与角有关的辅助线(辅助线)(人教版)
人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD =证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
新人教版数学八年级上册第12章第7课时证全等的辅助线作法(教师版)
新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法导学案一、学习目标1．掌握全等三角形中常见辅助线的添加方法；2．提高解决实际问题的能力．二、知识回顾找全等三角形的方法（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能相等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可以从条件和结论综合考虑，看他们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形．三、新知讲解三角形中常见辅助线的作法：（1）连接两点构造全等三角形例如：已知，AC、BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD，求证：∠A=∠D．分析：要证∠A=∠D，可证它们所在的三角形△ABD和△DCO全等，而只有AB=DC和对顶角．两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如连接BC，则△ABD和△DCO全等，所以，证得∠A=∠D．（2）作倍长中线构造全等三角形若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形．利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．例如：如下图：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD．分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+ BD+CD> AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去．因此，可作辅助线：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE．（3）截长补短构造全等三角形在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．例如：如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC．解析：（截长法）在AB上取中点F，连FD．△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知：DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC（SAS）∠ACD＝∠AFD＝90°，即：CD⊥AC．（4）平移法过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．例如：如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于点D，若EB=CF．求证：DE=DF．分析：因为DE，DF所在的两个三角形△DEB与△DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换，过点E作EG∥CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．连接两点证全等（连公共边构造全等）【例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：DC=AB，AD=BC．总结：四边形问题通常要转化成三角形问题求解，常作辅助线是连接对角线．练1．已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．2．倍长中线证全等（利用中点、中线构造全等）【例2】如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________．D CBA总结：“倍长中线”的实质是用“SAS”构造全等，其中延长中线得到相等的边和对顶角．在遇到中点或中线时，通常用这种方法．练2．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．E DF C B A 3．截长法或补短法证全等【例3】如图，已知在△ABC 内，∠BAC=60°，∠C=40°，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是∠BAC ，∠ABC 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ．P QC BA总结：1.截长法：①在长边上截取一条与某一短边相同的线段；②证剩下的线段与另一短边相等． 2. 补短法：①延长短边；②通过旋转等方式使两短边拼合在一起．练3．如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AD+BC ． EDC B A五、课后小测 一、解答题1．如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE ．ED CBA2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．DCBA3．如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC＞PB-PC．P2 1D CBA4．如图2，AD为△ABC的角平分线，AB>AC，求证：AB-AC>BD-DC．图221 ED CBA5．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．典例探究答案：【例1】【解析】可连接BD ，证明△ADB ≌△CBD ，进而获得结论． 证明：如图，连接BD ．∵AB ∥CD ， AD ∥BC ，∴∠1=∠2，∠3=∠4．在△ADB 和△CBD 中，12,,34,BD DB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADEB ≌△CBD （ASA ）．∴DC=AB ，AD=BC ．练1．【解析】根据已知条件证不出全等三角形，也证不出∠A=∠D ． 连接BC ，在△ABC 和△DBC 中，AB=CD （已知），AC=BD （已知），BC=BC （公共边），∴△ABC ≌△DBC ．∴∠A=∠D ．【例2】【解析】延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连接BE ，CE ．AD=DE（作图）∠ADC=∠EDB（对顶角）CD=BD（D是中点）∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE=AC=3由三角形三边关系知：AB-BE <2AD<AB+BE ，即2＜2AD＜8，故AD的取值范围是1<AD<4．练2．【解析】(倍长中线)延长FD至G使FG＝2DF，连BG，EG；由SAS可证：△FCD≌△GBD，∴FD＝GD，在△EFD和△EGD中，ED=ED（公共边）∠EDF=∠EDG=90°（DE⊥DF）FD＝GD（已证）∴△EFD≌△EGD∴EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE，故：EF<BE+FC ．【例3】【解析】证明：(补短法)延长AB 至D ，使BD=BP ，连接DP ，在等腰三角形BPD 中，可得∠BDP=40°，从而∠BDP=40°=∠ACP ，在△ADP 和△ACP 中，D C DAP CAP AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ADP ≌△ACP(AAS)．∴AD=AC ，又∠QBC=40°=∠QCB ，故BQ=QC ．∵BD=BP ，∴BQ+AQ=AB+BP ．练3．【解析】证明：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE ，△ADE ≌△AFE （SAS ）∠ADE ＝∠AFE ，∠ADE+∠BCE ＝180°∠AFE+∠BFE ＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE（AAS）故有BF＝BC从而：AB＝AD+BC．课后小测答案：一、解答题1．【解析】证明：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG，显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD，由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB与△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG，故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE．2．【解析】（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD，△BDF≌△BDC（SAS）故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD 中∠DFB ＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD ＝180°．3．【解析】（补短法）延长AC 至F ，使AF ＝AB ，连PD ，△ABP ≌△AFP （SAS ）故BP ＝PF ，由三角形性质知：PB －PC ＝PF －PC < CF ＝AF －AC ＝AB －AC ．4．【解析】可在AB 上截取AE=AC ，易得△ADE ≌△ADC ，从而将AB-AC 转化为AB-AE ，BD-DC 转化为BD-DE ，在△BDE 中即可解决问题．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，则BE=AB-AC ．在△ADE 和△ADC 中，,12,,AE AC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴ DE=DC ．又∵BE>BD-DE ，∴AB-AC>BD-DC ．点评：本题借助角平分线，在角的两边截取相同的线段构造“SAS”形式的全等三角形，使得问题顺利得解．对线段和差问题，常用截长补短法．5．【解析】(图形补全法， “截长法”或“补短法”， 计算数值法) AC 的延长线与BD 的延长线交于点F ，在线段CF 上取点E ，使CE ＝BM∵△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中，DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30°∴△DMN≌△DEN (AAS)，∴MA=FE△AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6．。
人教版八年级上册数学《全等三角形》辅助线一线三等角问题(“K”字图)
一线三等角问题（“K ”字图）核心母题 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是BC 边上一点，∠ADE=45°，AD=DE ，求证：BD=EC.练习： 1、已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF=ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．3、如图，在ABC ∆中，BC AC ACB =︒=∠,90，直线MN 经过点C ，且MNAD ⊥于点D ，MN BE ⊥于点E 。
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。
N BN4、如图所示，AE ⊥AB ，BC ⊥CD 且AB=AE ，BC=CD ，F 、A 、G 、C 、H 在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．7、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P （5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A 和点B.（1）当点A 、点B 分别在x 轴、y 轴正半轴上运动时，试探究OA+0B 的值或取值范围； l 1l 2l 3图3l 1l 2l 3图1 l 1l 2l 3图2 l 1l 2l 3图3（2）点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。
人教版八年级数学上册作业课件 第十二章 全等三角形 专题课堂(三) 三角形全等中辅助线的常见类型
△BMF 和△BEF 中，B∠MM＝BFB＝E，∠EBF， ∴△BMF≌△BEF，∴MF＝EF， BF＝BF，
3．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点， 求证：DE＝2AM.
解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴BM＝ CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC＝BN，∠C＝ ∠ NBM ， ∠ ABN ＝ ∠ ABC ＋ ∠ NBM ＝ ∠ ABC ＋ ∠ C ＝ 180° － ∠ BAC ＝ ∠ EAD.∵AC ＝ AD ， ∴ BN ＝ AD ， 又 AB ＝ EA ， ∴ △ ABN≌△EAD(SAS) ， ∴DE＝NA，又∵AM＝MN，∴DE＝2AM
(2)结论还成立．理由同(1)
9．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且∠EAF＝12 ∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.
解：将△ADF 顺时针旋转得到△ABG，使得 AD 与 AB 重合，则△ADF ≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，FD＝GB，∠ABG＝∠D，∵∠ ABE＋∠D＝180°，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即 G，B，E 共线．∵∠
∵MF图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点， CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.
