高中数学讲义微专题69 直线与圆锥曲线的位置关系

y1 y2 p2
（2）
AB
x1 x2
p
k2p 2p k2
p
2k 2 p 2 p k2
2p
1
1 k2
2 p 1
1 tan2
2
p
1
cos 2 sin2
2p sin2
（3） SAOB
1 2
dO l
AB
1 2
OF sin
AB
1 2
p 2
sin
2 sin
p 2
p2 2sin
（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果 A, B 为直线与曲线的交点（即 AB 为
曲 线 上 的 弦 ） ， 则 x1 x2 （ 或 y1 y2 ） 可 进 行 变 形 ：
x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 ，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程
同的根，则为相切
（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为 ,a a, ，
所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当 x a 时，点位于双曲线的右支；当 x a 时，点位于双曲线的左支。对于方程：
b2 a2k 2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0 ，设两个根为 x1, x2
位于双曲线同一支上。
（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离
1、位置关系的判定：以直线 y kx m 和抛物线： y2 2 px p 0 为例
联立方程：
y kx m y2 2 px
kx
m2
2 px
，整理后可得：
k 2x2 2km 2 p x m2 0
（1）当 k 0 时，此时方程为关于 x 的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与
（2）本题还要注意细节，椭圆方程中 x2 , y2 的系数不同，所以 m 7
例 2：已知双曲线 x2 y2 1 的右焦点为 F ，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个 12 4
交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）
m 7k 2 1 1 max
m 7 m 1,7 7, 思路二：从所给含参直线 y kx 1 入手可知直线过定点 0,1 ，所以若过定点的直线均与椭
圆 有 公 共 点 ， 则 该 点 位 于 椭 圆 的 内 部 或 椭 圆 上 ， 所 以 代 入 0,1 后 x2 y2 1 ， 即
①
当 b2
a2k2
0
b a
k
b a
时，则 x1x2
a2m2 a2b2 b2 a2k2
0 ，所以 x1, x2 异号，即交
点分别位于双曲线的左，右支
②
当 b2
a2k2
0k
b a
或k
b ，且 a
0 时，x1x2
a2m2 a2b2 b2 a2k2
0 ，所以 x1, x2
同号，即交点位于同一支上
（3）通过联立方程消元，可得到关于 x （或 y ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或
乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出 x1, x2 , y1, y2 （所谓“设而不求”）
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简 化运算的过程
这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点 A x1, y1 , B x2, y2 为
两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（ x1 x2 , x1x2 , y1 y2 , y1y2 ，坚持数形结合，坚持
整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使 用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求 根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是 步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结 果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入 的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对 更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。 3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：
（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式：
1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设 A x1, y1 , B x2, y2 ，至于 A, B 坐标是否需要
解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
当 b2 a2k 2 0 k b 且 m 0 时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线 a
相交，只有一个公共点
当 b2 a2k 2 0 b k b 时，常数项为 a2m2 a2b2 0 ，所以 0 恒成立，此
a
a
时直线与双曲线相交
当 b2 a2k 2 0 k b 或 k b 时，直线与双曲线的公共点个数需要用 判断：
抛物线相交
（2）当 k 0 时，则方程为关于 x 的二次方程，可通过判别式进行判定 ① 0 方程有两个不同实根 直线与抛物线相交 ② 0 方程有两个相同实根 直线与抛物线相切 ③ 0 方程没有实根 直线与抛物线相离
2、焦点弦问题：设抛物线方程： y2 2 px ，
过焦点的直线
② b k b 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，
a
a
直线均ห้องสมุดไป่ตู้双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。
③ b2 a2k 2 0 k b 或 k b 时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：
a
a
直线不一定与双曲线有公共点（与 的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点
a
a
① 0 方程有两个不同实根 直线与双曲线相交
② 0 方程有两个相同实根 直线与双曲线相切
③ 0 方程没有实根 直线与双曲线相离
注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与
