相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

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做数学怎么懂得做辅助线方法

做数学怎么懂得做辅助线方法几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面给大家分享一些关于做数学怎么懂得做辅助线方法，希望对大家有所帮助。

一.三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的(1) 可向两边作垂线。

(2)可作平行线，构造等腰三角形(3)在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的(1) 截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可(2) 补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可(3)倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

(4)遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3. 与等腰等边三角形相关的(1)考虑三线合一(2)旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °二.四边形中常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。

下面介绍一些辅助线的添加方法。

1. 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

(1) 利用一组对边平行且相等构造平行四边形(2)利用两组对边平行构造平行四边形(3)利用对角线互相平分构造平行四边形2. 与矩形有辅助线作法(1)计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题(2)证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.3. 和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.(1)作菱形的高(2)连结菱形的对角线4. 与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线三.圆中常见辅助线的添加1. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。

初中数学辅助线整理归纳

初中数学辅助线整理归纳一、三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 °二、四边形中常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。

下面介绍一些辅助线的添加方法。

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形（2）利用两组对边平行构造平行四边形（3）利用对角线互相平分构造平行四边形2. 与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.3. 和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.（1）作菱形的高（2）连结菱形的对角线4. 与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

类似三角形添加帮助线的办法举例例1：已知：如图,△ABC 中,AB ＝AC,BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．例2上的一点,（1;（2值例3．如图4-1,已知平行四边ABCD 中,E 是AB 的中点连E.F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．例4.如图4—5,B 为AC 的中点,E 为BD 的中点,则AF ：AE=___________. 例5.如图4-7,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC.BD 交于O 点,E 为AB 延伸线上一点,OE 交BC 于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF 的长．例6.已知在△ABC 中,AD 是∠BAC类似三角形添加帮助线的办法举例答案例1：已知：如图,△ABC 中,AB ＝AC,BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．剖析：欲证BC 2＝2CD ·AC,论中有“2”,无法直接找到它们地点的类似三角形,是以须要联合图形特色及结论情势,经由过程添加帮助线,对个中某一线段进行倍.分变形,结构出单一线段后,再证实三角形类似．由“2”所放的地位不合,证法也不合．