解：过点B作BG∥AC，交CF的延长线于点G，∴∠G＝∠ACE.∠CBG＝ ∠ ACB ＝ 90° ， ∵ AC⊥BC ， CE⊥AD ， ∴ ∠ ACE ＋ ∠ DCE ＝ ∠ ADC ＋ ∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠G＝∠ADC.又∵AC＝CB，∠ACD ＝∠CBG＝90°，∴△ADC≌△CGB(AAS)，∴BG＝CD＝BD.在等腰直角 △ ABC 中 ， ∠ CAB ＝ ∠ ABC ＝ 45° ， ∵ BG∥AC ， ∴ ∠ GBF ＝ ∠ CAB ， ∴ ∠ GBF ＝ ∠ DBF ， 又 ∵ BF ＝ BF ， BG ＝ BD ， ∴ △ GBF≌△DBF(SAS) ， ∴∠G＝∠BDF，∴∠ADC＝∠BDF
与角有关的辅助线(计算)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：辅助线的作用是什么？问题3：如图，AB∥CD，∠α=150°，∠β=80°，求∠∠γ的度数．分析：读题标注以后，观察图形，要求∠γ的度数，要用好AB∥CD这个条件，看到平行想同位角、内错角、同旁内角，但图中没有两条平行线被第三条直线所截的结构，考虑作辅助线．可以怎么作辅助线？与角有关的辅助线（计算）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，已知AB∥CD，∠B=70°，∠E=30°，则∠ECD的度数为( )A.160°B.140°C.110°D.100°答案：B解题思路：从已知出发，由AB∥CD，要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线，若把BE当作截线（也可以把EC当截线），如图，延长DC交BE于点F补全图形．由AB∥CD，且∠B=70°，利用平行线的性质，可得∠BFC=70°，再由平角的定义，得∠EFC=110°；∠ECD是△EFC的一个外角，结合∠E=30°，利用外角定理，得∠ECD=∠E+∠EFC=140°．故选B．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线2.已知：如图，MN∥PQ，AB⊥PQ于点E，∠ABC=135°，则∠α=( )A.25°B.30°C.35°D.45°答案：D解题思路：从已知出发，由MN∥PQ，要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线，若把DB当作截线（也可以把BA当截线），如图，延长DB交PQ于点F补全图形．由MN∥PQ，利用平行线的性质，可得∠α=∠1，因此只需要求∠1的度数即可；由AB⊥PQ，得∠BEF=90°，∠ABC是△BEF的一个外角，结合∠ABC=135°，利用外角定理，得∠1=∠ABC-∠BEF=45°，所以∠α=∠1=45°．故选D．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线3.已知：如图，∠BAC+∠C=180°，点E是CD上一点，且∠1=32°，∠AFE=110°，则∠FED的度数为( )A.78°B.64°C.55°D.60°答案：A解题思路：从已知出发，由∠BAC+∠C=180°，得AB∥CD，由平行要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线，若把AF当作截线（也可以把EF当截线），如图，延长AF交CD于点G补全图形．由∠BAC+∠C=180°，利用平行线的判定，得AB∥CD，结合∠1=32°，利用平行线的性质，得∠2=∠1=32°；∠AFE是△FEG的一个外角，利用外角定理，得∠AFE=∠FED+∠2，得∠FED=∠AFE-∠2=78°．故选A．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线4.已知，如图，AB∥CD，∠B=40°，∠E=100°，则∠C的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.130°答案：B解题思路：如图，过点E作FG∥AB，建立∠B，∠BEC和∠C之间的联系．因为CD∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，得FG∥CD∥AB，结合∠B=40°，根据平行线的性质，得∠1=∠B=40°，∠2+∠C=180°；又因为∠BEC=100°，那么∠2=∠BEC-∠1=60°，则∠C=180°-∠2=120°．故选B．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线5.如图，AB∥EF，∠BCD=90°，则∠α，∠β，∠γ的关系是( )A.∠β=∠α+∠γB.∠α+∠β+∠γ=180°C.∠α+∠β-∠γ=90°D.∠β+∠γ-∠α=90°答案：C解题思路：如图，过点C作MN∥AB，过点D作PQ∥AB，建立∠α，∠β，∠γ之间的联系．因为EF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，得AB∥MN∥PQ∥EF，根据平行线的性质，得∠α=∠1，∠2=∠3，∠γ=∠4；已知∠BCD=90°，那么∠1+∠2=90°，所以∠α+∠2=90°，则∠2=90°-∠α；又因为∠β=∠3+∠4，则∠β=∠2+∠γ=90°-∠α+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=90°．故选C．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线6.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=62°，∠B=38°，∠BCD=140°，则∠D的度数为( )A.40°B.24°C.50°D.45°答案：A解题思路：要找到∠D与∠A，∠B，∠BCD之间的关系，结合图形考虑构造辅助线，把四边形转化为基本图形（三角形），从而利用三角形内角和定理或三角形外角定理求解．如图，延长BC交AD于点F，∠1是△ABF的一个外角，结合∠A=62°，∠B=38°，利用外角定理，得∠1=∠A+∠B=100°；∠BCD又是△CDF的一个外角，结合∠BCD=140°，利用外角定理，得∠BCD=∠D+∠1，则∠D=∠BCD-∠1=40°．本题也可以通过延长DC交AB于点G，或连接AC并延长到H进行计算．故选A．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线7.如下图所示，AB∥CD，BO与DO相交于点O，从图1中可以得出，∠O=∠B+∠D，那么图2和图3针对这三个角关系的结论正确的是( )A.图2：∠O=∠B+∠D；图3：∠O=∠B+∠DB.图2：∠O=∠B+∠D；图3：∠D=∠O+∠BC.图2：∠O+∠B+∠D=360°；图3：∠O=∠B+∠DD.图2：∠O+∠B+∠D=360°；图3：∠D=∠O+∠B答案：D解题思路：从已知出发，由AB∥CD，要找同位角、内错角和同旁内角，因此要找截线或构造平行线．对图1：如图，过点O作EF∥AB，因为CD∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，得EF∥CD∥AB，根据平行线的性质，得∠B=∠1，∠2=∠D，所以∠BOD=∠1+∠2=∠B+∠D．对图2：如图，过点O作MN∥AB因为CD∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，得MN∥CD∥AB，根据平行线的性质，得∠B+∠1=180°，∠2+∠D=180°，所以∠B+∠1+∠2+∠D=∠B+∠BOD+∠D=360°．对图3：如图，由AB∥CD，得∠D=∠1，因为∠1是△OBE的一个外角，根据外角定理，得∠1=∠O+∠B，等量代换得∠D=∠O+∠B．故选D．试题难度：三颗星知识点：与角有关的辅助线。
人教版八年级上 册第十二章全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全
全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】 如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =． 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒． 在△P AE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P AE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】 如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =， 又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】 已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结论．PDCBA A BCDPE【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠， 在△CFP 和△DEP 中12CPF DEPPF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =． 【答案】见解析．【例4】 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）； （2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==， 在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒． 在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠， 在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】 已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论； （2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒ 则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=； （2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠ 又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+ 由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】 如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】 如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ABCDE DCBAAB CD∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】 如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：E DCB AOED CBAFOED CBA∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】 已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠， 在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =．∵60∠=︒，∴△CDE是等边三角形，C∴DE CD CE=+=+．==，∴BC BE CE AB CD【答案】见解析．【例11】观察、猜想、探究：在△ABC中，2∠=∠．ACB B（1）如图①，当90=+；C∠=︒，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB AC CD （2）如图②，当90∠≠︒，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量C关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC=，A CB B∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等∠=∠，由2AED ACB边得到BE DE=+，等量代换即可得证；=，由AB AE EB（2）AB CD AC=+，理由为：在AB上截取AG AC=，如图2所示，由角平分线定义得到=，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）一对角相等，再由AD AD即可得证；（3）AB CD AC=，如图3所示，同（2）即可得证．=-，理由为：在AF上截取AG AC【答案】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE DC=，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠， 又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+； （2）AB CD AC =+，理由为： 在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠， 又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+； （3）AB CD AC =-，理由为： 在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠F AC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】 如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-． 【答案】见解析．【例13】 如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =， 又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】 已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠ 同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM =∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=， ∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】 如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：点P 在∠A 的平分线上．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =． 同理可证PF PG =． 所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC ⊥AC ．PCBAPABCD【解析】在AB 上取中点E ，连接DE ，则12AE BE AB ==． ∵DA DB =，∴DE ⊥AB ，90AED ∠=︒． 又∵2AB AC =，∴AE AC =．∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒， ∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．EDCBAABCD【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．【解析】延长AC ，交BF 的延长线于点N ．∵AD 平分∠BAC ，BF ⊥AD ，∴△AFB ≌△AFN ，∴BF NF =． ∵AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，∴EA ⊥F A ． ∵BF ⊥AF ，∴BF ∥AE ．∴::BF ME CF CM =，::FN AM CF CM =． ∵BF NF =，∴AM ME =．【答案】见解析．ECMF EDCBAN MFEDCBA。
八年级数学上册第十二章专题(五)构造全等三角形常用的辅助线作业课件新版新人教版
2．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，已 知AC＝BF，∠DAC＝35°，∠EBC＝40°，求∠C的度数．
解：如图，延长 AD 到点 M，使得 DM＝AD，连接 BM.∵AD 是△ABC
°，∠CFA＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝180°－12 (∠BAC＋∠ACB)＝180°
－12 (180°－∠ABC)＝180°－12 (180°－60°)＝120°，∴∠DFE＝∠CFA
＝ ∠MFN ＝ 120 ° . 又 ∵∠MFN ＝ ∠MFD ＋ ∠DFN ， ∠ DFE ＝ ∠DFN ＋
类型二：利用角平分线截长补短构造全等 方法技巧：因角平分线已具备全等三个条件中的两个(角等、公共边等) 条件，故在角的两边截取相等的线段构造SAS全等三角形．
5．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线 段CD上．
(1)求∠AEB的度数； (2)求证：CE＝DE.
