清华大学电路原理课件-12

R2 X 2
(ω
)
tg
1
L
1
C
tg 1
XL
XC
tg 1
X
幅频特性
R
R
R
|Z()|
|Z()|
XL() X()
()
/2
相频特性
R
0
0
XC()
0
0
–/2
2. 电流谐振曲线
谐振曲线：电压、电流与频率的关系。
幅值关系：
I(ω)
U
R2
(L
1
C
)2
I( )
U/R1
U/R2
0
0
3. 选择性与通用谐振曲线 （a）选择性（selectivity）
R
j(L
1
C
)
R
j( X
L
XC
)
|
Z
|
U _
j L
当L 1 , 感性
1
C
jω C
当L 1 , 即 容性
串联谐振（Series Resonance）
C
ω0
根据 1 谐振的谐定振义角频ωL率（1rCeson0ant即anguωlLarfre1Cquency）
LC
f0
2π
1 LC
谐振频率（resonant frequency）
若RLC串联电路中，有不同频率的电压源同时作用时，
则接近谐振频率0 的电流将可能大于其它偏离谐振频率的
电流而被选择出来，这种性能在无线电技术中称为“选择 性”。
I()
0
0
例
R
+
u1_
+ u2
_
+ u3
_
f （kHz）
L（）
1 （） ωC
X（） I=U/|Z| （mA）
一接收器的电路参数为：
L=250mH ， R=20 ， C=150pF L （已调好），U1=U2= U3 =10mV，
C 0=5.5106 rad/s， f0=820 kHz。
电台1 820 1290 1290
0 I0=0.5
电台2 640 1000 1660
– 660 I1=0.015
电台3 1026 1612 1034
577 I2=0.017
I(f ) I0
I1 3.0% I0
I2
I2 3.4%
I1
I0
0 640 820 1200 f / kHz
1 2
LI
2 m
sin2
0t
磁场能量
WLm=WCm
w总
wL
wC
1 2
LI
2 m
1 2
CU
2 Cm
即:能量交换只在L，C之间进行 ，与电源间无能量交换。
wL
wC
w总
i
uC
四、特性阻抗和品质因数
1. 特性阻抗（characteristic impedance）
0L
1
0C
L C
仅由电路参数决定。
2. 品质因数（quality factor）Q
Ie tej(t ) Ie t cos(t ) Ie t sin(t )
i Im[Ie tej(t ) ] Im[Iej e( ] jt )
令 s j, I Iej , 则
i Im[Iest ]
I 即为代表电流i的复数。对应一定的s，i与 I 有一一对应关系。表示为
iI
s j ——复频率。
(L
1
C
)2
QU
1 Q 2 (1 1 )2
η2
η2
UC (ω)
I
C
C
U
R2
(L
1
C
)2
QU
η 2 Q 2 (η 2 1)2
当 =Cm时，UC()获最大值； 当 =Lm时，UL()获最大值。且UC(Cm)=UL(Lm)。
(条件是 Q 1 / 2)
U()
UC(Cm)
QU U
UL( )
0
Cm 1Lm
选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，形状愈尖选择性愈好。 若LC不变，R大，曲线平坦，选择性差。
（b） 通用谐振曲线
ω ω η, I(ω) I(ω)
ω0
I(ω0 )
I(ω) U / | Z |
I(ω0 ) U / R
R
R2 (L 1 )2
C
1
1 (ω0 L ω 1 ω0 )2
R ω0 ω0 RC ω
单位：
Q ω0 L 1 1 L
R R ω0 RC R C
同样仅由电路的参数决定。
无量纲
Q ω0 L ω0 LI0 U L0 UC 0 R RI0 U U
利用：例某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20
L 1290 Ω
C
Q
R
65
若信号电压10mV, 则电感上电压为650mV。
LC L
C
当 R L时, 不可能发生谐振。 C
当电路发生谐振时，电路的入端阻抗为
Z(ω0 )
R2
(ω0 L)2 R
L RC
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12.3 串并联电路的谐振
由纯电感和电容所构成的串并联电路
L3
C3
L1
C2
L1
C2
（a） 定性分析
（b）
电路既可以发生串联谐振（Z=0），又可以发生并联谐 振（Z=）。有两个谐振点。
