保险精算课件 第4章生存年金

第4章 生存年金精算现值
5.1 生存年金的概念 生存年金（Life Annuity）是以被保险
人存活为条件，按预先约定的金额以间隔相 等的时期（年、半年、季、月）进行一系列 给付的保险。
注：在生存年金研究中，习惯用 n Ex 表示1
单位元纯生存保险的精算现值，即
n Ex
A1 x:n
vn n px
例：某保单提供从60 岁起每月给付500元的生存 年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年 末给付10000元。设预定利率为6%，如果某人购 买了这种保单，根据附表2的资料，求这一生存年 金的精算现值。
a&&x(m：n) a&&x(m) n Exa&&x(mn)
• UDD假定下的近似公式
a(m) x:n
a x:n
m 1 (1 2m
n Ex )
a&&(m) x:n
a&& x:n
m 1(1 2m
n Ex )
3.延期生存年金
• 延期m年终身生存年金（UDD假定）
m
a(h) x
m
ax
h 1 2h
a&& x:n
1 a x:n
n Ex
m a&&x m1 ax
a&& 1 a
x:n
x : n1
m n a&&x m1 n ax
例：对于（30）的从60岁起每年6000元的生
存年金，利息力 0.03 。死亡密度为
f (x) 0.02e0.02x.
求保单的趸缴净保费。
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元。 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。
i i(m)
Ax
1.终身生存年金
a&&x(m)
a(m) x
1 m
• 基本公式
a&&x(m)
1 m
k
vm
k 0
k m
px
• UDD假定下的近似公式
a&&x(m)
a&&x
m 1 2m
1
d (m)a&&x(m)
A( m ) x
2. n年定期一年m次生存年金
a(m) x ：n
a(m) x
n
Ex ax( m n)
km
a&& a&& x : mn x : m
m Ex a&&xm
m
Ex
a&& xm
:
n
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金
m ax
k Ex
k m1
ax
a x:m
m Ex axm
延期m年期末付 n年定期生存年金
m n 1
m n ax
k Ex
k m1
a a
k Ex
vk k px
k 0
k 0
• 期末付定期生存年金
n
n
a x:n
k Ex
vk k px
k 1
k 1
3.延期期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金
延期m年期初付 n年定期生存年金
m a&&x k Ex
km
精算
现值
a&&x
a&& x:
m
mn1
m n a&&x
k Ex
例：设生存函数为 S(x) 1 x , 利息力 110
0.05 , 试计算精算现值 a 50 :10
3.延期m年连续生存年金
m ax
m
vt
t
pxdt
ax
a x
:m
m Ex axm
4.延期m年n年定期连续生存年金
am x:n
mn m
vt
t
pxdt
a x : mn
a x:m
m
Ex
a xm:n
a&&x
E(a&& K 1
)
E (1
vK d
1
)
1 Ax d
即 1 d a&&x Ax
公式二：
1 iax iAx Ax
解释：x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 Ax ，加上(x)存活期每年 i 元的利息
现值 iax和死亡年年末i元利息的现值 iAx 。
推导：
1 vK
ax
※生存年金递推公式
a&&x 1 v px a&&x1
5.4 生存年金与寿险的关系
公式一： 1 d a&&x Ax
解释： (x)投保时的1单位元等于(x)在存活期 每年初的1单位元的预付利息d和 (x)死亡年末 1单位元赔付现值之和
推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK 1)
a va&& A1
x:n
x:n
x:n
例：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付 年金额为2000元的生存年金，利率i=6%， 试求死亡均匀分布假设下终身生存年金的精
算现值（已知 A35 0.11156 ）.
提示：利用公式 1 ax Ax
5.5 年付m次生存年金的精算现值
• 分类
– 终身年金与定期年金 – 期初付年金与期末付年金 – 延期年金与非延期年金
k 0
k 0
它是一系列保险期逐步延长的纯生存保险之和
• 期末付终身生存年金
ax k Ex vk k px a&&x 1
k 1
k 1
例：某人现年30岁，欲在其生存期间每年年 初向保险公司领取50元，则此人在30岁时的 趸缴净保费是多少？
2.定期生存年金
• 期初付定期生存年金
n1
n1
a&& x:n
50000 0.5918985 991353 995225
29479.78 (元)
＊利率和生者利下的
累积系数 折现系数
1 n Ex
1 vn n
px
(1 i)n
lx lxn
n Ex t Ex E nt xt
也叫精算累积因子和精算折现因子。
练习:
1. 计算(25)购买40年定期纯生存险的趸缴纯 保费。利率i＝6％，保险金额为3万元。
m Ex
m
来自百度文库
a&&x(h)
m
a&&x
h 1 2h
m Ex
• 延期m年n年定期生存年金 （UDD假定）
a(h)
mn x
m n ax
h 1 2h
(
m
Ex
mn
Ex )
m n a&&x(h)
m n a&&x
h 1 2h ( m Ex
mn Ex )
例：对于(30)的从60岁起每月500元的生存 年金，预定利率为6%。根据附表1，计算 保单的趸缴净保费。
2.连续定期生存年金
n
(1)
a x
：n
0
a t
t
px
xtd t
n
px
a n
(2)
a x:n
n 0
vt
t
pxdt
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
f (t) 0.015e0.015t (t 0), 利息力为0.05。试计算精算现值 ax ，
并求该现值足够用于实际支付年金的概率。
E(a K
)
E(
i
)
E(1 (1 i)vK 1 ) i
1 (1 i) Ax i
公式三：
1 ax Ax
推导：对终身寿险和连续终身生存年金，有
Ax E(vT )
ax
E(a T
)
E(1 vT
)
1
(1
Ax )
1 ax Ax
1 da&& A
x:n
x:n
1a A
x:n
x:n
ax va&&x Ax
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
岁起以生存为条件得到年金。假设年金每年支 付一次，一次支付6000元。用精算符号表示 该保单的趸缴净保费。
• 推导思路
– 寻找与一年一次付年金之间的关系
补充：关于
A(m) x
的计算
把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡
给付在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元
的终身寿险现值以
A(m) x
表示。
当m趋于无穷大时，有
Ax
lim
m
A(m) x
A(m) x
E(vK S(m) )
E(vK 1)E(1 i)1S(m)
5.3 连续生存年金
＊连续年金
年支付额为1个单位的t年期连续年金的现值为
a t a1(s)ds
t
0
常数利率情形下：
a t vsds 1 vt
t
0
1.连续终身生存年金
（1）ax
E(a T
)
0
a t
fT (x) (t)d t
1 vt
0
t pxxtd t
(2) ax
0
vt
t
pxd t
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
a&&x k Ex vk k px
x : mn
x:m
m Ex
a xm : n
例：某人30岁时购买了从60岁起年支付额为 10000元的终身生存年金，求其趸缴净保费。 如果他在68.8岁时死亡，求此人所获年金在 30岁时的现值（假定利率为6% ）。
＊期初付和期末付年金之间的关系
a&&x ax 1
m a&&x m ax m Ex
lx n Ex (1 i)n lxn
例：某人立有遗嘱：其儿子年满21岁时可获 得其5万元遗产。其子现年12岁，因有急事需 提前支取这笔遗产。若利率为6%，利用附表1 的生命表求其子现在可以支取的金额。
解：500009 E12 50000 v9 9 p12
500001.069 l21 l12