解：(1)∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°.∵AE 平分∠CAB，BE 平分∠DBA，∴∠EAB＝12 ∠CAB，∠EBA＝12 ∠ABD.∴∠EAB＋∠EBA ＝90°，∴∠AEB＝90°.
在△DEB 和△FEB 中，∠EBD＝EEBB＝，∠FEB， ∴△DEB≌△FEB(ASA).∴ED ∠DBE＝∠FBE，
＝EF.∴ED＝CE.
6．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求 证：AB－AC＞PB－PC.
证 明 ： 在 AB 上 截 取 AN ＝ AC ， 连 接 PN ， 图 略 ． 易 证 △ APN≌△APC(SAS) ， ∴ PN ＝ PC ， ∵ 在 △ BPN 中 ， PB － PN ＜ BN ， ∴PB－PC＜AB－AN.∴AB－AC＞PB－PC.
人教版八年级上册 第12章 三角形中的常用辅助线(教你找到完成三角形证明的最佳路径) 讲义
三角形中的常用辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（1 ）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例 1 ：如图，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，CE垂直于BD，交BD 的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1 ）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2 ）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD 平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF 和ΔBEC 中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。
（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
专题05 全等三角形中的常见辅助线强化练习(举一反三)
专题05 全等三角形中的常见辅助线【举一反三】【人教版】【考点1 角分线上点向角两边作垂线构全等】【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；【例1】如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°．【变式1-1】（2019秋•汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎样的数量关系是．（2）请你证明（1）得出的结论．【变式1-2】（2019•北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【变式1-3】（2019秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【考点2 截取法构全等】【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；【例2】（2019秋•黄浦区校级期中）已知：在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC．【变式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【变式2-2】（2019秋•邵阳期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB＝AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取AE＝AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB＝AC+CD（1）请你根据以上解思路写出证明过程；（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D＝25°，其他条件不变，求∠B的度数．【变式2-3】（2019•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【考点3 延长垂线段构全等】【方法点拨】题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；【例3】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【变式3-2】（2019秋•通州区期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD＝2CE．【变式3-3】（2019•成都校级期中）如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：（1）ED∥BC；（2）ED＝（AB+AC+BC）．【考点4 倍长中线法构全等】【方法点拨】遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.【例4】（2019秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【变式4-1】（2019秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E，D是BC边上点，且DE＝CE，点F在AE上，联结DF，满足DF＝AC，求证：DF∥AB．【变式4-2】（2019春•富阳市校级期中）如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．【变式4-3】（2019秋•启东市校级月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【考点5 作平行线构全等】【方法点拨】有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．【例5】若两个三角形的一边及其对角对应相等，并有一对角互补（不是直角），则这两个三角形为友好三角形．如图1，点D在AB边上，CD＝CB，则△ABC和△ACD就是友好三角形．（1）两个友好三角形全等．（从下面选择一个正确的填入）A．一定B．不一定C．一定不（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，连结DE交BC于其中BD≠BF，若△BDF和△CEF是友好三角形，求证：DF＝EF．（3）如图3，CE是△ABC的中线，点D在AC上，BD与CE交于点F，CF＝AE，DF＝DC，图中与△ACE 成友好三角形的是．【变式5-1】（2019秋•建湖县期末）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．【变式5-2】（2019春•河口区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC 交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．【变式5-3】△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP＝BQ+AQ．（有多种辅助线作法）【考点6 旋转法构全等】【方法点拨】对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。
人教版七年级数学下册 第五章 相交线与平行线 第3节 与角有关的辅助线 暑假作业(部分含答案)
第3节与角有关的辅助线1.已知：如图，AB∥CD，∠1=135°，∠3=75°，则∠2的度数为（）A．45°B．75°C．30°D．105°第1题图第2题图2.已知：如图，∠BAC+∠C=180°，点E是CD上一点，且∠1=32°，∠AFE=110°，则∠FED的度数为（）A．78°B．64°C．55°D．60°3.如图，AB∥EF，∠BCD=90°，则∠α，∠β，∠γ的关系是（）A．∠β=∠α+∠γB．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β-∠γ=90°D．∠β+∠γ-∠α=90°4.已知：如图，AB∥CD，∠B=40°，∠D=20°，求∠BED的度数．5.已知：如图，AB∥CD．求证：∠1+∠3-∠2=180°．6.（1）①如图1所示，已知AB∥CD，∠ABC=60°，根据_____________________________，可得∠BCD=____________；②如图2所示，在①的条件下，若CM平分∠BCD，则∠BCM=_______；③如图3所示，在①②的条件下，若CN⊥CM，则∠BCN=__________．（2）尝试解决下面的问题：如图4所示，AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．7．如图（1），已知直线l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，l4与l1、l2分别交于C、D两点，记∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3，点P在线段AB上．（1）若∠1＝25°，∠2＝33°，则∠3＝；（2）猜想∠1，∠2，∠3之间的相等关系，并说明理由；（3）如图（2），点A在点B的南偏东23°方向，在点C的西南方向，利用（2）的结论，可知∠BAC＝；（4）点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其它条件不变，请直接写出∠1，∠2，∠3之间的相等关系．8．如图，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB，CD之间．（1）如图1，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，求∠BED的度数？（2）如图2，点B在点A的右侧，若∠ABC＝100°，直接写出∠BED的大小．9．小明同学在完成第10章的学习后，遇到了一些问题，请你帮助他．（1）图1中，当AB∥CD，试说明∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）图2中，若∠AEC＝∠BAE+∠DCE，则AB∥CD吗？请说明理由．（3）图3中，AB∥CD，若∠BAE＝x°，∠AEF＝y°，∠EFD＝z°，∠FDC＝m°，则m ＝．（直接写出结果，用含x，y，z的式子表示）10．如图，∠BED＝∠B+∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．11．直线AB∥CD，点P在其所在平面上，且不在直线AB，CD，AC上，设∠PAB＝α，∠PCD＝β，∠APC＝γ（α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°）（1）如图1，当点P在两条平行直线AB，CD之间、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；（2）如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；（3）α，β，γ的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请直接写出这些．12．（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．（3）灵活应用如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．13．小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．