初三数学经典试题及答案

初中数学试例
一、填空题：
6、已知01x ≤≤.
(1)若62=-y x ，则y 的最小值是 ； (2).若2
2
3x y +=，1xy =，则x y -＝ .
答案：（1）-3；（2）-1.
7、用m 根火柴可以拼成如图1所示的x 个正方形，还可以拼成如图2所示的2y 个正方形，那么用含x 的代数式表示y ，得y ＝_____________．
答案：y ＝5
3x －5
1
.
8、已知m 2－5m －1＝0，则2m 2
－5m ＋
1
m 2
＝ .
答案：28.
9、____________________
范围内的有理数经过四舍五入得到的近似数3.142.
答案：大于或等于3.1415且小于3.1425.
10、如图：正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、 交AB 于点N ，交CB 的延长线于点P ，若MN ＝1，PN ＝3，
则DM 的长为 .
答案：2.
11、在平面直角坐标系xOy 中，直线3+-=x y 与两坐标轴围成一个△AOB。

现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、
21、3
1
的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P 的横坐标，将该数的倒数作为点P 的纵坐标，则点P 落在△AOB 内的概率为 . 答案：
5
3. 12、某公司销售A 、B 、C 三种产品，在去年的销售中，高新产品C 的销售金额占总销售金额的40%。

由于受国际金融危机的影响，今年A 、B 两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C 是今年销售的重点。

若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C 的销售金额应比去年增加 %. 答案：30.
13、小明背对小亮按小列四个步骤操作：
（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同； （2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 . 答案：6.
14、某同学在使用计算器求20个数的平均数时，错将88误输入为8，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 . 答案：-4.
… …
…
图1 图2
第19题图P N M D
C
B A
15、在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O
与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O 与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O 与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O 与坐标轴有4个交点； 答案：（1）r=3； （2）3＜r ＜4； （3）r=4或5； （4）r ＞4且r ≠5.
二、选择题：
1、图(二)中有四条互相不平行的直线L 1、L
2、L
3、L 4所截出的七个角。

关于这七个角的度数关系，下列何者正确？( )
A ．742∠∠∠＋＝
B ．613∠∠∠＋＝
C ．︒∠∠∠180641＝＋＋
D ．︒∠∠∠360532＝＋＋ 答案：C.
2、在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处。

如果AE 过BC 的中点，则平行四边形ABCD 的面积等于（ ） A 、48 B 、610 C 、712 D 、224
答案：C.
3、如图，⊙O 中弦AB 、CD 相交于点F ，AB ＝10，AF ＝2。

若CF ∶DF ＝1∶4，则CF 的长等于（ ）
A 、2
B 、2
C 、3
D 、22 答案：B.
4、如图：△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD 。

有下列四个结论：①∠PBC
＝150
；②AD∥BC；③直线PC 与AB 垂直；④四边形ABCD 是轴对称图形。

其中正确结论的个数为（ ）
O
F D
C
A
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 第10题图
P
D
C
B
A
答案：D.
5、如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C=90º，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF 。

在此运动变化的过程中，下列结论：
① △DFE 是等腰直角三角形； ② 四边形CDFE 不可能为正方形；
③ DE 长度的最小值为4；
④ 四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8。

其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．①④⑤
C ．①③④
D ．③④⑤ 答案：B.
三、解答题：
16、若a 、b 、c 为整数，且1=-+-a c b a ，求a c c b b a -+-+-的值. 答案：2.
17、方程
0120092007)20082
=-⨯-x x （的较大根为a ，方程020*******=--x x 的较小根为b ，求2009
)
(b a +的值.
解：把原来的方程变形一下，得到：
（2008x ）²-（2008-1）（2008+1）X-1=0 2008²x²-2008²x +x-1=0 2008²x（x-1）+（x-1）=0 （2008²x +1）（x-1）=0
x=1或者-1/2008²，那么a=1. 第二个方程：直接十字相乘，得到： （X+1）（X-2009）=0
所以X=-1或2009，那么b=-1. 所以a+b=1+(-1)=0，即2009
)
(b a +=0.
18、在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．
(1) 求直线AB 的解析式；
(2) 当t 为何值时，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形△AOB 相似？
x
B
E
F
D
C
B
A
(3) 当t=2秒时，四边形OPQB 的面积多少个平方单位？ 解：(1)设直线AB 的解析式为：y=kx+b 将点A （0，6）、点B （8，0）代入得⎩⎨
⎧+=+⨯=b
k b
k 8006
解得⎪⎩⎪⎨⎧=-
=6
43b k
直线AB 的解析式为： 64
3
+-
=x y (2) 设点P 、Q 移动的时间为t 秒，OA=6，OB=8. ∴勾股定理可得，AB=10 ∴AP=t ，AQ=10-2t 分两种情况，
① 当△APQ ∽△AOB 时
AB AO AQ AP =，106210=-t t ，11
33
=t . ② 当△AQP ∽△AOB 时
AB AO AP AQ =，106210=-t t ，13
30
=
t . 综上所述，当1133=t 或13
30
=t 时，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形△AOB 相似.
(3) 当t=2秒时，四边形OPQB 的面积，AP=2,AQ=6
过点Q 作QM ⊥OA 于M △AMQ ∽△AOB
∴OB QM AB AQ =，8
106QM =，QM=4.8 △APQ 的面积为：8.48.422
1
21=⨯⨯=⨯QM AP (平方单位)
∴四边形OPQB 的面积为：S △AOB -S △APQ =24-4.8=19.2(平方单位)
19、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。