BCBC证法一（结构2CD ）：如图,在AC 截取DE ＝DC, ∵BD ⊥AC 于D,∴BD 是线段CE 的垂直等分线, ∴BC=BE,∴∠C=∠BEC, 又∵ AB ＝AC, ∴∠C=∠ABC ． ∴△BCE ∽△ACB ．∴BC 2＝2CD ·AC ．证法二（结构2AC ）：如图,在CA 的延伸线上截取AE ＝AC,贯穿连接BE,∵ AB ＝AC, ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°, 又∵BD ⊥AC ．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°, ∴∠E=∠DBC, ∴△EBC ∽△BDC∴BC 2＝2CD ·AC．证法三,取BC 的中点E,贯穿连接BCEBCAE,则又∵AB=AC,∴AE ⊥BC,∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD ．∴BC 2＝2CD ·AC ．证法四,取BC 中点E,贯穿连接DE,．∵BD ⊥AC,∴BE=EC=EB, ∴∠EDC=∠C又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∴△ABC ∽△EDC ．∴BC 2＝2CD ·AC ．解释：此题充分展现了添加帮助线,结构类似形的办法和技能．在解题中办法要灵巧,思绪要坦荡．例2,贯穿连接（1;（2B值（1解法1如图,解法2如图同解法1解法3如图以下同解法1解法4如图,且,解法5如图得平行四边形,,解法6如图（补形法）,,（注：此外可用三角形类似.等腰三角形三线合和一.等积法等）（2解法1（补形法）如图解法2（补形法）如图,解法3（补形法）如图1）2）由（1）.（2解法4（割补法）如图如图,解释本题分解考核了等腰三角形的性质,类似三角形的剖断和性质,解题症结是作帮助线,结构类似三角形.例3．如图4-1,已知平行四边ABCD中,E是AB的中点连E.F交AC于G．求AG：AC的值．解法1：延伸FE交CB的延伸线于H,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠H=∠AFE,∠DAB=∠HBE又AE=EB,∴△AEF≌△BEH,即AF=BH,∵ AD∥CH,∠AGF=∠CGH,∠AFG=∠BHE,∴△AFG∽△CGH．∴ AG：GC=AF：CH,∴ AG：GC=1：4,∴ AG：AC=1：5．解法2：如图4—2,延伸EF与CD的延伸线交于M,由平行四边形ABCD可知即AB∥MC,∴ AF：FD=AE：MD,AG：GC=AE：MC．∴ AF：FD=1：2,∴ AE：MD=1：2．AE：MC=1：4,即AG：GC=1：4,∴ AG：AC=1：5例4.如图4—5,B为AC的中点,E为BD的中点,则AF：AE=___________.解析：取CF的中点G,衔接BG．∵ B为AC的中点,∴ BG：AF=1：2,且BG∥AF,又E为BD的中点,∴ F为DG的中点．∴ EF：BG=1：2．故EF：AF=1：4,∴ AF：AE=4：3．例5.如图4-7,已知平行四边形ABCD中,对角线AC.BD交于O点,E为AB延伸线上一点,OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF的长．解法1：过O点作OM∥CB交AB于M,∵ O是AC中点,OM∥CB,∴ M是AB的中点,∴ OM是△ABC的中位线且OM∥BC,∠EFB=∠EOM,∠EBF=∠EMO．∴△BEF∽△MOE,解法2：如图4-8,延伸EO与AD交于点G,则可得△AOG≌△COF,∴ AG=FC=b-BF,∵ BF∥AG,解法3：延伸EO与CD的延伸线订交于N,则△BEF与△CNF的对应边成比例,例6.已知在△ABC中,AD是∠BAC剖析 1 比例线段常由平行线而产生,因而研讨比例线段问题,常应留意平行线的感化,在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的等分线,这里不消失平行线,于是可斟酌过定点作某定直线的平行线,添加了如许的帮助线后,就可以应用平行关系找出响应的比例线段,再比较所证的比例式与这个比例式的关系,去寻找问题的解决．证法1：如图4—9,过C点作CE∥AD,交BA的延伸线于E．在△BCE中,∵ DA∥CE,又∵ CE∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,且AD等分∠BAC,∵∠1=∠2,于是∠3=∠4,∴ AC=AE剖析2 因为BD.CD是点D分BC而得,故可过火点D作平行线．证法2：如图4—10,过D作DE∥AC交AB于E,则∠2=∠3．∵∠1=∠2,∴∠1=∠3．于是EA=ED．剖析3 欲证式子左边为AB：AC,而AB.AC不在统一向线上,又不服行,故斟酌将AB转移到与AC平行的地位．证法3：如图4—11,过B作BE∥AC,交AD的延伸线于E,则∠2=∠E．∵∠1=∠2,∴∠1=∠E,AB=BE．剖析4 因为AD是∠BAC的等分线,故可过D分离作AB.AC的平行线,结构类似三角形求证．证法4 如图4—12,过D点作DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F．易证四边形AEDF是菱形．则 DE=DF．由△BDE∽△DFC,。

