个10)被7除得的余数.例13.设整数x,y 满足49|x 2+y 2, 1≢x,y ≢1000.求整点(x,y )的个数.例14.当n 为何整数时,323|(20n +16n -3n -1)?例15.求32011的个位数,末两位数字及末三位数字.例16.求1 X3 X5 X 7 X …X2011的末三位数字.例17.求大于5的素数平方被30除的余数.例18.求201120112011的末三位数.例19.设n,k 为正整数,求证:存在无限多个形如n •2k -7的平方数.例20.设对任意正整数n ≣1,b 的质因数都大于n.证明:n!|a(a+b)(a+2b)(a+3b)…[a+(n-1)b]例21.证明:对任意整数n ≣4,存在一个n 次多项式f(x)=x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0具有如下性质:(1)a 1,a 2,…,a n-1均为正整数;(2)对任意正整数m,及任意k(k ≣2)个互不相同的正整数r 1,r 2,…,r k ,均有f(m)≠f(r 1)f(r 2)…f(r k ).例22.设m>n ≣1,求最小的m+n 使得1000|2009m -2009n .例23.设正整数a,b 使得15a +16b 和16a -15b 都是正整数的平方，求这两个平方数所可能取的最小值.例24.求方程3x -5y =z 2的所有正整数解.例25.已知p 为素数.证明,存在一素数q,使得对任意正整数n,都有n p ≢p(modq). 例26.已知a ,k 为正整数且a ,k ≣2, p 1,p 2,…,p k 为奇素数,且(a ,p 1p 2…p k )=1. 证明:存在不同于p 1,p 2,…,p k 的奇素数q 使得)(mod 1)1()1)(1(21q a k p p p ≡--- . 例27.证明方程x 2012=4y 2011+4y 2010+2011y +2010无整解.例28(Ⅰ)设n 为大于1的整数，证明2n -1不能被n 整除。
1.同余的概念及基本性质
第三章 同余§1 同余的概念及其基本性质定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作()\mod a b m ≡.甲 ()mod .a a m ≡（甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.）乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡⇔-证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是，()12,|.a b m q q m a b -=--反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是，()()1221.r r m q q a b -=-+-故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡±证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-戊 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则()1212mod .a a bb m ≡ 证 因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122|,|.m a b m a b --又因()()()1212111212211122,a a bb a b b a bb a a b b a b -=-+-=-+-故()12121212|,mod .m a a bb a a bb m -≡ 定理2 若()()11mod ,mod ,1,2,,,kki i A B m x y m i k αααα≡≡=则()11111111,,,,mod .k k k kkkk k A xx B y y m αααααααααααα≡∑∑特别地，若()mod ,0,1,,i i a b m i n ≡=，则()111010mod .n n n n n n n n a x a x a b x b x b m ----+++≡+++证 因()mod ,1,2,,i i x y m i k ≡=故,1,2,,iii i x y i k αα≡=，从而()1111mod .k k k k x x y y m αααα≡又因()11mod kkA B m αααα≡，故()()111111111111111,,,,mod ,mod .k k kk k k kkkk k k k A xx B y y m A xx B y y m αααααααααααααααααααα≡≡∑∑己 若()()mod ,,1,ka kb m k m ≡=则()mod .a b m ≡证 因()mod ka kb m =，故()|.m ka kb k a b -=-又因(),1k m =，故()|,mod .m a b a b m -≡庚 （ⅰ）若()mod ,0,a b m k ≡>则()mod .ka kb km ≡ （ⅱ）若()mod ,|,|,|,0,a b m d a d b d m d ≡>则mod .a b m d d d ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭证 （ⅰ）因()mod ,0a b m k ≡>，故()()|,|,mod .m a b km k a b ka kb ka kb km --=-≡（ⅱ）因()mod ,a b m ≡故|,.m a b a b mq --=又因|,|,|,0d a d b d m d >111111,,,0,0,0a da b db m dm a b m ===>>>. 于是()111111111,,mod ,mod .a b m da db dm q a b m q a b m d d d ⎛⎫-=-=≡≡ ⎪⎝⎭辛 若()mod ,1,2,,i a b m i k ≡=，则[]()12mod ,,,.k a b m m m ≡证 因()mod ,1,2,,i a b m i k ≡=，故|,1,2,,.i m a b i k -=于是，[][]()1212,,,|,mod ,,,.k k m m m a b a b m m m -≡附记 最小公倍数的一个常用性质是，若12|,|,,|k m a m a m a ，则[]12,,,|.k m m m a证 由带余除法，设[][]1212,,,,0,,,k k a m m m q r r m m m =+≤<，则12|,|,,|k m a m a m a 及12|,|,,|k m a m a m a 得， |,1,2,,.i m r i k =但[]12,,,k m m m 是12,,,k m m m 的最小公倍数，故[]120,,,,|.k r m m m a =壬 若()mod ,|,0,a b m d m d ≡>则()mod .a b d ≡证 因()mod ,a b m ≡故|.m a b -又因|,0d m d >，故()|,mod .d a b a m d -≡ 癸 若()mod a b m ≡，则()(),,.a m b m =证 因()mod a b m ≡，故|.m a b -于是，存在整数t 使得.a b mt -=故.a mt b =+故()(),,.a m b m =例 一个整数0a >被9整除的充分必要条件是n 的各位数字（十进制）的和倍9整除.