人教A版数学高二选修2-2学案数系的扩充和复数的概念

3．1.1数系的扩充和复数的概念

预习课本P102～103，思考并完成下列问题

(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？

(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？

[新知初探]

1．复数的有关概念

a＋b i|a，b∈R中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 我们把集合C＝{}

叫做虚数单位．

全体复数所成的集合C叫做复数集．

复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．

[点睛]复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非b i.

(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．

2．复数相等

a＋b i|a，b∈R中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规定：在复数集C＝{}

a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.

3．复数的分类

对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当

b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：

复数z ⎩

⎪⎨⎪⎧

实数(b ＝0)，

虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).

[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1，3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i

答案：C

3．复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1

答案：B

复数的概念及分类

[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚

数？(3)纯虚数？

[解] (1)当x 满足⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2x －15＝0，

x ＋3≠0，

即x ＝5时，z 是实数．

(2)当x 满足⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2x －15≠0，

x ＋3≠0，

即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．

(3)当x满足

⎩⎪

⎨

⎪⎧x2－x－6

x＋3

＝0，

x2－2x－15≠0，

x＋3≠0，

即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

复数分类的关键

(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)时应先转化形式．

(2)注意分清复数分类中的条件

设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a ＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且b＝0.

[活学活用]

当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？

解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，

∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数．

(2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．

(3)当m满足

⎩⎪

⎨

⎪⎧m2－3m＝0，

m2－m－6≠0，

即m＝0时，z为纯虚数.

复数相

等

[典例] m的值为________，方程的实根x为________．

[解析]设a是原方程的实根，

则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，

即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，

所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，

所以a＝－

1

2且⎝

⎛

⎭

⎫

－

1

22－

1

2＋3m＝0，

所以m＝

1

12.

[答案]

112 －12

[一题多变]

1．[变条件]若将本例中的方程改为：x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 如何求解？

解：设实根为x 0，代入方程，由复数相等定义，得⎩

⎪⎨⎪⎧

x 20＋mx 0＝－1，

2x 0＝－m ，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，m ＝－2或⎩

⎪⎨⎪

⎧

x 0＝－1，m ＝2，

因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1，当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1. 2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x 2－m

2x －1＝(10－x －2x 2)i ，如何求解？

解：设方程实根为x 0，则原方程可变为3x 20－m 2x 0－1＝(10－x 0－2x 2

0)i ，由复数相等定义，得：

⎩⎪⎨⎪⎧

3x 20

－m 2x 0－1＝0，10－x 0－2x 20＝0，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x 0＝2，m ＝11或

⎩⎨⎧

x 0＝－52

，

m ＝－715

，

因此，当m ＝11时，原方程的实根为x ＝2； 当m ＝－

715时，原方程的实根为x ＝－52.

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．

层级一 学业水平达标

1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i

D.2＋2i