避免： 电力系统中，由于系统电源电压比较高，一
旦发生谐振，会因过电压而损坏设备绝缘。
五、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
1. 阻抗的频率特性（frequency characteristic）
Z
R
j(ωL
1 ωC
)
|
Z
(ω)
|
φ
(ω)
| Z(ω) |
R2
(L
1
C
)2
R2 (X L XC )2
并联谐振
当Z( )=0，即分子为零
1 ω2 L1(C2 C3 ) 0
ω2
1 L1 (C 2 C 3 )
串联谐振
(ω1 ω2 )
阻抗的频率特性
Z ()=jX()
X()
图（a）电路
0
1
2
Xபைடு நூலகம்)
图（b）电路 0
2 1
LC串并联电路的应用
可构成各种无源滤波电路（passive filter）。
定量分析：
图（a）电路：
Z(ω) jL3
jL1
(
1
jC
2
)
jL1
1
jC 2
j L3
L1 ω2 L1C 2
1
j
ω3
L1
L3C2 ω(L1 ω2 L1C2 1
L3 )
当Z()=，即分母为零
ω12 L1C 2 1 0
ω1
1 L1C2
（并联谐振）
当Z()=0，即分子为零
ω23 L1L3C2 ω2 ( L1 L3 ) 0 可求得
P UI cos RI02
Q UI sin 0
+
u_
LC
Q R
P
6. 能量
设 u Um sin0t
则
i
Um R
sin0
t
Im
sin0
t
uC
Im
0C
sin(0t
90)
L C
Im
cos
0t
U Cm
sin(0t
90)
wC
1 2
CuC2
1 2
LI
2 m
cos 2 0t
电场能量
wL
1 2
Li 2
C3
L1
+ u1(t)
_
+ C2 R u2(t)
_
取 ω2
1 ，使L1和C2发生并联谐振，此时L1和C2 L1C 2
并联支路阻抗为，相当于开路，负载端没有2电压分量。
取 ω1
1
电路发生串联谐振，虚框内呈短
L1 (C2 C3 )
路，1 电压分量直接加到负载R上。
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12.4 复频率和相量法的推广
二、相量法的拓广
在相量法中有
(1)
若 i1 I1， i2
I
，
2
则 i1
i2
I1 I2
(2)
若
i
I，
则
di dt
j I
(3)
若 i I，
则
idt
1
j
I
在指数正弦激励下，类似有
(1)
若 i1 I1， i2
I
，
2
则 i1
i2
I1 I2
(2)
若 i I，
则
di dt
sI
(3)
若 i I， 则
1
1 (L 1 )2 R RC
1
1 (Q ω Q ω0 )2
ω0
ω
令＝ / 0 ，可得
I(η )
I0
1 1 Q 2 (η 1 )2
η
I(η ) I0
1
Q=0.5
Q=1
0
1
Q=10
串联谐振电路的通用谐振曲线
4. UL()与UC()的频率特性
U L (ω)
LI
L
|
U Z
|
LU
R2
UC()
可以证明
1 ωCm ω0 1 2Q 2 ω0
2Q 2 ωLm ω0 2Q 2 1 ω0
Lm•Cm =02
U C (ωCm ) U L (ωLm )
QU QU
1 1 4Q 2
Q越大，Lm和Cm 越靠近0。
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12.2 并联电路的谐振
一、简单 G、C、L 并联电路
+
一、指数正弦形电流
i(t ) Ie t sin(t )
i(t)
i(t)
i(t)
0
t
<0, 0
i(t)
0
t
<0, 0
i(t)
0
t
<0, =0
0
t
>0, =0
0
t
=0, 0
i(t)
0
t
=0, =0
指数正弦形电流
i(t ) Ie t sin(t )
可引入一复指数函数来表示它。由欧拉公式：
可见
二、使RLC串联电路发生谐振的条件
1. L ,C 不变，改变 电源频率f（角频率） 2. 电源频率f （角频率）不变，改变 L 或 C （ 常改变C ）
三、RLC串联电路谐振时的特点 1. U与I同相。
2. 入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。 |Z|
R
0
0
3. 电流I 达到最大值I0=U/R（U一定）。 4. 电压 U R U , U L U C 0
并联谐振
IS
U G C L （Parallel Resonance）