证 设1101010,010n n n n i a a a a a --=+++≤<.因()101mod9≡，故()()101mod9,10mod9,0,1,,.i i i i a a i n ≡≡=于是，()010mod 9.n nii i i i a a a ===≡∑∑故9|a 的充分必要条件是09|.ni i a =∑作业 P53:2,3,4,5.习题选解2.设正整数1101010,010,n n n n i a a a a a --=+++≤<证明11整除a 的充分必要条件是11整除()01.niii a =-∑证 因为()101mod11≡-，故()()()()101mod11,101mod11,0,1,,.i ii i i i a a i n ≡-≡-=.于是，()()0101mod11.n nii iii i a a a ===≡-∑∑由此可得，11|a 的充分必要条件是()0111.nii i a =-∑3.找出能被37,101整除的判别条件来.解 （ⅰ）因()10001mod37≡，故()()10001mod370.ii ≡≥设11010001000,01000.n n n n i a a a a a --=+++≤<则由()10001mod37i≡得()1000mod37,0,1,,ii i a a i n ≡=，故()01000mod 37.n nii i i i a a a ===≡∑∑由此可得，37|a 的充分必要条件是037.ni i a =∑（ⅱ）因()1001mod101≡-，故()()()1001mod1010.iii ≡-≥ 设110100100,0100,n n n n i a a a a a --=+++≤<则由()()1001mod101ii ≡-得()()1001mod101,0,1,,ii i i a a i n ≡-=，故()01001.n niii i i i a a a ===≡-∑∑由此可得，101|a 的充分必要条件是()01011.niii a =-∑4.证明52641|2 1.+ 证 因()()8163222256,265536154mod 641,2154237166401mod 641,==≡≡=≡≡-故52641|2 1.+5.若a 是任一奇数，则()()221mod 21.nn a n +≡≥证 对n 作数学归纳法.当1n =时，因a 为奇数，故可设121a a =+，则()()2221111112114441a a a a a a -=+-=+=+.而()111a a +是两个连续两个整数的积，一定是2的倍数，从而()122128|1,1mod 2,a a +-≡即1n =时结论正确.假设对()12n n -≥结论正确，即()12121mod 2.n n -+≡下面说明在此假设下，对n 结论正确.因()()()111222221111nn n n a aa a ----=-=-+，而由归纳假设得121n a--是12n +的倍数，又因a 为奇数，故121n a -+也为奇数，于是()()112211n n a a ---+是22n +的倍数，故()221mod 2.nn a +≡。
同余的概念与性质
同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。
性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。
性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。
性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论： 设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。
（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。
性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。
性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。
性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。
性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。
性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。
同余的基本概念和性质
例3 说明 是否被641整除。
因此 0 (mod 641)，
即641 。
第一节 同余的基本性质
第一节 同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2， 其中qZ，所以
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)， 其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也成立。 由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节 同余的基本性质
a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
证明 由
pa 1或pa 1，
所以必是
a 1或a 1 (mod p)。
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)可以推出
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
解 因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。 我们有 8n 8 z = 6，
证明 留作习题。
定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d); (ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN ak bk (mod mk)； (ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余
数的性质 同余性 同余
若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )，