安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。

安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。

假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。

解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生，
由题意得：
⎩⎨
⎧=+=+800)(4560)2(2y x y x
解得：⎩⎨
⎧==80120y x
答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生。

x
B
（2）这栋楼最多有学生4×8×45＝1440（名）
拥挤时5分钟4道门能通过：%)201)(80120(25-+⨯＝1600（名）
∵1600＞1440
∴建造的4道门符合安全规定。

20、已知抛物线42)4(2
++-+-=m x m x y 与x 轴交于点A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，与y 轴交于点C ，且1x ＜2x ，1x ＋22x ＝0。

若点A 关于y 轴的对称点是点D 。

（1）求过点C 、B 、D 的抛物线的解析式；
（2）若P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 与△CBD 的面积相等，求直线PH 的解析式。

解：（1）由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>+=++-=∆--=⋅-=+=+0
32)42(4)4(4
240222212121m m m m x x m x x x x
由①②得：821-=m x ，42+-=m x
将1x 、2x 代入③得：42)4)(82(--=+--m m m
整理得：01492
=+-m m
∴1m ＝2，2m ＝7 ∵1x ＜2x
∴82-m ＜4+-m ∴m ＜4
∴2m ＝7（舍去）
∴1x ＝－4，2x ＝2，点C 的纵坐标为：42+m ＝8 ∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （－4，0）、B （2，0）、C （0，8）
又∵点A 与点D 关于y 轴对称
∴D （4，0）
设经过C 、B 、D 的抛物线的解析式为：)4)(2(--=x x a y 将C （0，8）代入上式得：)40)(20(8--=a ∴a ＝1
∴所求抛物线的解析式为：
862
+-=x x y （2）∵862+-=x x y ＝
1)3(2
--x ∴顶点P （3，－1）
设点H 的坐标为H （0x ，0y
）
∵△BCD 与△HBD 的面积相等 ∴∣
0y ∣＝8
∵点H 只能在x 轴的上方，故0y ＝8
将0y ＝8代入
862
+-=x x y 中得：0x ＝6或0x ＝0（舍去） ∴H （6，8）
设直线PH 的解析式为：b kx y +=则
P
N
M
C
B
A
O
y
x
⎩⎨
⎧=+-=+8613b k b k
解得：k ＝3 b ＝－10
∴直线PH 的解析式为：103-=x y
21、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90º，DE⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC 。

（1）求证：BG=FG ；
（2）若AD=DC=2，求AB 的长。

证明：（1）连结EC ，证明略
（2）证明⊿AEC 是等边三角形，AB=3
22、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系260050+-=x y ，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，
（1
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了%5.1m 。

国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴。

受此政策的影响，今年3月份至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台。

若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数） （参考数据：831.534≈，916.535≈，083.637≈，164.638≈） 解：（1）p=0.1x+3.8 月销售金额w=py=-5(x-7)2
+10125 故7月销售金额最大，最大值是10125万元 （2）列方程得
2000（1-m%）[5(1-1.5 m%)+1.5]×3×13%=936 化简得 3m 2
-560m+21200=0 解得 m 1=33720280+ m 2=3
37
20280-
因为m 1＞1舍去，所以m=52.78≈52.8
23、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（6，0），（6，8）。

动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动。

其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动。

过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连结MP 。

已知动点运动了x 秒。

（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含x 的代数式表示） （2）试求 ⊿MPA 面积的最大值，并求此时x 的值. F
B
E C
D
G
A
（3）请你探索：当x 为何值时，⊿MPA 是一个等腰三角形？ 你发现了几种情况？写出你的研究成果。

解：（1）（6—x ,
3
4
x ） （2）设⊿MPA 的面积为S ，在⊿MPA 中，MA=6—x ，MA 边上的高为3
4
x ， 其中，0≤x ≤6.∴S=
21（6—x ）×34x=32(—x 2+6x) = — 3
2(x —3)2
+6 ∴S 的最大值为6，此时x =3.
（3）延长ＮＰ交x 轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ
1> 若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6，∴x=2； 2> 若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x ，ＰＱ=
3
4
x ，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x 在Ｒt ⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2
＝ＭＱ2
＋ＰＱ2
∴(6—x) 2
=(6—2x) 2
+ (
34x) 2∴x=43
108 3> 若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝
35x ，ＡＭ＝6—x ∴35x=6—x ∴x=49
综上所述，x=2，或x=43108，或x=4
9
.
24、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3。

过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE⊥DC，交OA 于点E 。

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式； （2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G 。

如果DF 与（1）
中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为5
6，那么EF=2GO
是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：(1)易证⊿AED ≌⊿BDC, 故E(0,1) D(2,2) C(3,0)
所以抛物线解析式为 y=-65x 2+6
13x+1 (2)成立。

M(-
56,5
12
), 所以直线DM ：y=-0.5x+3,所以F （0，3），作DH ⊥OC 于H ，则⊿DGH ≌⊿FAD ，从而GH=1,OG=1,又EF=3-1=2，所以EG=2GO （3）存在。

分三种情况：
若PG=PC,则P 与D 重合，此时点Q 即为点D
若GP=GC ，则GP=2，因为点G 到直线AB 的距离是2，故点P 在直线x=1上，所以Q(1,
3
7) 若CP=CG,则CP=2, 因为点C 到直线AB 的距离是2,所以P 与B 重合，此时Q 与C 重合， 因为此时GQ ‖AB ，故舍去
综上，满足条件的点Q 的坐标为（2，2）或(1,3
7)。