思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类

思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X ”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S －1类型一作平行线构造“A ”型或“X ”型相似1．如图11－S －2，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，若AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．图11－S －22．如图11－S －3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于点E ，交AB 于点F .求证：AE DE ＝2AF BF. 图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E . (1)如图△，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB的值； (2)如图△，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB的值(用含a 的代数式表示)．思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题．老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB的值．图11－S －4类型二作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AF AE的值．图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BM DM＝______； (2)若n ＝2，如图△，求证：BM ＝6DM ；(3)当n ＝________时，M 为BD 的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S －66．2019·朝阳已知：如图11－S －7，在△ABC 中，点D 在AB 上，E 是BC 的延长线上一点，且AD ＝CE ，连接DE 交AC 于点F .(1)猜想证明：如图△，在△ABC 中，若AB ＝BC ，学生们发现：DF ＝EF .下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D 作DG △BC ，交AC 于点G ，可通过证△DFG △△EFC 得出结论；思路2：过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H ，可通过证△ADF △△HEF 得出结论．请你参考上面的思路，证明DF ＝EF (只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图△)，过点D 作DM △AC 于点M ，试探究线段AM ，MF ，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图△，在△ABC 中，若AB ＝AC ，∠ABC ＝2△BAC ，AB BC＝m ，请你用尺规作图在图△中作出AD 的垂直平分线交AC 于点N (不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m的代数式直接表示FN AC的值．图11－S －7类型三作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BC AC； (2)若BC ＝6，AC ＝8， CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图△，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图△，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图△，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值，并说明理由．图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF △CA ，求EF 的长；(3)如图△，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF的值．图11－S －10详解详析1．解：如图，过点O 作OM △BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ，∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ， ∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b . ∵OM ∥BC ，∴△BEF ∽△MEO ，∴BF MO ＝BE ME ，即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG △CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点，∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF . ∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AF BF . 3．解：(1)甲同学的想法：如图△，过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF .∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图△，过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG .∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13. ∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图△，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵DE EF ＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC . ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG .∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG △AF . 又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点，△EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA .∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°.又△△AMD ＝60°，∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝△BAC －△MAD ＝30°，即△BAE ＝△EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BE CE＝1. 在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)． ∵∠BAM ＝△ABM ＝30°，∴AM ＝BM ，∴BM DM＝2. (2)证明：△△AMD ＝△ABD ＋△BAE ＝60°，∠CAE ＋△BAE ＝60°，∴∠ABD ＝△CAE .又△BA ＝AC ，∠BAD ＝△ACE ＝60°，∴△BAD △△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF △BD 交AE 的延长线于点F ，∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②，由△×△得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM . (3)△M 为BD 的中点，∴BM ＝MD .∵△BAD ≌△ACE ，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ，△AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·ME BM④，由△×△得CD ＝5－12DA ，∴n ＝5－12. 6．解：(1)思路1：如图△，过点D 作DG △BC ，交AC 于点G .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵DG ∥BC ，∴∠DGA ＝△BCA ，∠DGF ＝△ECF ，∴∠A ＝△DGA ，∴DA ＝DG .∵AD ＝CE ，∴DG ＝CE .又△△DFG ＝△EFC ，∴△DFG ≌△EFC ，∴DF ＝EF .思路2：如图△，过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵EH ∥AB ，∴∠A ＝△H .∵∠ECH ＝△BCA ，∴∠H ＝△ECH ，∴CE ＝EH .∵AD ＝CE ，∴AD ＝EH .又△△AFD ＝△HFE ，∴△DF A ≌△EFH ，∴DF ＝EF .(2)结论：MF ＝AM ＋FC .证明：如图△，由思路1可知：DA ＝DG ，△DFG ≌△EFC ，∴FG ＝FC .∵DM ⊥AG ，∴AM ＝GM .∵MF ＝FG ＋GM ，∴MF ＝AM ＋FC .(3)AD 的垂直平分线交AC 于点N ，如图△所示．连接DN ，过点D 作DG △CE 交AC 于点G .设DG ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝AC ＝mb ，AD ＝AG ＝ma .∵∠ABC ＝2△BAC ，设△BAC ＝x ，则△B ＝△ACB ＝2x ，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°. ∵NA ＝ND ，∴∠A ＝△ADN ＝36°.∵∠ADG ＝△B ＝72°，∴∠NDG ＝△A ＝36°.又△△DGN ＝△AGD ，∴△GDN ∽△GAD ，∴DG 2＝GN ·GA .易知DG ＝DN ＝AN ＝a ，∴a 2＝(ma －a )·ma ，两边同除以a ，得m 2a －ma －a ＝0. ∵DG ∥CE ，∴DG ∶CE ＝FG △FC ＝DG △DA ＝1△m .∵CG ＝mb －ma ，∴FG ＝1m ＋1·m (b －a )， ∴FN ＝GN ＋FG ＝ma －a ＋1m ＋1m (b －a )＝m 2a －a ＋mb －ma m ＋1＝mb m ＋1， ∴FN AC ＝mbm ＋1mb ＝1m ＋1. 7．解：(1)证明：如图，过点D 作DP △BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ，∴∠DQM ＝△DPN ＝90°.又△△C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即△MDQ ＋△MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即△MDP ＋△NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝△NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQ DP. ∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN＝BC AC. (2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1，DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4. ∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43. 又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53. 8．解：(1)1△2 BD △BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD △AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ，∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE △AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ， ∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE △AF ＝OD △AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值是1.理由如下：由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 9．解：(1)△将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝△BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5. (2)连接AM 交EF 于点O ，如图△，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝△MFE ，∴∠AEF ＝△AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ，∴四边形AEMF 为菱形．设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x .∵四边形AEMF 为菱形，∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ，∴CM CB ＝CE CA ＝EM AB，即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103. ∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ， ∴EF ＝2×43×2094103＝4109. (3)如图△，过点F 作FH △BC 于点H ，∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ， ∴CN ∶NH ＝CE △FH ，即1△NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4△7. 设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH △AC ，即(4－7x )△3＝4x △4，解得x ＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65.第11页/共11页在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。