双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相
微专题 69 直线与圆锥曲线位置关系
一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，
下面以直线
y
kx
m 和椭圆：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例
y kx m （1）联立直线与椭圆方程： b2x2 a2 y2 a2b2
（2）确定主变量 x （或 y ）并通过直线方程消去另一变量 y （或 x ），代入椭圆方程得到关
于主变量的一元二次方程： b2x2 a2 kx m 2 a2b2 ，整理可得：
a2k 2 b2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0
（3）通过计算判别式 的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0 方程有两个不同实根 直线与椭圆相交 ② 0 方程有两个相同实根 直线与椭圆相切 ③ 0 方程没有实根 直线与椭圆相离
m
4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线 l : y kx m ，l 上两点 A x1, y1 , B x2, y2 ，
所以 AB
1 k 2 x1 x2 或 AB
1
1 k
2
y1 y2
（1）证明：因为
A
x1,
y1
,
B
x2
,
y2
在直线
l
上，所以
y1 y2
kx1 kx2
m m
7m
1 m2
1
m 1 ，因为是椭圆，所以 m
7 ，故 m
的取值范围是1,7 7,
答案：C
小 炼 有 话 说 ：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位
置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的 特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决 问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键
AB
x1
x2 2
y1
y2
2
，代入
y1
y2
kx1 m kx2 m
可得：
AB x1 x2 2 kx1 m kx2 m 2 x1 x2 2 k x1 x2 2
1 k 2 x1 x2 2 1 k 2 x1 x2
同理可证得 AB
1
1 k
2
y1 y2
b
2
x
2
a2 y2
a 2b 2
，消元代入后可得：
b2 a2k 2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0
（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为 a2k 2 b2 0 ，所以消元后的方程一定是二次方程，但双
曲线中，消元后的方程二次项系数为 b2 a2k 2 ，有可能为零。所以要分情况进行讨论
联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及 A, B 坐标的平方差问题中
也可使用点差法。 二、典型例题
例 1：不论 k 为何值，直线 y kx 1 与椭圆 x2 y2 1 有公共点，则实数 m 的取值范围是 7m
（）
A. 0,1
B. 1,
C. 1,7 7,
D. 0,7
思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去 y ），得到关于 x 的二次方程，因为直线与椭圆
有公共点，所以 0 在 x R 恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出 m 即可
解：
y kx 1
mx
2
7y2
7m
mx2
7 kx
12
7m
，整理可得：
m 7k 2 x2 14kx 7 7m 0
14k 2 4m 7k 2 7 7m 0
即 1 m 7k 2 0 m 7k 2 1
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例，设直线
y
kx
m 与椭圆交于
A x1, y1 , B x2, y2 两点，则该
两点满足椭圆方程，有：
x12 a2 x22
a2
y12 b2
y22 b2
1 1
考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
1
a2
x12 x22
3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系 1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离 2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定
以直线
y
kx
m 和椭圆：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例：
y kx m
（1）联立直线与双曲线方程：
1 b2
y12 y22
0
①
1 a2
x1
x2 x1
x2
1 b2
y1
y2
y1
y2
0
1 a2
x1
x2 x1
2
x2
1 b2
y1
y2
y1
2
y2
0
②
由等式可知：其中直线 AB 的斜率 k
y1 x1
y2 x2
，
AB
中点的坐标为
x1 x2 2
,
y1 2
y2
，
这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线 AB 的斜率与 AB 中点的
（1）斜截式： y kx m ，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去 y 则此形式比较好用，
且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符 合条件
（2） x my b ，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程
后消去 x 时使用，多用于抛物线 y2 2 px（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体 现斜率，当 m 0 时，斜率 k 1
（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线
的斜率相关，其分界点 b 刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关 a
系的判定
① k b 且 m 0 时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中 a
与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点
l
:
y
k
x
p 2
（斜率存在且
k
0
）， 对 应倾 斜 角 为
，与抛物线交于
A x1, y1 , B x2, y2
y2 2 px
联立方程：
y
k
x
p 2
k
2
x
p 2 2
2 px
，整理可得：
k 2x2 k 2 p 2p x k 2 p2 0 4
（1） x1 x2
p2 4