14．已知AB∥CD，点E、F分别为两条平行线AB、CD上的一点，GE⊥GF于G．（1）如图1，直接写出∠AEG和∠CFG之间的数量关系；（2）如图2，连接GF，过点G分别作∠BGF和∠BGE的角平分线交AB于点K、H．GH⊥AB．①求∠HGK的度数；②探究∠CFG和∠BGF的数量关系并加以证明．15．已知射线AB平行于射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上（1）如图1，若点P在线段EF上，若∠A＝25°，∠APC＝70°时，则∠C＝；（2）如图1，若点P在线段EF上运动（不包含E、F两点），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是；（3）①如图2，若点P在线段FE的延长线上运动，则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是；②如图3，若点P在线段EF的延长线上运动，则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是；（4）请说明图2中所得结论的理由．16．如图，已知l1∥l2，线段MA分别与直线l1，l2交于点A，B，线段MC分别与直线l1，l2交于点C，D，点P在线段AM上运动（P点与A，B，M三点不重合），设∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ．（1）若点P在A，B两点之间运动时，若a＝25°，B＝40°，那么γ＝．（2）若点P在A，B两点之间运动时，探究α，β，γ之间的数量关系，请说明理由；（3）若点P在B，M两点之间运动时，α，β，γ之间有何数量关系？（只需直接写出结论）部分参考答案7．【解答】解：（1）∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝∠1+∠2＝58°，故答案为：58°；（2）∠1+∠2＝∠3，∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠1+∠2＝∠3；（3）过A点作AF∥BE，如图1，则AF∥BE∥CD，则∠BAC＝∠ABE+∠ACD＝23°+45°＝68°；故答案为：68°；（4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F，∴∠1＝∠FPC．∵l1∥l4，∴PF∥l2，∴∠2＝∠FPD∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC∴∠3＝∠2﹣∠1．当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G，∴∠2＝∠GPD ∵l 1∥l 2， ∴PG ∥l 1， ∴∠1＝∠CPG∵∠CPD ＝∠CPG ﹣∠GPD ∴∠3＝∠1﹣∠2．8．【解答】解：（1）如图1，过点E 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴∠ABE ＝∠BEF ，∠CDE ＝∠DEF ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，∴∠ABE ＝∠ABC ＝30°，∠CDE ＝∠ADC ＝35°， ∴∠BED ＝∠BEF +∠DEF ＝30°+35°＝65°； （2）如图2，过点E 作EF ∥AB ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝100°，∠ADC ＝70°∴∠ABE ＝∠ABC ＝50°，∠CDE ＝∠ADC ＝35° ∵AB ∥CD ， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣50°＝130°，∠CDE＝∠DEF＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣50°+35°＝165°．9．【解答】解：（1）过E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM，∴∠BAE＝∠AEM，∠DCE＝∠CEM，∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠BAE+∠DCE；（2）过E作EM∥AB，∵EM∥AB，∴∠BAE＝∠AEM，∵∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∴∠DCE＝∠CEM，∴EM∥CD，∵AB∥EM，∴AB∥CD；（3）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM∥FN，∴∠BAE＝∠AEM，∠FEM＝∠EFN，∠DFN＝∠CDF，∴∠BAE+∠EFN+∠DFN＝∠AEM+∠FEM+∠CDF，∴∠BAE+∠EFD＝∠AEF+∠CDF，∵∠BAE＝x°，∠AEF＝y°，∠EFD＝z°，∠FDC＝m°，∴x+z＝y+m，∴m＝x+z﹣y，故答案为：x+z﹣y．10．【解答】解：延长BE交CD于F．∵∠BED＝∠B+∠D，∠BED＝∠EFD+∠D，∴∠B＝∠EFD，∴AB∥CD．11．【解答】解：（1）如图1中，结论：γ＝α+β．理由：作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠BAP＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠PCD，∴γ＝α+β．（2）如图2中，结论：γ＝β﹣α．理由：作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠BAP＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE，∴γ＝β﹣α．（3）如图3中，有γ＝α﹣β．如图4中，有γ＝β﹣α．如图5中，有γ＝360°＝β﹣α．如图6中，有γ＝α﹣β．综上所述，γ＝α﹣β，γ＝β﹣α，γ＝360°﹣β﹣α．12．【解答】（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D＝∠BED；故答案为：＝；（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；该逆命题为真命题；理由如下：过E作EF∥AB，如图①所示：则∠B＝∠BEF，∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD；（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：则NG∥AB∥CD，∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，∵CN平分∠ACD，∴∠ACM＝∠NCD，∴∠CAM＝∠BAN．13．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．14．【解答】解：（1）如图1中，结论：∠AEG+∠CFG＝90°．理由：作GH∥AB．∵AB∥CD，∴GH∥CD，∴∠AEG＝∠EGH，∠CFG＝∠HGF，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∴∠AEG+∠CFG＝∠EGH+∠HGF＝∠EGF＝90°．（2）①如图2中，∵GH平分∠BGE，∴∠EGH＝∠BGH，∵GH⊥BE，∴∠GHB＝∠GHE＝90°，∴∠EGH+∠GEB＝90°，∠B+∠BGH＝90°，∴∠GEB＝∠B，∵GE⊥GF，∴∠EGF＝90°，∴∠EGH+∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠GEB＝∠B，∵∠HKG＝∠B+∠KGB，∠HGK＝∠HGL+∠KGL，∠KGB＝∠KGL，∴∠HKG＝∠HGK＝45°．②结论：∠CFG＝45°+∠BGF．理由：∵AB∥CD，∴∠ALG＝∠CFG，∵∠ALG＝∠LKG+∠KGL＝45°+∠BGF，∴∠CFG＝45°+∠BGF．15．【解答】解：（1）过P作PH∥CD，∴∠HPC＝∠C，∵AB∥CD，∴AB∥PH，∴∠A＝∠APH＝25°，∴∠HPC＝∠APC﹣∠APH＝70°﹣25°＝45°；（2）∠APC＝∠A+∠C；理由如下：过P作PH∥CD，∴∠HPC＝∠C，∵AB∥CD，∴AB∥PH，∴∠A＝∠APH，∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝∠A+∠C；（3）①∠APC＝∠C﹣∠A，理由如下：过点P作PQ∥AB（如图2），∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，∴∠APC＝∠C﹣∠A；②∠APC＝∠A﹣∠C．理由如下：过点P作PQ∥AB（如图3），∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ＝∠A﹣∠C，∴∠APC＝∠A﹣∠C．（4）过点P作PQ∥AB（如图2），∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∵PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，∴∠APC＝∠C﹣∠A．故答案为：45°，∠APC＝∠A+∠C，∠APC＝∠C﹣∠A，∠APC＝∠A﹣∠C．16．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴β+∠PCD+∠PDC+α＝180°，∵γ+∠PCD+∠PDC＝180°，∴γ＝α+β＝65°．故答案为：65°．（2）∵AC∥BD，∴β+∠PCD+∠PDC+α＝180°，∵γ+∠PCD+∠PDC＝180°，∴γ＝α+β＝（3）如图，当P在B，M之间时，∵AC∥BD，∴∠1＝β，∵∠1＝α+γ，∴β＝α+γ．。
人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型
平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。
人教版数学八年级上册 综合专题1——全等三角形的辅助线和动态问题
C
2
A
ED B
∴∠F =∠3，EF = EB.
∵∠3 =∠4，∴∠F =∠4.
∵ AC∥BD，∴∠FCE =∠D. 在△EFC 和△EBD 中，
∠FCE =∠D ∠F =∠4 EF = EB ∴△EFC≌△EBD(AAS). ∴ FC = BD. ∵ AF = AC + FC， ∴ AB = AC + BD.
∴AB－AC＞BD－DC.
3. 如图，已知 AC∥BD，AE、BE 分别平分∠CAB 和∠DBA，CD 过点 E，求证：AB = AC + BD.
解：如图，延长 AC 至点 F，使 AF = AB，连接 EF.
∵ AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA， ∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
F
在△AEF 和△AEB 中，
∴∠BAC =∠DCE.
在△ABC 和△CDE 中，
B
CD
∴△ABC≌△CDE(AAS).
练一练
4. (福建阶段练习)如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，
AC = BC，点 C 的坐标为(-2，0)，点 A 的坐标为
(-6，3)，求点 B 的坐标 ( D )
A. (3，4)
B. (2，3)
A
F
E
∴△FDE≌△FDG(SAS). ∴ FE＝FG .
B
D
C
G
∵ D 是 BC 中点，∴ BD＝CD. 在△EDB 与△GDC 中
∴△EDB≌△GDC(SAS). ∴ BE＝CG. ∵ CG＋FC＞FG， ∴ BE＋CF＞EF.