则 ≡ ( 1 ，2 )。
三、同余的运算性质
3.可约性
（1）若 ≡ ( )， , = 1，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( )， , = ，则 ≡ (
)
四、欧拉函数
欧拉函数 ()是定义在正整数上的函数，()表示序列0，1，
2，...， − 1中与互质的整数的个数。
欧拉函数的计算公式：设 = 1 1 2 2 … … ，则
（3）传递性：
Hale Waihona Puke 若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 ≡ ( )
三、同余的运算性质
1.可加性
若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 + ≡ + ( )
推论
若 + ≡ ( )， ∈ ，
则 ≡ − ( )
() = (1
1
− )
1
(1 −
1
1
) … … (1 − )
2
欧拉定理：设是大于1的整数，（，） = 1，则
() ≡ 1( )
五、典型例题分析
【例1】已知今天是星期三，问1012 后的那一天是星期几？
解：10 ≡ 3( 7)；
1012 ≡ 312 ≡ 274 ≡ −1
三、同余的运算性质
2.可乘性
（1）若 ≡ ( )， ∈ ，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )， ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )， ∈ ∗ ，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )， 1 , 2 = 1，
同余关系的概念与定理
同余关系的概念与定理同余关系是离散数学中一个重要的概念，它在数论、代数和密码学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍同余关系的概念和相关定理。
一、同余关系的概念同余关系是数论中的一个基本概念，它描述了两个数之间的整除关系。
具体来说，给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，即a和b对m同余，记作a≡b(mod m)，则称a和b关于模m同余。
二、同余关系的性质同余关系具有以下三个性质：1.自反性：对于任意整数a，a≡a(mod m)恒成立。
即任意整数与自身关于模m同余。
2.对称性：对于任意整数a和b，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
即若a与b关于模m同余，则b与a关于模m同余。
3.传递性：对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
即若a与b关于模m同余，且b与c关于模m同余，则a与c关于模m同余。
三、同余关系的定理1. 除法定理：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r，使得a=qm+r，其中0≤r<m。
即任意整数a可以表示为以m为模的除法形式。
2. 模运算性质：- 同余类的性质：对于任意整数a和正整数m，a关于模m的同余类可以表示为[a]m={b∈Z | b≡a(mod m)}，其中Z表示整数集合。
同余类[a]m是所有与a关于模m同余的整数构成的集合。
- 同余的运算性质：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡a' (mod m)且b≡b' (mod m)，则有a+b≡a'+b' (mod m)，a-b≡a'-b' (mod m)，ab≡a'b' (mod m)。
3. 唯一性定理：对于给定的整数a、b和正整数m，存在整数x，使得a≡b (mod m)的充分必要条件是a和b对m的余数相同。
即a和b关于模m同余的充分必要条件是它们对m的余数相同。
4. 同余定理：对于任意整数a、b和正整数m，若a≡b (mod m)，则a^n≡b^n (mod m)，其中n是正整数。
同余与模运算的性质与应用
同余与模运算的性质与应用在数学中，同余是一个重要的概念，它与模运算密切相关。
同余关系是指对于两个整数a 和b，若它们除以某个整数m 所得的余数相等，则称 a 与 b 同余，记作a ≡ b (mod m)。
同余关系具有以下性质和应用，下面将逐一进行探讨。
一、性质：1. 反身性：对于任意整数 a，有a ≡ a (mod m)。
2. 对称性：如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)。
3. 传递性：如果a ≡ b (mod m) 且b ≡ c (mod m)，则 a ≡ c (mod m)。
4. 同余定理：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则a±c ≡ b±d (mod m)，ab ≡ cd (mod m)。
其中 ±表示加法或减法。
二、应用：1. 模重复性：对于一个模 m，同余式的结果具有周期性的特点。
例如，对于任意整数 a，a+2m ≡ a (mod m)，即 a 与 a+2m 同余。
这种周期性的特点在计算中具有很大的应用价值。
2. 素数判定：同余关系可以用于判定一个数是否为素数。
根据费马小定理，对于任意素数 p 和不为 p 的整数 a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
因此，如果对于某个 a，a^(p-1) ≢ 1 (mod p)，则 p 一定不是素数。
这为素数的判定提供了一种有效的方法。
3. 数据加密与安全：同余关系在数据加密和安全领域有广泛应用。
其中最典型的例子就是 RSA 加密算法。
RSA 算法基于大数的分解困难性问题，通过同余关系实现了数据的加密和解密过程。
4. 数字校验：同余关系可以用于数字校验，例如校验码的生成和校验等。
通过对数据进行同余计算，可以检测数据在传输或存储过程中是否发生错误。
5. 互模运算：互模运算是同余关系的另一种扩展形式。
对于给定的两组模数 m1 和 m2，如果两个整数 a 和 b 满足a ≡ b (mod m1) 且a ≡ b (mod m2)，则称 a 与 b 互模同余。
同余
a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ， 因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必 要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2
22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。 定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .
同余的 概念与性质
由上例可知，同样的两个数关于不同的模同余关系可能不相同．
例3. 2 求证：(1) 如果a除以m的余数为r(0≤r<m), 那么 a≡r (modm); (2)如果a ≡r (modm)，0≤r<m，那么a 除以m的 余数为r。
证明 (1) 由题意得可设， a＝mq+r ( 0≤r<m ) ． 由于0≤r<m ，所以r除以m的不完全商为0，余数为r，即 r ＝m· ０+r ( 0≤r<m ) ． 根据同余概念，可得a≡r(modm); (2) 因为a ≡ r(modm)，所以由同余概念可得· a＝mq1+R , r＝mq2+R，( 0≤R<m )， 又因为０≤r<m，所以q2＝0，即R＝r. 因此 得 a＝mq1+r (0≤r<m)．即a被m除，所得的余数为r．
例3. 12 把由1开始的自然数依次写下来，直写到 第201位为止，就是 201位
12345678910111213…
试问这个数除以3的余数等于几?
解 因为1～9写在一起构成九位数，10～99写在一 起为90 X 2＝180位数，所以由1开始的自然数依 次写到99，合计为189位数，由于201－189=12， 因此只需在1写到99后再写上100，101，102，103 四个数．即从１开始的自然数依次写到103就构成 一个201位数(由103个连续的自然数组成）． 因为每三个连续自然数的各位数字之和能被3除， 103≡1(mod3)，所以这个数除以3的余数为1．
从例3．6的证明，还可以得出如下的结论：
如果 a ≡ b (modm)，又d 能整除m以及整除a，b两 个数中的一个，则d 必能整除a，b中的另一个．
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
二、剩余类与剩余系
定理2.2.1 设m为正整数，则全部整数可分成m个 集合,记作[0]，[1]，…，[m－1]，其中[r] (0 ≤ r ≤m－1)是由一切形如 mq + r (q∈Z) 的整数所组 成的，并且具有下列性质： (1)每一整数必包含在而且仅在上述的一个集合中.
(2) x3 + 2x－12≡0 (mod7)． 0, 1, …, 6逐一代入(2) 求解
定义: 如果 a , b 都是整数， m 是一个正整数，那么 当 a ≡ 0 ( mod m）时，我们把 ax ≡ b ( mod m ) 叫做 模m的一次同余方程（或同余式） . 定理 3.1.1 若设m为正整数, a , b为整数, (a，m)=1，
一次同余方程有解的解法 一、欧拉定理法解一次同余方程
定理 3.1.2 若 m 为正整数, a , b为整数, (a， m)=1，则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )的唯 m 1 一解为 x ba mod m .
二．同余变形法（系数消去法）
根据同余性质，施行适当的变形求解a≡b(modm):
第二章
同余
一、同余的概念及基本性质
1、同余的概念:
定义2. 1
设m为正整数，称为模。若用m去除两 个整数 a 和 b 所得的余数相同，则称a 和b 对模 m 同余, 记作 a ≡b (mod m). （ 1） 读作a 同余于b 模m。 若a 和b 除以m 所得余数不同，则称a， b 对模m 不同余，记作 a b (mod m).
