特殊三角形复习课
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x+x+4x=180 或 x+4x+4x=180
X=30 4x=120
X=20
答：这个等腰三角形的顶角度数为20或120度
精选课件
5
4、已知在△ABC中，AB=AC，
BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与 CE相交于M点。求证：BM=CM。
A
精选课件
E
M
12 B
D
C
6
方程思想+分类思想
5、已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分 成 9cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。
A
A
40°
40°
B
C
B
C
分类思想
三角形的高线位置进行分 类
精选课件
高线在三角形内 高线在三角形上 高线在三角形外4
分类思想（按角分类）+ 方程思想
4、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为
1:4，则这个等腰三角形的顶角的度数为
（
C
） A.
20°
B. 120°
C. 20°或120° D. 36°
解：设这两内角的度数分别为x和4x，由题意得
A 110°
B
20°
50° C
精选课件
16
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
C
C
20°
20°
65° 65° 50°
110° 35°
35°
A
BA
BA
B
C
C
20° 20°
A
BA
C
50° 50°
B
80°
20°
80°
A
B 精选课件
17
小结
1、转化思想: 边
角
2、分类思想: 边 (腰与底边) 内角(顶角与底角) 外角(与顶角相邻,与底角相邻)
精选课件
1
1、等腰三角形腰两长边的为长3，分底别为边32长和为4 4，则周 长为__1_0_1或1_00_1_1_
腰长为34，底边长为42，周长为34+34+42=10 腰腰长长为为24，，底底边边长长为为43，，三周边长不为能4+构4+成3三=1角1 形
腰
分类思想 边不明确，对边进行分类 底
注意：根据三角形的三边关系判断三边是
3、数学模型：等腰三角形三线合一
精选课件
18
1、满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是（C ）
A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A+∠B
C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
D、a:b:c=5:12:13
2、已知a，b，c为三角形的三边长，且 a2c2-b2c2=a4 - b4，请判断这个三角形的形状
精选课件
19
3、如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇
∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160米，假 设拖拉机行驶时，周围100米内受噪音影响，那么拖 拉机在公路MN上以8米每秒的速度沿PN方向行驶时。
关系？你能说明理由吗？
BE＋CF=EF A
（3）若AC=12，则ΔAEF的周长为多少？ (24)
相等线段之间的转化 （4）若 ∠ABC≠其∠他AC条B件，
E
O
F
当AB=12，AC=8时你能求ΔAEF的周
长吗？
B
ΔCEF的周长=AC+B精C选=课2件0
C
11
变式1：如图,在△ABC中, ∠ABC，
∠ACB的外角平分线交于点O．过点O作
EF∥BC,交直线AB于E,交直线AC于F．且
BO⊥AC，垂足为G，请说明BE=AE+CF 的
理由。 解：由上题可得BE=OE，OF=CF ∵ BO平分∠ABC
∴ ∠ABO= ∠CBO 又∵ BO⊥AC
∴ ∠AGB= ∠CGB
A
EF
O
∵BG=BG
∴ △ABG ≌△CBG （ASA）
G
∴ ∠A= ∠GCB
EF∥BC,交直线AB于E,交直线AC于E．那么
BE+CF=EF 仍然成立吗？
A
B
C
E
O
精选课件
F
12
变式2：如图,在△ABC中, ∠ABC的平 分线与∠ACB的外角平分线交于点O．过 点O作EF∥BC,交直线AB于E,交直线AC于 F．那么BE、CF、EF 之间存在什么关系？
请写出你的猜想，并说明理由。
AB+AM=9
M 对两部分
CM+BC=6
进行分类：
AB+AM=6 CM+BC=9
精选课件
7
6、如图，在△ABC中，D，E在直线BC上，
且AB=AC=CE=BD，∠DAE=100°，求
∠EAC的度数。
A
xx 180-4x
x
2x 2x
x
D
B
C
E
精选课件
8
7、如图, ∠ AOB是一钢架, 为使钢架更加坚 固,需在内部添加一些钢管EF.FG.GH……添加
否能构成三角形
精选课件
2
2、等腰三角形一个内底角的度数为81000°°，则这 个三角形的顶角度数为_2_1_02_0_°0_0_°°_或80°