A
F E
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (6)【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 (10)【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 (14)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (20)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (24)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (28)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【答案】(1)452DCB ∠=+︒α(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，（1）根据等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，设ACD β∠=，DCB x ∠=，解出方程组，即可求解；（2）延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．根据180∠+∠=︒ABD BAC ，可得ABF BAC α∠=∠=．再由等腰三角形的性质可得1122D DAB ABF α∠=∠=∠=，从而得到1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =，进而得到DAB BAE ∠=∠，然后根据角平分线的性质定理，可得BH BE =，即可求证．解：（1）∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．设ACD β∠=，DCB x ∠=，则()452180x βαβα+=︒⎧⎨++=︒⎩解得：452x α=+︒，即452DCB ∠=+︒α；（2）如图，延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．∵180∠+∠=︒ABD BAC ，180ABD ABF ∠+∠=︒．∴ABF BAC α∠=∠=．又∵AB BD =，∴1122D DAB ABF α∠=∠=∠=∵AB AC =，∴1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =∴DAB BAE ∠=∠．又∵BH AD ⊥，BE AE ⊥，∴BH BE =，∴12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．作EF AC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质得出12AF FC AC ==，再证明 ≌ABE AFE 即可得出结论．证明：如图，作EF AC ⊥于点F．EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，AF AB ∴=．AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．在BAE 和FAE 中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴ ≌，90ABE AFE ∴∠=∠=︒，EB AB ∴⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；12a (2)①60︒；②2BAC DAE∠=∠【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①求解60ACD ∠=︒，可得60ACB ACB '∠=∠=︒，由AB AC =，可得60ABC ACB ∠=∠=︒，可得60BAC ∠=︒；②过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴AD CB '⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，∴1122CM BM BC a ===，在ACD 与ACM △中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACD ACM ≌，∴12CD CM a ==，即CD 的长为12a ，（2）解：①∵90DAE ACD ∠+∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60ACD ∠=︒，∴60ACB ACB '∠=∠=︒，∵AB AC =，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒；②当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，∴90CAN ACB '∠+∠=︒，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，∴DAE CAN ∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22CA B C A A M B M ∠∠=∠=，在ACN △与ACM △中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ACM ≌，∴CAN CAM ∠=∠，∴222BAC CAM CAN DAE ∠=∠=∠=∠；【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质可得==45ABE ECN ∠∠︒，利用三角形外角的性质与等量代换可得BAE CEN =∠∠，在根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接AE ，在AC 上截取AM CG =，根据等腰直角三角形的性质可得AE EC =，===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，证得()AME CGE SAS ≌，可得=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，利用等量代换可得==45MEN GEN ∠∠︒，证得()MEN GEN SAS ≌，可得MN GN =，即可得证．解：（1）证明：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴==45ABE ECN ∠∠︒，∵==45AEC AEN CEN CEN ∠∠+∠︒+∠，又∵==45AEC ABE BAE BAE ∠∠+∠︒+∠，∴BAE CEN =∠∠，又∵BE CN =，∴()ABE ECN AAS ≌；（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM CG =，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点，∴AE BC ⊥，AE EC =，∴===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，在AME △和CGE 中，AM CG MAE GCE AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME CGE SAS ≌，∴=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，∵90AEG GEC ∠+∠=︒，∴=90MEA AEG ∠+∠︒，即90MEG ∠=︒，∵45DEF ∠=︒，∴==45MEN GEN ∠∠︒，又∵NE NE =，=ME GE ，∴()MEN GEN SAS ≌，∴MN GN =，∵=CN CG GN +，∴=CN AM MN +．【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明AED AFD ≌，进而可得结论．证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，∴∠∠EAD FAD =，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED AFD SAS ∴ ≌，DE DF ∴=．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)80︒。
七年级-人教版-数学-下册-第6课时--与平行线有关的辅助线问题
G
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则∠DCH＋∠CDE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵∠CDE＝140°，∴∠DCH＝180°－∠CDE＝40°．
G
H
∵AB∥DE，∴AB∥GH(平行于同一条直线的两条直线平行)． ∴∠ABC＝∠BCH(两直线平行，内错角相等)． ∵∠ABC＝80°， ∴∠BCH＝80°． ∴∠BCD＝∠BCH－∠DCH＝40°．
解：如图，过点 C 作CG∥AB，过点 D 作DH∥EF．
1
G
2
3
H
4
∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF． ∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠E＝∠4． ∵∠CDE＝∠3＋∠4，∠BCD＝∠1＋∠2＝90°， ∴∠B＋∠CDE－∠E＝∠1＋∠3＋∠4－∠4＝∠1＋∠2＝90°．
通过添加辅助线可将较复杂的几何图形转 化为由平行线构成的基本图形，从而得到相关 角之间的数量关系．
例3 如图，AB∥CD，P 为AB，CD 之间的一点，已知∠1＝ 34°，∠2＝26°，求∠BPC 的度数．
分析：此图不是我们所学过的“三线八角”的基本图形， 需添加辅助线，把它转化成我们所熟悉的基本图形．
你能用多种方法添加辅助线解决此题吗？
3
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N
解：方法 1：过点 P 作射线 PN∥AB，如图． ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝34°． ∵AB∥CD，∴PN∥CD． ∴∠4＝∠2＝26°． ∴∠BPC＝∠3＋∠4＝60°．
例2 如图，若∠B＋∠D＋∠E＝360°，则 AB 与 CD 平行吗？ 为什么？
分析：过点 E 构造 AB 的平行线是解决此题的关键．可以先 过点 E 作 AB 的平行线，再利用“两直线平行，同旁内角互补” 以及已知条件判断所作直线与 CD 平行，最后利用平行公理的推 论得到 AB∥CD．
专题03与角平分线有关的辅助线的三种考法(解析版)【压轴必考】八年级数学上册压轴题攻略(人教版)