2015年5月8日9时1分
E
New
弃九法
正整数四则运算(含乘方) 的快速验算方法
若通过计算，a、b的和与积分别是s与p. 而r1、r2、
同余的概念及其基本性质
4.证明：641 232 1 解：依次计算对模641的同余数
22 4，24 16，28 256， 216 256 256 154(mod641) 232 154 154 1(mod641) 232 1 0(mod641)
5.设a为奇数，则a2n 1(mod 2n2 ) (n 1). 解：设a = 2m 1， 当n = 1时，有 a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)（*）成立。 设式(*)对于n = k成立，则有
a2k 1(mod 2k2 ) a2k 1 q 2k2 所以 a2k1 (1 q 2k2 )2 1 q 2k3 q2 2(k2)2 记 1 q'2k3 1(mod 2k3 ),q' Z. 这说明式(*)当n = k 1也成立。由归纳法得证.
一般地，求a bc 对模m的同余的步骤如下： ① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
③ abc ar (mod m)
——减小幂指数
练习：若a Z ,证明 10|a1985 a1949 . 提示：a5 a(mod10)
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
六年级同余数问题知识点
六年级同余数问题知识点同余数问题是六年级数学中较为重要的一个知识点，它涉及到数字的整除性质和模运算等概念。
通过学习同余数问题，孩子们不仅可以培养逻辑思维和数学运算能力，还可以拓宽数学思维的广度，为今后的数学学习打下坚实的基础。
下面将介绍六年级同余数问题的相关知识点。
1. 同余数的定义在数学中，我们用“a≡b(mod n)”来表示“a与b对于模n同余”，即a除以n所得的余数与b除以n所得的余数相等。
另外，模n的余数也可以用“[a]n”来表示。
2. 同余数的性质(1) 若a≡b(mod n)，则a+k*n≡b(mod n)，其中k为任意整数。
(2) 若a≡b(mod n)，且b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)。
(3) 若a≡b(mod n)，则a的加、减、乘、除的运算结果与b的加、减、乘、除的运算结果对模n同余。
(4) 若a≡b(mod n)，则对a和b的比较运算结果与对模n的比较运算结果相同。
3. 同余数问题的解决方法(1) 列举法：通过列举题目中所给的数，找出满足同余关系的数对，并确定它们能够满足题目的要求。
(2) 推理法：通过对同余关系的性质进行推理，得出问题的解。
(3) 定理法：运用同余定理进行问题的求解。
常用的同余定理有欧拉定理和费马小定理等。
4. 同余数问题的应用同余数问题不仅在数学中具有重要的地位，也广泛应用于密码学、通信工程、分组密码等领域。
通过同余数问题的研究，人们可以建立起一套完善的密码系统，保护个人信息的安全性。
5. 同余数问题的习题(1) 求解同余方程：给定一个同余方程a*x≡b(mod n)，求解未知数x的取值范围。
(2) 判断同余关系：对于给定的两个数a和b，判断它们是否满足a≡b(mod n)的同余关系。
(3) 应用问题：类似数字游戏的应用题目，涉及到时间、积分和货币等实际问题。
通过学习六年级的同余数问题，孩子们不仅可以锻炼数学思维和逻辑推理能力，还可以在应用题中培养数学运用的能力。
同余理论—同余的概念与同余基本性质(小学数学课件)
则有：127156 = 5056 = 5054 × 502 = 5027
2
× 502
又因为502 ≡ 58 111 ，503 ≡ 14 111 ，509 ≡ 80 111 ，
（509 ）3 ≡ 68（111）， 5027
2
× 502 ≡ 16（111）
即可得（16 + 34）28 除以111
5028 = 5027 × 50 ≡ 68 ×50（mod111）≡ 70（111）
同余基本性质在小学中的应用
例1.求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而应得到，即
437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？
(mod m)。
1.可加性
a c b d (mod m)
；
2.可乘性
ac bd (mod m);
3.可幂性
ak ≡ bk (modm).