几种证明全等三角形添加辅助线的方法

几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。

以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。

方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。

例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。

通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。

由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。

例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。

通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。

由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。

通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。

通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。

初三数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

全等三角形六种辅助线方法及例题

全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。

本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。

一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。

这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。

相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。

相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。

相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。

相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。

这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。

解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。

由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。

因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。

又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。

九年级数学上册第6讲相似三角形的判定及性质第4课时成比例线段的证明和计算的五种常用作辅助线的方法

解：过点 D 作 AB 的平行线，交 AC 于点 G. ∵BDDC＝EFDE＝2，∴CCDB＝13，FEDF＝23. 易证得△FAE∽△FGD，△CGD∽△CAB. ∴DAEG＝FEDF＝23，DABG＝CCDB＝13. ∴AE＝23DG，AB＝3DG. ∴BE＝73DG. ∴BE∶AE＝7∶2＝72.

又∵DC＝1，MC＝12BC，∴AC＝MCD·CBC＝12BC2.① 又易知 Rt△AEC∽Rt△BAC，∴ABCC＝EACC. 又∵EC＝1，∴AC2＝CE·BC＝BC.②
由①②得 AC＝12AC4，∴AC＝3 2.
5．如图，直线DF分别交△ABC的BC，AB两边于D，E，与
CA的延长线交于F，若 BDDC＝EFDE ＝2，求BE∶AE.
证明：过点 P 作 PE⊥AC 于点 E，PF⊥CB 于点 F，易得四边形 CEPF 为矩形．∴PF EC. ∴∠A＝∠FPB. ∵∠AEP＝∠PFB＝90°，∴Rt△AEP∽Rt△PFB，∴PPAB＝BPEF. 易得 PF＝BF＝EC，∴PPAB＝EPEC.① ∵CP⊥MN 于 Q，∴∠QCN＋∠QNC＝90°. 又∵∠QCN＋∠QCM＝90°，∴∠QCM＝∠QNC.
∵∠PEC＝∠MCN＝90°， ∴Rt△PEC∽Rt△MCN. ∴CEMP ＝CENC，即EECP＝CCMN.② 由①②得PPAB＝CCMN ，即 PA∶PB＝CM∶CN.
3．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，FG⊥AB于点G.求证： FG2＝CF·BF.
证明：延长GF与AC，交于点H. ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴CD∥FG， ∴∠ACE＝∠H，∠AEC＝∠AFH，∠AED＝∠AFG， ∠ADE＝∠AGF， ∴△AED∽△AFG，△AEC∽△AFH，

相似证明方法

相似证明方法在数学和科学研究中，证明两个对象或现象相似的方法是非常重要的。

相似性的证明可以帮助我们理解事物之间的关联，推断出新的结论，甚至指导我们解决实际问题。

本文将介绍几种常见的相似证明方法，帮助读者更好地理解和运用相似性的概念。

一、比例法。

比例法是证明两个对象或现象相似的常用方法之一。

当我们需要证明两个图形相似时，可以通过比较它们对应边的比例来进行证明。

例如，对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么可以得出这两个三角形是相似的。

比例法的优点是简单直观，容易理解和应用，适用于各种类型的图形。

二、角度法。

角度法是另一种常见的相似证明方法。

在证明两个三角形相似时，我们可以通过比较它们的对应角度来进行证明。

如果两个三角形的对应角相等，即角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，那么可以得出这两个三角形是相似的。