_
对偶：
R L C 串联
Z
R
j(L
1
C
)
ω0
1 LC
G C L 并联
Y G j(C 1L)
ω0
1 LC
R L C 串联
|Z|
R
0
0
I()
U/R
0 0
U L
U R U
I
U C
G C L 并联
|Y|
G
0
0
U()
IS/G
0 0
idt
1 s
I
线性非时变电路在指数正弦形的激励下，当激励的
复频率s=+j不等于电路微分方程的特征根时，电路的
强制分量也具有与激励相同的指数正弦形式。
可将相量法拓广，应用于指数正弦形的激励下求强 制响应。
1. 复数形式的基尔霍夫定律
KCL KVL
i 0 I 0 u 0 U 0
2. RLC元件方程的复数形式
ω2
L1 L3 L1 L3C 2
（串联谐振）
（1<2）
图（b）电路：
Z(ω1 )
1
jC
jL1
1
jC 2
jL1
1
jC 2
1
jC 3
jL1
1 ω2 L1C 2
j
1 ω2 L1 (C2 C3 )
C3 (1 ω2 L1C2 )
当Z()=，即分母为零 C3 (1 ω2 L1C2 ) 0
ω1
1 L1C 2
第12章 电路的频率特性
本章重点
12. 1 串联电路的谐振 12. 2 并联电路的谐振 12. 3 串并联电路的谐振 12. 4 复频率和相量法的推广 12. 5 网络函数 12. 6 滤波器的概念 12. 7 无源滤波器 12. 8 有源滤波器
本章重点
• 电路发生谐振的条件 • 谐振电路的特点 • 谐振频率的计算 • 相量法的拓广 • 网络函数 • 频率特性 • 滤波器的概念
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12.1 串联电路的谐振
谐振（resonance）是正弦交流电路在特定条件下所产生 的一种特殊物理现象。
谐振的定义:
I
+
U
-
含LC 网络
在正弦交流稳态下，当含LC的一端口网络输入端的 电压、电流同相时，则称该网络处于谐振状态 （resonance state）。
一、 谐振频率
I R +
Z
例 已知激励 u1(t)包含1和 2 (1<2)两个频率分量， u1(t) =u11(t)+u12(t)=U11msin1 t+U12msin2 t 。试设计 电路，要求响应u2(t)中不含有频率为2的电压分量， 即u2(t) =U11msin1 t 。
+
u1(t)
u2(t)
_
解 下图LC滤波网络可满足设计要求
2πf0
C G
ω0C G
二 、电感线圈与电容并联
I
+ R IL
IC
U
jL
1
jC
-
IC
I
U
I L
谐振时的电压、电流相量图
Y
jC
1
R jL
R2
R
(L)2
j(C
R2
L (L)2
)
G jB
谐振时 B=0，即
C L 0 R2 (L)2
求得
ω0
1 ( R)2 LC L
由电路参数决定。
当 1 ( R )2 , 即 R L时, 改变频率可能发生谐振。
+
uS
L
解 复频率下的电路模型如图。
-
复频率阻抗Z(s)=R+sL
IR
I U S U
U
Z(s) R sL (R L) jL
+
U S
sL
U
ej( ) Iej
(R L)2 (L)2
复频率下的
其中 I
U
, arctan L
(R L)2 ( L)2
RL
电路模型
所以
i
U
et sin(t )
IC
IG IS
U
I L
R L C 串联 电压谐振
UL(0)=UC (0)=QU
Q ω0 L 1 1 L R ω0 RC R C
G C L 并联 电流谐振
IL(0) =IC(0) =QIS Q ω0C 1 1 C
G ω0GL G L
Q推导过程如下：
由定义得
Q
2π
1 2
CU
2 Cm
T GU 2
电阻元件： u Ri U RI
电感元件：
u
L
di dt
U
sLI
电容元件：
u
1 C
idt
U
1 sC
I
此时电路元件可用复频率s下的阻抗 R, sL和 1 表示。
sC
I
I
I
+
+
U R
RU
-
-
+ sL U
-
1 sC
复频率下的RLC元件模型
例 已知uS (t ) Ue t sin(t )。
iR
求电流i 的强制分量。
当0L=1/(0C)>>R时， UL= UC >>U
I R
+
U
+ U R
_ U+_ L
jL
_
U
+ C_
1 jω C
串联谐振又称电压谐振。
U L
U R U
I
U C
谐振时电压、 电流的相量图
5. 功率
负载吸收
P=RI02=U2/R
QL
ω0
LI
2 0
QC
1
ω0C
I
2 0
Q QL QC 0
电源发出