专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð的平分线OC 上的任意一点，PD OA ∥交OB 于点D ，PE OA ^于点E ，如果8cm OD =，求PE 的长．【答案】4cm【详解】如图，过点P 作PF ⊥OB 于点F ，∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，∴PF ＝PE ，∠EOP ＝∠DOP∵PD P OA ，∠AOB ＝30°，∴∠PDF ＝∠AOB ＝30°，∴∠DPO ＝∠EOP ＝∠DOP ，∴ PD ＝OD ＝8cm在Rt △PDF 中，∵∠DFP=90°,∠FDP=30°∴PF =12PD =4cm ，∴ PF ＝PE ＝4cm ．【变式训练1】如图，ABC D 中，90ACB Ð=°，点,D E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B Ð=Ð．求证： AD 平分BAC Ð．【答案】见解析【详解】证明：过点D 作DF AB ^于点F ． 90DFB \Ð=°90ACB Ð=°Q ,DFB ACB DC AC \Ð=Ð^．在DCE D 和DFB D 中，,,,DCE DFB DEC B DE DB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DCE DFB AAS \D D ≌．DC DF \=．\点D 在BAC Ð的平分线上．\AD 平分BAC Ð．．【变式训练2】图，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ．AE ＝AB ，AF ＝AC ，BF 与CE 相交于点M ．(1)EC ＝BF ；(2)EC ⊥BF ；(3)连接AM ，求证：AM 平分∠EMF ．【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．【解析】(1)证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE ＝∠CAF ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAF +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵AE AB EAC BAF AF AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC ＝BF ；(2)根据（1），∵△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC ＝∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°，∴∠AEC +∠ADE ＝90°，∵∠ADE ＝∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF +∠BDM ＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE +∠ADC ＝180°，∠CDF +∠ADC ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ）∴BC ＝DC ；（2）解：AD ﹣AB ＝2BE ，理由如下：如图2，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，90CBE CDF CEB CFD CE CF °Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=î，∴△BCE ≌△DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，∴AD ＝AF +DF ＝AE +DF ＝AB +BE +DF ＝AB +2BE ，∴AD ﹣AB ＝2BE ；（3）解：如图3，在BD 上截取BH ＝BG ，连接OH ，∵BH ＝BG ，∠OBH ＝∠OBG ，OB ＝OB在△OBH 和△OBG 中，BH BG OBH OBG OB OB =ìïÐ=Ðíï=î，∴△OBH ≌△OBG （SAS ）∴∠OHB ＝∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH ＝∠ODF ，∵∠OHB ＝∠ODH +∠DOH ，∠OGB ＝∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH ＝∠DAB ＝60°，∴∠GOH ＝120°，∴∠BOG ＝∠BOH ＝60°，∴∠DOF ＝∠BOG ＝60°，∴∠DOH ＝∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，DOH DOF OD OD ODH ODF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ODH ≌△ODF （ASA ），∴DH ＝DF ，∴DB ＝DH +BH ＝DF +BG ＝2+1＝3．类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例1.如图，△ABC 的面积为9cm 2，BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP 于P ，连接PC ，则△PBC 的面积为______cm 2．【答案】4.5【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠EBP，∵AP ⊥BP ，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP PB PB APB EPB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ABP ≌△EBP （ASA ），∴AP=PE ，∴,APB EPB ACP ECP S S S S ==V V V V ∴119 4.522BPC ABC S S ==´=V V cm 2，故答案为4.5．【变式训练1】如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，若BD ＝4，则CE ＝________．【答案】2【详解】解：如图，延长BA 、CE 相交于点F ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，在△BCE 和△BFE 中，90ABD CBD BE BE BEF BEC ìïíïÐÐÐаî＝＝＝＝，∴△BCE ≌△BFE （ASA ），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE ⊥BD ，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF ，在△ABD 和△ACF 中，90ABD ACF AB AC BAC CAF ìïíïÐÐÐаî＝＝＝＝，∴△ABD ≌△ACF （ASA ），∴BD=CF ，∵CF=CE+EF=2CE ，∴BD=2CE=4，∴CE=2．故答案为：2．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =AC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，AE =12BD ，且DF ⊥AB 于F ，求证：CD =DF 【答案】见解析【解析】证明：延长AE 、BC 交于点F. 如图所示：∵AE ⊥BE ，∴∠BEA=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠FAC ，在△ACF 和△BCD 中,90ACF BCD AC BC FAC DBC Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴△ACF ≌△BCD(ASA)，∴AF=BD.又AE=12BD ，∴AE=12AF ，即点E 是AF 的中点，∴AB=BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，∵∠C=90°，DF ⊥AB 于F ，∴CD=DF.类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例1.已知：如图，//AC BD ，AE ，BE 分别平分CAB Ð和ABD Ð，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AB=AC+BD，证明见详解．【详解】解：延长AE，交BD的延长线于点F，∵//AC BD，∴∠F=∠CAF，∵AE平分CABÐ，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵BE平分ABFÐ，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【变式训练1】如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)43AE+CD=AC，证明见解析【解析】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC =90°+12∠ABC ；(2)解：43AE +CD =AC ，证明：如图2，∵∠AOC =90°+12∠ABC =135°，∴∠EOA =45°，在AC 上分别截取AM 、CN ，使AM =AE ，CN =CD ，连接OM ，ON ，则在△AEO 和△AMO 中，AE AM EAO MAO AO AO =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△AMO ，同理△DCO ≌△NCO ，∴∠EOA =∠MOA ，∠CON =∠COD ，OD =ON ，∴∠EOA =∠MOA =∠CON =∠COD =45°，∴∠MON =∠MOA =45°，过M 作MK ⊥AD 于K ，ML ⊥ON 于L ，∴MK =ML ，S △AOM =12AO ×MK ，S △MON =12ON ×ML ，∴AOM MON S AO ON S D D =，∵AOM MON S AM S MN D D =，∴AO AM ON MN=，∵AO =3OD ，∴31AO OD =，∴31AO AM ON MN ==，∴AN =43AM =43AE ，∵AN +NC =AC ，∴43AE +CD =AC ．【变式训练2】如图，∠B =∠C =90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ．求证：AE 是∠DAB 的平分线．（提示：过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ．）【答案】见解析【详解】证明：过点E作EF⊥DA于点F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠DAB．【变式训练3】如图所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A为y轴正半轴上的一点，点D为第二象限一动点，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求证：∠ABD＝∠ACD；(2)求证：AD平分∠CDE；(3)若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析；(3)∠BAC =60°，理由见解析【解析】(1)证明：∵∠BDC =∠BAC ，∠DFB =∠AFC ，又∵∠ABD +∠BDC +∠DFB =∠BAC +∠ACD +∠AFC =180°，∴∠ABD =∠ACD ；(2)证明：过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，如下图所示：则∠AMC =∠ANB =90°．∵OB =OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，由(1)可知：∠ABD =∠ACD ，∴△ACM ≌△ABN (AAS )，∴AM =AN ．∴DA 平分∠CDE ．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)解：∠BAC 的度数为60°，理由如下：在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，如下图所示：∵CD=AD+BD ，∴AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD =∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP (SAS ) ，∴AD=AP ，∠BAD =∠CAP ，∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP =60°．∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．【变式训练4】已知：如图1，在ABC V 中，AD 是BAC Ð的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A ，点D 重合），满足2Ð=ÐABE ACE ．（1）如图2，若18Ð=°ACE ，且EA EC =，则DEC Ð=________°，AEB Ð=_______°．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3，若BD BE =，请直接写出ABE Ð和BAC Ð的数量关系．