角度法的优点是适用范围广，不仅适用于三角形，也适用于其他类型的图形。

三、辅助线法。

辅助线法是在证明图形相似时常用的方法之一。

通过引入辅助线，我们可以将原来的图形分解成若干个简单的几何图形，从而更容易进行相似性的证明。

例如，在证明两个三角形相似时，我们可以通过引入垂直平分线、中位线等辅助线，将原来的三角形分解成若干个全等的三角形，从而得出它们是相似的结论。

辅助线法的优点是能够简化证明过程，使证明更直观、更易理解。

四、比较法。

比较法是在证明两个对象或现象相似时常用的方法之一。

通过比较它们的性质、特征、规律等，我们可以得出它们之间的相似性。

例如，在证明两个函数相似时，我们可以比较它们的定义域、值域、增减性、奇偶性等性质，从而得出它们是相似的结论。

比较法的优点是灵活多样，适用于各种类型的对象或现象。

五、数学归纳法。

数学归纳法是在证明一类对象或现象相似时常用的方法之一。

通过证明某个基本情况成立，并假设对于任意n都成立，然后证明n+1也成立，从而得出结论。

几何证明题辅助线的技巧和方法

几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。

它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。

以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。

1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。

这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。

2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。

通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。

这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。

3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。

通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。

4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。

内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。

5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。

通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。

总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。

通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。

初三相似三角形的基本模型

初三相似三角形的基本模型相似三角形在数学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在相似三角形的证明中，常见的基本模型是AA、辅助线构造成比例线段和面积法。

AA模型AA模型指的是两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，如果三角形DEF的两个角分别等于三角形ABC的两个角，那么我们就可以得出这两个三角形相似的结论。

辅助线构造成比例线段在相似三角形的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论。

常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。

例如，对于图中的问题，我们可以通过做平行线CE∥AD 来得到证明。

这种方法利用了“A”型图的基本模型。

面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题。

常用的面积法基本模型包括“山字”型。

“田字”型和“燕尾”型等。

在题型方面，与三角形有关的相似问题是常见的。

例如，对于图中的问题，我们需要证明角ADE等于角B，可以通过使用AA模型来得出结论。

在三角形ABC中，已知AB=3，AC=4，BC=5，以BC为边在A点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．解：首先，我们需要构造双垂直辅助线，如图所示：由于△ABD为等腰直角三角形，所以AD=BD=AB=3，又由于BC=5，所以BD=5-3=2，根据勾股定理可得CD=√(BC²-BD²)=√(5²-2²)=√21．因此，线段CD的长为√21．例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC。

根据折叠可知XXX⊥CP。

由∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠XXX°可得∠2=∠CNM。

常见辅助线的作法有以下几种

（Ｉ)如图１,当点M、N边AB、ＡC上,且ＤM=DN时，ＢM、NC、MN之间的数量关系是；此时L Q;
（IＩ）如图２,点M、N边AB、AＣ上，且当DMDN时，猜想（Ｉ)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;（IＩI）如图３,当M、N分别在边AＢ、ＣＡ的延长线上时,若AN=x,则Q=(用x、L表示）.
常见辅助线的作法有以下几种
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常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
五、旋转
例1正方形AＢCＤ中，E为BC上的一点，F为ＣＤ上的一点,BE+DF＝EF，求∠EAF的度数.
例２Ｄ为等腰Rt△ＡＢＣ斜边AＢ的中点，DM⊥ＤN,DM,ＤN分别交BC,CA于点E,F。(1)当MDN绕点D转动时,求证ＤE＝ＤF。（２)若AＢ=2，求四边形DEＣF的面积。
例３如图，△ABＣ是边长为3的等边三角形，∠ＢDC是等腰三角形,且∠BDC＝１20，以D为顶点做一个６0度角，使其两边分别交AB于点M,交AＣ于点Ｎ,连接MＮ,则ＡMＮ的周长为；
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABＣ中，∠B=60°,△ABC的角平分线ＡD,CＥ相交于点O，求证：OE=OＤ
2、如图，△ABC中，AD平分∠BＡC，ＤG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.（1）说明BE＝CＦ的理由;(2)如果AＢ=a，ＡC=b，求AE、ＢE的长．

相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A”“X”型例1：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点，求：BE：EF的值.解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，则∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE：EF=5：1.解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，∴BE：EF=5：1.解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，∵BD=2DC ∴∴BE：EF=5：1.变式：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,求AF：CF的值.解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，，1==AEDEFEPE,2==DCBDPFBP，则2==EADAEFDQ,3==DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563=-=-=-=，则DCCTDT21==；TCBTEFBE=，DCBT25=例2：如图，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：（证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）例3：如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

