集合知识点总结及典型例题

集 合

一．【课标要求】

1．集合的含义与表示

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用

二．【命题走向】

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。

预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体

三．【要点精讲】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系：

（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A B （或）；

A a ∈A b ∉⊆

B A ⊂

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B 且B A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A A ；2）A ；3）若A B ，B C ，则A C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；

（2）若S 是一个集合，A S ，则，=称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）()=A ；2）S=，=S

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。交集。

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质：

（1） （2） （3）

（4）；

（5）（A ∩B ）=（A ）∪（B ），（A ∪B ）=（A ）∩（B ）。

四．【典例解析】 题型1：集合的概念

(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 答案 ：12

解析 设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有

人，由此可得，解得，所以，

即 所求人数为12人。

例1．已知全集，集合和

⊆⊇⊆⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆S C }|{A x S x x ∉∈且S C S C S C ΦΦS C }|{B x A x x B A ∈∈=⋂且}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃);()(B A B A ⋃⊆⋂B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;S C S C S C S C S C S C x (15)x -(10)x -(15)(10)830x x x -+-++=3x =1512x -=U R ={212}M x x =-≤-≤

的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的

集合的元素共有( )

A. 3个

B. 2个

C. 1个

D. 无穷多个 答案 B

解析 由得，则，有2个，选B.

例2．集合,,若,则的值为

( )

A.0

B.1

C.2

D.4 答案 D

解析 ∵,,∴∴,故选D.

【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

题型2：集合的性质

例3．集合,,若,则的值为

( )

A.0

B.1

C.2

D.4 答案 D

解析 ∵,,∴∴,故选D.

【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

随堂练习

1.设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2

+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）

A ．{2}

B ．{3}

C ．{－3，2}

D ．{－2，3}

2. 已知集合A={y|y 2

-(a 2

+a+1)y+a(a 2

+1)>0},B={y|y 2

-6y+8≤0}，若

A ∩

B ≠φ，则实数a 的取值范围为（ ）．

{21,1,2,}N x x k k ==-={212}M x x =-≤-≤31≤≤-x {

}3,1=⋂N M {}0,2,A a ={}

21,B a ={}0,1,2,4,16A B =a {}0,2,A a ={}2

1,B a ={}0,1,2,4,16A B =216

4

a a ⎧=⎨=⎩4a ={}0,2,A a ={}

21,B a ={}0,1,2,4,16A B =a {}0,2,A a ={}2

1,B a ={}0,1,2,4,16A B =216

4

a a ⎧=⎨=⎩4a =