【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）3180Ð+Ð=°ABE BAC 【详解】（1）∵18Ð=°ACE ，且EA EC =，∴∠EAC =∠ACE =18°，∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴∠BAD =∠CAD =18°，∵2Ð=ÐABE ACE ，∴∠ABE =36°，∴1801836126Ð=°-°-°=°AEB ；故答案为：36，126（2）在AC 上截取AF AB =，连接FE ，又∵AE =AE ，EAF EAB Ð=Ð，∴()V V ≌AEF AEB SAS ，∴EF EB =，AFE ABEÐ=Ð∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ，∠ABE =2∠ACE ，∴FEC FCE Ð=Ð，∴EF FC=∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =，∴BED BDE Ð=Ð，∵BED ABE BAE Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+ÐBDE DAC ACD ，∠CAD =∠BAE ，∴∠ACD =∠ABE ，∵∠ABE =2∠ACE ，∴∠ACD =2∠ACE ，∴CE 平分∠ACB ，∴点E 到CA 、CB 的距离相等，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴点E 到AC 、AB 的距离相等，∴点E 到BA 、BC 的距离相等，∴BE 是ABD Ð的平分线，∴∠ABE =∠CBE ，∴Ð=Ð=ÐABE ACD DBE ，又∵180ACB ABC BAC Ð+Ð+Ð=°，∴2180Ð+Ð+Ð=°ABE ABE BAC ，即3180Ð+Ð=°ABE BAC ．课后训练1．如图①，CDE Ð是四边形ABCD 的一个外角，AD //BC ，BC BD =，点F 在CD 的延长线上，FAB FBA Ð=Ð，FG AE ^，垂足为G ．(1)求证：①DC 平分BDE Ð；②BC DG AG +=．(2)如图②，若4AB =，3BC =，1DG =．求AFD Ð的度数．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)90°【解析】(1)解：①∵AD ∥BC ，∴∠C =∠CDE ，∵BC =BD ，∴∠C =∠CDB ，∴∠CDB =∠CDE ，∴DC 平分BDE Ð；②如图，过点F 作FH ⊥BD ，交BD 延长线于H ，∵∠FDG =∠CDE ，∠FDH =∠CDB ，∠EDC =∠CDB ，∴∠FDG =∠FDH ，∵FG ⊥AE ，FH ⊥BD ，∴FH =FG ，∠H =∠FGD =∠AGF =90°,∵FD =FD ，∴Rt △FHD ≌Rt △FGD （HL ），∴DH =DG ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴Rt △FHB ≌Rt △FGA （HL ）∴BH =AG ，∵BD =BC ，∴AG =BH =BD +DH =BC +DG ，即AG =BC +DG ；(2)解：∵AB =4，BC =3，DG =1，∴BD =BC =3，AG =BC +DG =3+1=4，∴AD =AG +DG =4+1=5，∵AB 2+BD 2=42+32=52=AD 2，∴∠ABD =90°，过点F 作FM ⊥AB 于M ，交AD 于N ，如图，则∠AMF =∠BMF =90°=∠ABD ，∴FM ∥BD ，∴∠BFM =∠FBD ，∵FAB FBA Ð=Ð，∴FB =FA ，∴AM =12AB =2，∠AFM =∠BFM ，∴∠AFM =∠FBD ，由（1）②知，Rt △FHB ≌Rt △FGA ，∴∠FAG =∠FBD ，∴∠FAG =∠AFN ，∵FM ∥BD ，∴∠MFD =∠BDC ，∵∠BDC =∠CDE =∠FDG ，∴∠MFD =∠FDG ，∴∠AFM +∠FAG +∠DFN +∠FDG =180°，∴2∠AFM +2∠DFN =180°，∴2∠AFD =180°，∴∠AFD =90°．2．已知：如图1，四边形ABCD 中，135ABC Ð=°，连接AC 、BD ，交于点E ，BD BC AD AC ^=，．(1)求证：90DAC Ð=°；(2)如图2，过点B 作BF AB ^，交DC 于点F ，交AC 于点G ，若2DBF CBF S S =V V ，求证：AG CG =；(3)如图3，在（2）的条件下，若3AB =，求线段GF 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)52【解析】(1)解：如图，过点A 作AP ⊥BD 于点P ，AF ⊥BC ，交CB 的延长线于点F ，∵AP ⊥BD ，AF ⊥BC ，BD ⊥BC∴四边形APBF 是矩形∵∠ABC ＝135°，∠DBC ＝90°，∴∠ABP ＝45°，且∠APB ＝90°，∴AP ＝PB ，∴四边形APBF 是正方形，∴AP ＝AF ，且AD ＝AC ，∴ΔΔRt APD Rt AFC HL ≌（），∴∠DAP ＝∠FAC ，∵∠FAC +∠PAC ＝90°，∴∠DAP +∠PAC ＝90°，∴∠DAC ＝90°(2)如图，过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥BD 于点N ，过点C 作CP ⊥BF 于点P ，在BD 上截取DH ＝BC ，连接AH ，∵∠ABC ＝135°，∠ABF ＝90°，∴∠CBF ＝45°，且∠DBC ＝90°，∴∠DBF ＝∠CBF ，且FN ⊥BD ，FM ⊥BC ，∴FN ＝FM ，∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴1122BD FN BC FM ´´=´´×2，∴BD ＝2BC ，∴BH ＝BD ﹣DH ＝BD ﹣BC ＝BC ，∵∠AED ＝∠BEC ，∠DAC ＝∠DBC ＝90°，∴∠ADH ＝∠ACB ，且AD ＝AC ，DH ＝BC ，∴△ADH ≌△ACB （SAS ），∴∠AHD ＝∠ABC ＝135°，AH ＝AB ，∴∠AHB ＝∠ABD ＝45°，∴∠HAB ＝90°，∵BC ＝BH ，∠HAB ＝∠BPC ，∠AHB ＝∠FBC ＝45°，∴△AHB ≌△PBC （AAS ），∴AB ＝PC ，∵AB ＝PC ，且∠ABP ＝∠BPC ，∠AGB ＝∠CGP ，∴△AGB ≌△CGP （AAS ），∴AG ＝GC(3)解：如图，∵AB ＝3＝PC ，∠PBC ＝45°，PC ⊥BF ，∴BP ＝PC=3，∵△AGB ≌△CGP ，∴BG ＝PG ＝32，在Rt PGC D 中，CG ∴AG ＝GC ，∴AC ＝AD ＝2AG ＝在Rt ADC D 中，CD ，∵S △DBF ＝2S △CBF ，∴DF ＝2FC∵DF +FC ＝DC ，∴F C在Rt PFC D 中，PF ＝1，∴FG ＝PG +PF ＝1+32 ＝52．3．如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，交CD 于点G ．(1)求证：CG =CE ；(2)如图2，连接FC ，AC ．若BF 平分∠DBE ，求证：CF 平分∠ACE ；(3)如图3，若G 为DC 中点，AB =2，求EF【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°，∵BF ⊥DE ，∴∠DFG ＝∠BCG ＝90°，∵∠DGF ＝∠BGC ，∴∠GBC ＝∠EDC ，在△BCG 和△DCE 中，BCG DCE BC DC GBC EDC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△BCG ≌△DCE （ASA ），∴CG ＝CE ；(2)证明：∵BF 平分∠DBE ，BF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，∴CF 是Rt △DCE 的中线，∴CF ＝EF ，∴∠E ＝∠FCE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DBE ＝∠ACB ＝45°，∵BF 平分∠DBE ，∴∠FBE 12=∠DBE ＝22.5°，∴∠E ＝90°﹣∠FBE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCE ＝67.5°，∴∠ACF ＝180°﹣∠FCE ﹣∠ACB ＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ACF ＝∠FEC ，∴CF 平分∠ACE ；(3)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCG ＝90°，AB ＝BC ＝CD＝2，BD =＝∵G 为DC 中点，∴CG ＝GD 12=CD＝1，在Rt△BCG 中，由勾股定理得：BG ===设GF ＝x ，在Rt △BDF 和Rt △DFG 中，由勾股定理得：BD 2﹣BF 2＝DF 2，DG 2﹣GF 2＝DF 2，∴2222-=1-x x （），解得：x =，∴DF 2＝12﹣22025=，∴DF =，由（1）知：△BCG ≌△DCE ，∴BG ＝DE =，∴EF ＝DE ﹣DF =4．已知：在四边形ABCD 中，180,B CAD DE AC Ð+°Ð=^于E ，且2AD AE =．(1)如图1，求B Ð的度数；(2)如图2，BF 平分ABC Ð交AC 于F ，点G 在BC 上，连接FG ，且AF FG =．求证：AB BG =；(3)如图3，在（2）的条件下，AF AD =，过点F 作FH CD ^，且2CH CG =，若21,52CD AB ==，求线段BF 的长．【答案】(1)120°；(2)见解析；(3)3．【解析】(1)解：如图1，取AD 的中点F ，连接EF ，∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴AD =2AF =2EF ，∵AD =2AE ，∴AE =EF =AF ，∴∠CAD =60°，∵∠B +∠CAD =180°，∴∠B =120°；(2)证明：如图2，作FM ⊥BC 于M ，FN ⊥AB 于点N ，∴∠BMF =∠BNF =90°，∠GMF =∠ANF =90°，∵BF 平分∠ABC ，∴FM =FN ，在Rt △BFM 和Rt △BFN 中，BF BF FM FN =ìí=î，∴Rt △BFM ≌Rt △BFN （HL ），∴BM =BN ，在Rt △FMG 和Rt △FNA 中，FG FA FM FN=ìí=î，∴Rt △FMG ≌Rt △FNA （HL ），∴MG =NA ，∴BN +NA =BM +MG ，∴AB =BG ．(3)如图3，连接AG ，DF ，DG ，作FM ⊥BC 于M ，延长GF 交AD 于N ，∵AF =AD ，∠DAE =60°，∴△ADF 是等边三角形，∴∠AFD =60°，AF =DF ，∵GF =AF ，∠DFC =180°-∠AFD =120°，∴AF =GF =DF ，∴∠FGD =∠FDG ，∠FAG =∠FGA ，∴∠AGD =12∠AFN +12∠DFN =12∠AFD =12×60°＝30°，∵∠ADC =120°，AD =DG ，∴∠DGA =∠DAG =1802ADC °-Ð=30°，∴∠DGC =180°-∠DGA -∠AGD =180°-30°-30°=120°，∴∠DGC =∠DFC ，∵∠1=∠2，∴180°-∠DGC -∠1=180°-∠DFC -∠2，∴∠GCF =∠FDG ，∠DCF =∠FGD ，∴∠GCF =∠DCF ，∵FH ⊥CD ，∴FM =FH ，∵∠FMG =∠FHD =90°，∴Rt △FMG ≌Rt △FHD （HL ），∴DH =MG ，同理可得：△MCF ≌△HCF （HL ），∴CM =CH =2CG ，∴GM =CG =DH ，∴3CG =CD =212，∴GM =CG =72，∴BM =BG -GM =AB -GM =5-72=32，在Rt △BFM 中，∠BFM =90°-∠FBM =90°-60°=30°，∴BF =2BM =3．5．如图1，ABC D 的ABC Ð和ACB Ð的平分线BE ，CF 相交于点G ，60BAC Ð=°．（1）求BGC Ð的度数；（2）如图2，连接AG ，求证：AG 平分BAC Ð；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC 上取点H ，使得AGH BGC Ð=Ð，且8AH =，10BC =，求ABC D 的周长．