初中辅助线102种方法

初中辅助线102种方法初中数学中，辅助线是解题的重要方法之一、通过合理地引入辅助线，能够简化问题，帮助学生更好地理解和解决数学问题。

下面是一些常见的辅助线方法，总结了102种用辅助线解题的方法。

一、平行四边形和三角形（12种方法）1、分许由对角线2、分许由平行边3、形状做法4、补全四边形5、平行线判定6、直角判定7、等腰判定8、矩形判定9、菱形判定10、全等判定11、相似判定12、中点延长线二、倍数关系（6种方法）1、倍数关系长方形2、被圆分割成n个三角形3、被弦分割成n个扇形4、内切正多边形5、圆切割三角形6、两个相似图形三、角的平分线和垂线（8种方法）1、垂直外角2、垂直内角3、垂直交角4、等角判定5、三角形内角和6、两侧和等于第三侧7、外角和等于第四角的补角8、两个相似三角形四、四边形（8种方法）1、等角判定2、平行线判定3、等腰判定4、全等判定5、相似判定6、斜线等分线段7、低线两边相等8、对角线平分四边形五、边和边平行关系（6种方法）1、等角判定2、平行线判断3、合同判定4、全等判定5、相似判定6、横截线段相等六、圆和直线关系（14种方法）1、相切公切线2、点在圆上3、相交的弦等分圆4、是否平行5、是否垂直6、是否相似7、是否全等8、是否合同9、切线垂直半径10、相似三角形11、距离公式12、两个平行线13、切线与弦的垂直关系14、切线两点之间的线段相等七、平行线关系（12种方法）1、内部角和2、外部角和3、迭代序列4、两个相似形状5、形状判定6、三个平行关系7、三角形内角和8、三角形外角和9、三角形相似10、勾股定理11、水平线距离12、角平分线八、相似三角形（10种方法）1、内切椭圆2、相似判定3、垂直交角4、对称判定5、角平分判定6、高线比例关系7、内角和定理8、充分条件9、相似比例关系10、线段比例关系九、勾股定理（10种方法）1、勾股定理判定2、勾股定理特殊情况3、勾股定理特点4、勾股定理形式类比5、勾股定理直角判断6、勾股定理相似关系7、勾股定理扇形等分8、勾股定理四边形判定9、勾股定理和比例关系10、勾股定理和角平分线十、全等三角形（8种方法）1、全等三角形定理2、全等三角形的性质3、等腰三角形4、直角三角形5、相似三角形6、全等三角形的斜线相等7、全等三角形的线段比例关系8、全等三角形的勾股定理十一、正多边形（6种方法）1、内切圆2、相似判定3、垂直交角4、直径5、内角和定理6、线段比例以上就是102种初中数学中常用的辅助线方法。

常见辅助线的作法有以下几种：

D C BAED F CB A常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（一）、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是____ _____.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.AED CB延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．由已知条件不难算出：∠1=∠2=30°，∠3=∠4=40°=∠C．于是QB=QC．又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，故∠D=40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，等量代换即可得证．解答：证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C．∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，AP=AP，∠1=∠2，∠D=∠C=40°∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．即AB+BD=AQ+QC ， ∴AB+BP=BQ+AQ ．点评：本题实际是以角平分线AP 为对称轴将△APC 翻折成△APD ．利用对称变换解题常常选择角平分线，某一线段的垂直平分线作为对称轴．作辅助线构造全等三角形是关键．中考应用（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC_ C_ D_ B_ A2：如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD三梯形的辅助线口诀：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。

相似三角形添加辅助线的方法举例

相似三角形添加辅助线的方法举例1.垂直角辅助线：当三角形中存在垂直角时，我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。

例如，在一个直角三角形中，我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线，这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。

2.中位线辅助线：在一个任意三角形中，我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。

这些中位线的交点被称为三角形的重心。

通过画三角形重心与其他顶点的连线，可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。

3.等角辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。

例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等，那么我们可以推断这两个三角形相似。

4.比例辅助线：当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时，可以利用比例辅助线。

例如，在两个相似三角形中，我们可以通过添加比例辅助线，将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形，并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。

5.平行辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。

例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行，那么我们可以推断这两个三角形相似。

以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法，它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。

在实际解题过程中，根据问题的不同，我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。