分类思想 角不明确，对角进行分类
顶角 底角
注意：根据三角形的内角和定理判断三角 形是否存在
精选课件
3
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为40°,则其顶角为____5_0__或___1_3_0度
解：BE-CF=EF，理由如下：
∵BO平分∠ABC
∴ ∠ABO= ∠CBO
又∵ EF∥BC
E
∴ ∠EOB= ∠CBO
∴ ∠ABO= ∠EOB
∴BE=OE 同理，得：OF=CF B
∴BE-CF=OE-OF=EF 精选课件
A F
C
O
M
13
变式3：如图,在△ABC中, ∠ABC的平分线
与∠ACB的外角平分线交于点O．过点O作
的钢管的长度都与OE相等，且RQ⊥OB，求
∠AOB的度数 我是否还可以再放几根同样长的钢管上去？
PR
A
O
x
E 2x
x
G
2x 4x
M
4x
6x
6x 8x
3x
F
3x
5x
H
5xN7x7Qx
B
x+8x=90
精选课件
9
变式练习
如图，∠AOB是一角度为15°的钢架，要使钢架 更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、 GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够 长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为
又∵ EF∥BC
∴ ∠AFE= ∠GCB ∴ ∠A= ∠AFE
B
CM
∴AE=EF
∴BE=OE=EF+FO=AE+精C选F课件
14
想一想，画一画
如图，线段OD的一个端点O在直线a上， 以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶 点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
Ｄ
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
精选课件
15
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形
A
E G 30° 30° 60° 60°90°
O 15°
15°
45° 45°75°75°
F
H
B
精选课件
10
Байду номын сангаас
例题分析 学以致用
例1:在△ABC中,∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC ，CO 平分∠ACB,过O点作EF∥BC，分别交ＡＢ，ＡＣ于Ｅ， Ｆ（1）图中共有几个等腰三角形？
相等角之间的转化
（2）BE, CF，EF之间有什么
X=30 4x=120
X=20
答：这个等腰三角形的顶角度数为20或120度
精选课件
5
4、已知在△ABC中，AB=AC，
BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与 CE相交于M点。求证：BM=CM。
A
精选课件
E
M
12 B
D
C
6
方程思想+分类思想
5、已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分 成 9cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。
A
A
40°
40°
B
C
B
C
分类思想
三角形的高线位置进行分 类
精选课件
高线在三角形内 高线在三角形上 高线在三角形外4
分类思想（按角分类）+ 方程思想
4、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为
1:4，则这个等腰三角形的顶角的度数为
（
C
） A.
20°
B. 120°
C. 20°或120° D. 36°
解：设这两内角的度数分别为x和4x，由题意得
A 110°
B
20°
50° C
精选课件
16
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
C
C
20°
20°
65° 65° 50°
110° 35°
35°
A
BA
BA
B
C
C
20° 20°
A
BA
C
50° 50°
B
80°
20°
80°
A
B 精选课件
17
小结
1、转化思想: 边
角
2、分类思想: 边 (腰与底边) 内角(顶角与底角) 外角(与顶角相邻,与底角相邻)
精选课件
1
1、等腰三角形腰两长边的为长3，分底别为边32长和为4 4，则周 长为__1_0_1或1_00_1_1_
腰长为34，底边长为42，周长为34+34+42=10 腰腰长长为为24，，底底边边长长为为43，，三周边长不为能4+构4+成3三=1角1 形
腰
分类思想 边不明确，对边进行分类 底
注意：根据三角形的三边关系判断三边是
3、数学模型：等腰三角形三线合一
精选课件
18
1、满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是（C ）
A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A+∠B