同余基本性质的运用
例1.今天是星期日，过20042004 天后的今天是星期几？
分析：20042004 这个数很大，我们很难直接判断7除20042004 的余数是几。现在我们想办法把
20042004 变小。首先考虑的是7除底数2004的余数是几，利用这个余数替换底数2004，然后降次，
反复进行这个过程，直至去掉指数。
解：
因为2004=7×286+2，所以2004≡ 2 7 .由同余的性质，
又20042004 ≡ 22004 (7）
而22004 = 8668 ，所以22004 ≡ 8668 (7）
又因为8 ≡1(7），所以8668 ≡ 1668 7
同余
或21+X+Y=36，X-Y+13=22
X+Y=6，X-Y=-2，或X+Y=15，X-Y=9， 解得X=2，Y=4。
例3 ：求111 被7除的余数。
50
解：∵111111被7整除，
∴
11 1
50
≡11（mod 7）≡4（mod 7）
即余数为4。
例4：求( 257
解： ( 257
i0
( 1 ) a i (mod
i
7)
n
即有7|a的充要条件是 7| 对模11和13同理可证。 注：这里用的是1000进制。
( 1) a i
i
i0
例1:1234567891011…2005 除以3的余数是多少.
解:因为一个数除以3的余数,即其各位数字和 除以3 的余数.所以所求余数
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
例判断 28997*39495=1114523641 5是否正确
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
定义：称k0 ,k1,…km-1叫做模m的剩余类，设 a0,a1…am-1是m个整数，并且其中任何两数都不 在一个剩余类里，则a0,a1…am-1叫做模m的一个 完全剩余系(简称完系)
第三章 同余
§1 同余的概念及其基本性质
在日常生活中，我们常接触到一些周 期为正整数性的问题.例如：问火车下午2 点从金华出发,30小时后到广州,则到广州 是几点?就是24去除30所得的余数6加2,即 晚上8点到广州,这就是同余问题.今天是星 期一,问过了100天后是星期几等……．,现 在同余理论已发展成为初等数论中内容丰
b. 由同余的定义可知: 相等必同余，同余未 必相等，不同余肯定不相等,这是一种很好 的方法，尤其在证明不相等时非常有用。
同余与模运算的性质与应用
同余与模运算的性质与应用同余与模运算是离散数学中重要的概念，它们具有广泛的应用，涉及密码学、编码理论、计算机科学等多个领域。
本文将介绍同余与模运算的性质，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、同余的定义及性质在数论中，对于整数a和b，如果它们除以正整数m所得的余数相同，即(a mod m) = (b mod m)，我们称a与b同余于模m，记作a ≡ b (mod m)。
同余关系具有以下性质：1. 传递性：如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则有a ≡ c (mod m)。
2. 对称性：如果a ≡ b (mod m)，则有b ≡ a (mod m)。
3. 反身性：对于任意整数a，有a ≡ a (mod m)。
4. 同余关系的基本运算性质：若a≡b (mod m)，c≡d (mod m)，则a±c≡b±d (mod m)，ac≡bd (mod m)。
二、模运算的性质及运算规则模运算是指对于整数做除法后得到的余数。
模运算具有以下性质：1. 模运算的基本性质：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和非负整数r，使得a=qm+r，其中0 ≤ r < m。
2. 模运算的加法性质：若a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则a+c ≡b+d (mod m)。
3. 模运算的乘法性质：若a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)。
4. 模运算的幂运算性质：若a ≡ b (mod m)，则对于任意正整数k，有a^k ≡ b^k (mod m)。
三、同余与模运算的应用1. 同余在密码学中的应用：同余算法在密码学中扮演着重要的角色，例如RSA加密算法就是基于大数的同余算法。
利用同余关系，可以实现对数据的加密和解密，确保数据传输的安全性。
2. 同余方程的求解：同余方程在许多实际问题中都有应用，例如建立日历、计算星期几等。
初中数学重点梳理：同余式
同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。
本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。
（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。
反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。
于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4： 若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。
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