【答案】（1）120°；（2）见解析；（3）28【详解】（1）证明：如图1，BE CF Q 、分别平分ABC ACB ÐÐ、，111 , 2 22ABC ACB \Ð=ÐÐ=Ð，()()11112 180 90 222ABC ACB A A \Ð+Ð=Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，60BAC Ð=°Q ，() 1 180 ********BGC A \Ð=°-Ð+Ð=°+Ð=°；(2)如图2，过点G 分别作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ， GQ ⊥AC 于Q ，BE Q 平分ABC Ð， GM ⊥AB 于M ，GN ⊥BC 于N ，GM GN \=，同理GN GQ =，GM GQ \=，∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ， AG \平分BAC Ð ；（3）解：∵GM ⊥AB 于M ， GQ ⊥AC 于Q ，GM =GQ ，∴AG 平分BAC Ð，∵又60BAC Ð=°， 30BAG CAG \Ð=Ð=°，在BC 上取点K ，使 BK BA =，BE Q 平分ABC Ð，ABG CBG \Ð=Ð，又BG BG =Q ，ABG KBG \D D ≌，BKG BAG \Ð=Ð，30BKG BAG \Ð=Ð= ，=18030150GKC \Ð-= ，120AGH BGC Ð=Ð=°Q ， 30CAG Ð=°，120 30 150GHC \Ð=°+°=°，GKC GHC \Ð=Ð，又CG CG =Q ，KCG HCG Ð=Ð，KCG HCG \D D ≌，CK CH \=，△ABC 的周长为：()()2210828AB BC CA AB BK KC AH CH BC AH ++=++++=+=´+=， ABC \D 的周长是28．6．如图所示，AD 是ABC V 的高，点H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，HC AB =．（1）如图1，求证：2B C Ð=Ð；（2）如图2，若2DAF B C Ð=Ð-Ð，求证：AC BF BA =+；（3）在（2）的条件下，若12AC =，CF 10=，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1【详解】解：（1）连接AH ，∵H 为AC 的垂直平分线与BC 的交点，∴HA HC =，HAC C Ð=Ð，∵HC AB =，∴AB AH =，∴B AHB Ð=Ð，∵AHB C HAC Ð=Ð+Ð，∴2AHB C Ð=Ð，∴2B C Ð=Ð．（2）∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，∴1122DAF B C Ð=Ð-Ð，在Rt ADF V 中，9090DAF AFD FAC C Ð=°-Ð=°-Ð-Ð，∴119022FAC C B C °-Ð-Ð=Ð-Ð∴[]111190180()2222FAC B C B C BAC Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð=Ð，即AF 平分BAC Ð， 在AC 上截取AG AB =，连接FG ，在BAF △和GAF V 中，AB AG BAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAF GAF SAS V V ≌，∴BF FG =，AB =AG ，B AGF Ð=Ð，∵2B CÐ=Ð∴2AGF C Ð=Ð，∴GFC C Ð=Ð，∴FG GC BF ==，∴AC GC AG BE BA =+=+．（3）在DB 上截取DM DF =，连接AM ，在ADF V 和ADM △中，AD AD ADF ADM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，∴()ADF ADM SAS V V ≌，∴DAF DAM Ð=Ð，∴2MAC DAF FAC Ð=Ð+Ð，由（2）可知119022FAC B C Ð=°-Ð-Ð，又∵2DAF B C Ð=Ð-Ð，2B C Ð=Ð．∴11131909029022222MAC B C B C C C C Ð=Ð-Ð+°-Ð-Ð=+´Ð-Ð=-°Ð°．∵()11111180909022222AMC AFM C FAC C BAC C B C B C C °Ð=Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+-Ð-Ð=-Ð+°Ð=-а∴MAC AMC Ð=Ð ，∴AC MC =∴2MC CF AC CF DF -=-=，∴12102DF-=∴1DF =．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．若AC =3，BC =4，求CD 的长；（2）如图③．在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点P 在AD 上，点M 在AC 上．若AC =6，BC =8，则PC +PM 的最小值为 ．【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）32；（2）245．【详解】教材呈现：OC Q 是AOB Ð的平分线，POD POE \Ð=Ð，,PD OA PE OB ^^Q ，90PDO PEO \Ð=Ð=°，在POD V 和POE △中，POD POE PDO PEO OP OP Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()POD POE AAS \@V V ，PD PE \=；定理应用：（1）如图，过点D 作DE AB ^于点E ，Q 在ABC V 中，90,3,4C AC BC Ð=°==，5AB \==，Q AD 平分BAC Ð，且90C Ð=°，CD DE \=，在Rt ACD △和Rt AED △中，AD AD CD ED =ìí=î，()Rt ACD Rt AED HL \@V V ，3AC AE \==，532BE AB AE \=-=-=，设CD DE x ==，则4BD BC CD x =-=-，在Rt BDE V 中，222DE BE BD +=，即2222(4)x x +=-，解得32x =，即CD 的长为32；（2）如图，过点M 作MN AD ^，交AB 于点N ，连接PN，Q AD 平分BAC Ð，AD \垂直平分MN （等腰三角形的三线合一），PM PN \=，PC PM PC PN \+=+，由两点之间线段最短得：当点,,C P N 在同一条直线上时，PC PN +取得最小值，最小值为CN ，又由垂线段最短得：当CN AB ^时，CN 取得最小值，Q 在ABC V 中，90,6,8ACB AC BC Ð=°==，10AB \==，又1122Rt ABC S AC BC AB CN =×=×V Q ，11681022CN \´´=´，解得245CN =，即PC PM +的最小值为245，故答案为：245．。
人教版八年级数学上册等腰三角形中作辅助线的八种常用方法
∵AB＝AC，O 为 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°， ∠OAM＝12∠BAC＝45°.
∵BM＝AN，∴AB－BM＝AC－AN，即 AM＝CN. 在△OAM 和△OCN 中， O∠AO＝AOMC＝，∠C＝45°， AM＝CN， ∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°， ∴∠AOM＋∠AON＝90°， 即∠MON＝90°. ∴△MON 是等腰直角三角形．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D. 求证∠BAC＝2∠DBC.
证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. ∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE. 又∵BD⊥AC，∴∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°. ∴∠CAE＝∠DBC. ∴∠BAC＝2∠DBC.
∴CF＝CD. ∴CD＝2CE.
6．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°， BF 平分∠ABC，CD⊥BF 交 BF 的延长线于点 D.求证 BF＝
2CD.
证明：如图，延长 BA，CD，交于点 E.
∵BF 平分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD， ∴△BDC≌△BDE(ASA)． ∴CD＝ED，即 CE＝2CD.
CD＝DM＋MC＝DM＋BM. ∵CD＝DE，∴AB＋(BM－DM)＝DM＋BM.
∴DM＝12AB.
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD＝60°.求证 BD＋DC＝AB.
证明：如图，延长 BD 至 E，使 BE＝AB，连接 CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE 为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
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与角有关的辅助线（辅助线）（人教版）
学生做题前请先回答以下问题
问题1：平方差公式：_____________________；完全平方公式：①_________________；
②__________________．
我们记完全平方公式的口诀是什么？
问题2：计算．你是怎么思考的？
问题3：计算．你是怎么思考的？
问题4：计算．你是怎么思考的？
与角有关的辅助线（辅助线）（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图，点E为直线AB上一点，点F为直线CD 上一点，点G为直线AB和CD内部的一点，根据几何原理，下列作图正确的是( )
A.连接EF，使EF⊥AB
B.连接EF，使EF⊥CD
C.过点G作直线MN∥AB
D.过点G作直线MN∥AB∥CD
2.根据下列要求作辅助线:①连接EF；②延长EO
交CD于点H，其中符合要求的是( )
A. B.
C. D.
3.如图1，AB∥CD，∠E=∠F，求证：∠B=∠FCD．图
2在图1的基础上添加了辅助线用来证明结论，
则下列选项中辅助线描述正确的是( )
A.延长BE交CD于点G
B.过点E作EG∥CF
C.连接EG
D.作直线BG
4.如图1，已知AB∥CD，求证：∠A+∠C+∠E=360°．图2在图1的基础上添加了辅助线用来证明结论，则下列选项中辅助线描述正确的是( )
A.延长CE交AB的延长线于点F
B.延长CE，延长BA
C.延长CE交BA于点F
D.延长CE交BA的延长线于点F
5.如图1，已知AB∥CD，CD⊥CE，∠FAB=45°，求∠ACE的度数．图2在图1的基础上添加了辅助线用来求∠ACE的度数，则下列选项中辅助线描述正确的是( )
A.作射线CG
B.作辅助线CG使得∠ECG=90°，并且D，C，G 在一条直线上
C.延长DC到点G
D.作直线DG⊥CE
6.如图1，MN∥GH，AB⊥MN，∠ABC=134°，求∠HDC的度数．图2在图1的基础上添加了辅助线用来求∠HDC的度数，则下列选项中辅助线描述正确的是( )
A.延长AB交GH于点F，使得∠BFH=90°
B.延长AB交GH于点F
C.连接BF
D.作射线AF
7.如图1，在四边形ABDC中，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．图2在图1的基础上添加了辅助线用来证明结论，则下列选项中辅助线描述正确的是( )
A.连接AD
B.连接AD并延长
C.作辅助线AD
D.连接AD使∠BAD=∠CAD
8.如图1，已知AB∥CD，求证:∠B+∠D+∠E=360°．图2在图1的基础上添加了辅助线用来证明结论，则下列选项中辅助线描述正确的是( )
A.作辅助线EF
B.作射线EF
C.过点E作EF∥AB∥CD
D.过点E作EF∥AB
9.已知：如图，AB∥CD，∠1=135°，∠3=75°，则∠2的度数为( )
A.45°
B.40°
C.15°
D.30°
10.如图，AB∥CD，那么∠A，∠D，∠E的数量
关系是( )
A.∠A+∠E+∠D=360°
B.∠A+∠E-∠D=180°
C.∠A-∠E+∠D=180°
D.∠A+∠E+∠D=180°。