C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
D、a:b:c=5:12:13
2、已知a，b，c为三角形的三边长，且 a2c2-b2c2=a4 - b4，请判断这个三角形的形状
精选课件
19
3、如图，公路MN和小路PQ在点P处交汇
∠QPN=30°，点A处有一所学校，AP=160米，假 设拖拉机行驶时，周围100米内受噪音影响，那么拖 拉机在公路MN上以8米每秒的速度沿PN方向行驶时。
关系？你能说明理由吗？
BE＋CF=EF A
（3）若AC=12，则ΔAEF的周长为多少？ (24)
相等线段之间的转化 （4）若 ∠ABC≠其∠他AC条B件，
E
O
F
当AB=12，AC=8时你能求ΔAEF的周
长吗？
B
ΔCEF的周长=AC+B精C选=课2件0
C
11
变式1：如图,在△ABC中, ∠ABC，
∠ACB的外角平分线交于点O．过点O作
EF∥BC,交直线AB于E,交直线AC于F．且
BO⊥AC，垂足为G，请说明BE=AE+CF 的
理由。 解：由上题可得BE=OE，OF=CF ∵ BO平分∠ABC
∴ ∠ABO= ∠CBO 又∵ BO⊥AC
∴ ∠AGB= ∠CGB
A
EF
O
∵BG=BG
∴ △ABG ≌△CBG （ASA）
G
∴ ∠A= ∠GCB
EF∥BC,交直线AB于E,交直线AC于E．那么
BE+CF=EF 仍然成立吗？
A
B
C
E
O
精选课件
F
12
变式2：如图,在△ABC中, ∠ABC的平 分线与∠ACB的外角平分线交于点O．过 点O作EF∥BC,交直线AB于E,交直线AC于 F．那么BE、CF、EF 之间存在什么关系？
请写出你的猜想，并说明理由。
AB+AM=9
M 对两部分
CM+BC=6
进行分类：
AB+AM=6 CM+BC=9
精选课件
7
6、如图，在△ABC中，D，E在直线BC上，
且AB=AC=CE=BD，∠DAE=100°，求
∠EAC的度数。
A
xx 180-4x
x
2x 2x
x
D
B
C
E
精选课件
8
7、如图, ∠ AOB是一钢架, 为使钢架更加坚 固,需在内部添加一些钢管EF.FG.GH……添加
否能构成三角形
精选课件
2
2、等腰三角形一个内底角的度数为81000°°，则这 个三角形的顶角度数为_2_1_02_0_°0_0_°°_或80°
分类思想 角不明确，对角进行分类
顶角 底角
注意：根据三角形的内角和定理判断三角 形是否存在
精选课件
3
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为40°,则其顶角为____5_0__或___1_3_0度
解：BE-CF=EF，理由如下：
∵BO平分∠ABC
∴ ∠ABO= ∠CBO
又∵ EF∥BC
E
∴ ∠EOB= ∠CBO
∴ ∠ABO= ∠EOB
∴BE=OE 同理，得：OF=CF B
∴BE-CF=OE-OF=EF 精选课件
A F
C
O
M
13
变式3：如图,在△ABC中, ∠ABC的平分线
与∠ACB的外角平分线交于点O．过点O作
的钢管的长度都与OE相等，且RQ⊥OB，求
∠AOB的度数 我是否还可以再放几根同样长的钢管上去？
PR
A
O
x
E 2x
x
G
2x 4x
M
4x
6x
6x 8x
3x
F
3x
5x
H
5xN7x7Qx
B
x+8x=90
精选课件
9
变式练习
如图，∠AOB是一角度为15°的钢架，要使钢架 更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、 GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够 长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为
又∵ EF∥BC
∴ ∠AFE= ∠GCB ∴ ∠A= ∠AFE
B
CM
∴AE=EF
∴BE=OE=EF+FO=AE+精C选F课件
14
想一想，画一画
如图，线段OD的一个端点O在直线a上， 以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶 点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
Ｄ
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
精选课件
15
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形
A
E G 30° 30° 60° 60°90°
O 15°
15°
45° 45°75°75°
F
H
B
精选课件
10
Байду номын сангаас
例题分析 学以致用
例1:在△ABC中,∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC ，CO 平分∠ACB,过O点作EF∥BC，分别交ＡＢ，ＡＣ于Ｅ， Ｆ（1）图中共有几个等腰三角形？
相等角之间的转化
（2）BE, CF，EF之间有什么