第四节重积分应用举例教材课程
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S 1 cos
2020/7/29
又将点R的坐标 xx0, y0 代入上式，得
z
cos cos
y0 ，即点R的坐标为
cos
x0
,
0,
cos
y0
因而得
co s co s M P x0,0 ,co sx0 x0 1 ,0 ,co s
M R 0 , y0,c c o o s s y0 y0 0 , 1 ,c c o o s s
z
zdv
,其中v是 的体积
v
,
Dz
A
h h
z
2
zdv0 hdzzdxdy0 hzD zdz
D z
A
h
2
zdvhA 20hzhz2dzA 1h 22, z
12 Ah
1 h. 4
3
2020/7/29
例4
设平面薄板由
x y
a(t a(1
sin t)，(0 cos t )
t
2)
与 x轴围成，它的面密度 1，求形心坐标．
例 1求 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 ， 含 在 圆 柱 体 x 2 y 2 a 内 部 x 的 那 部 分 面 积 .
解 由 对 称 性 知 A 4 A 1 , D 1 ： x 2 y 2 a(x x,y0)
曲 面 方 程 za 2 x 2 y 2 ,
于 是 1 x z2 y z2
4 x2 y2 1dxdy D
2
3
d
42 1d
37
37 1
0
0
6
2020/7/29
例3 求半径为a，高度为h0ha的球冠的面积。
解： 设球冠的方程为
za2x2y2,x,yD
其中
D x ,y x 2 y 2 2 a h h 2
由公式得球冠的面积
S D
zx2 zy2 1dxdy
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
2020/7/29
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
的 转 动 惯 量 为
a
,
a2 x2 y2
2020/7/29
面 积 A 4 1zx2zy2dxdy
D 1
4
D1
a dxdy
a2x2y2
4a 2d
acos
1
d
0
0
a22
2 a24a2.
2020/7/29
例2 求旋转抛物面 z x2 y2位于 0z9之间的那一部分的面积。
解： 设 Dx,yx2y29
由公式知 S 2x2 2y2 1dxdy D
D
a dxdy
a2 x2 y2
2
2ahh2
d
a d2ah
0
0
a2 2
2020/7/29
二、质心和转动惯量
1、质心：
设 xoy平面上有n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )，,( xn , yn )处，质量分别
为m1, m2 ,, mn．则该质点系的质心的坐标为
n
, y D
.
( x, y)d
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
2020/7/29
例3 设一正棱锥体 的底面位于 x o y 面上，底面中心为
坐标原点，顶点位于正z轴上，高度为h，求该正棱锥体的形心。
解：设 的形心坐标为 x, y, z 且 x 0, y0
的转动惯量依次为
n
n
I x mi yi 2 ， I y mi xi 2 .
i 1
i 1
2020/7/29
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo面 y上 的 闭 区 域
D， 在 点 (x,y)处 的 面 密 度 为 (x,y)， 假 定 (x,y)在 D上 连 续 ， 平 面 薄 片 对 于 x轴 和 y 轴
x
My M
mi xi
i 1 n
，
mi
i 1
n
y
Hale Waihona Puke Baidu
Mx M
mi yi
i 1 n
mi
．
i 1
2020/7/29
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在
D 上连续，平面薄片的质心
x( x, y)d
y( x, y)d
由元素法 x D
第四节 重积分应用举例
• 一、曲面的面积 • 二、质心和转动惯量 • 三、引力
2020/7/29
2020/7/29
z Q
P
RO
Ny
L
M(x0,y0,0)
x
一、曲面的面积
• 例1 设一底面为矩形的柱体被一平面所截， 如果截面的法向量为
底面位于 x o y 面，证明截面（平行四边形）的
面积 S 与底面的面积 有如下的关系：
于是得截面面积
SM PM R c co os s ,c co os s ,1 x0y0c o
1 s
2020/7/29
１．设曲面的方程为： zf(x,y)
z
在xoy面上的投影区域D,为
s
如图， 设小区 d 域 D,
dA
M
点 (x,y)d,
为 S上M 过 (x,y,f(x,y))
o
的切 . 平面
x
y 1
ydxdy1
2a y(x)
dx ydy
AD
A0
0
61a2
2a[y(x)]2dxa 2[1cot]s3dt
0
60
5 6
.
所 求 形 心 坐 标 为 ( a ,6 5 ) .
2020/7/29
2、转动惯量
设xoy 平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 ) ，, ( xn , yn ) 处，质量分别 为m1 , m2 ,, mn ．则该质点系对于x 轴和y 轴
(x, y) y
d
以d边界为准线，母 于z线 轴平 的行 小
柱面，截s曲 为d面 s；截切平 为面 dA，
则有 dAds.
2020/7/29
d 为 d在 Axo 面 y 上, 的 d 投 dA c影 o , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxd
Dxy
2020/7/29
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A 1 yz 2 x y 2dz.dx Dzx
2020/7/29
2020/7/29
又将点R的坐标 xx0, y0 代入上式，得
z
cos cos
y0 ，即点R的坐标为
cos
x0
,
0,
cos
y0
因而得
co s co s M P x0,0 ,co sx0 x0 1 ,0 ,co s
M R 0 , y0,c c o o s s y0 y0 0 , 1 ,c c o o s s
z
zdv
,其中v是 的体积
v
,
Dz
A
h h
z
2
zdv0 hdzzdxdy0 hzD zdz
D z
A
h
2
zdvhA 20hzhz2dzA 1h 22, z
12 Ah
1 h. 4
3
2020/7/29
例4
设平面薄板由
x y
a(t a(1
sin t)，(0 cos t )
t
2)
与 x轴围成，它的面密度 1，求形心坐标．
例 1求 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 ， 含 在 圆 柱 体 x 2 y 2 a 内 部 x 的 那 部 分 面 积 .
解 由 对 称 性 知 A 4 A 1 , D 1 ： x 2 y 2 a(x x,y0)
曲 面 方 程 za 2 x 2 y 2 ,
于 是 1 x z2 y z2
4 x2 y2 1dxdy D
2
3
d
42 1d
37
37 1
0
0
6
2020/7/29
例3 求半径为a，高度为h0ha的球冠的面积。
解： 设球冠的方程为
za2x2y2,x,yD
其中
D x ,y x 2 y 2 2 a h h 2
由公式得球冠的面积
S D
zx2 zy2 1dxdy
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
2020/7/29
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
的 转 动 惯 量 为
a
,
a2 x2 y2
2020/7/29
面 积 A 4 1zx2zy2dxdy
D 1
4
D1
a dxdy
a2x2y2
4a 2d
acos
1
d
0
0
a22
2 a24a2.
2020/7/29
例2 求旋转抛物面 z x2 y2位于 0z9之间的那一部分的面积。
解： 设 Dx,yx2y29
由公式知 S 2x2 2y2 1dxdy D
D
a dxdy
a2 x2 y2
2
2ahh2
d
a d2ah
0
0
a2 2
2020/7/29
二、质心和转动惯量
1、质心：
设 xoy平面上有n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )，,( xn , yn )处，质量分别
为m1, m2 ,, mn．则该质点系的质心的坐标为
n
, y D
.
( x, y)d
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
2020/7/29
例3 设一正棱锥体 的底面位于 x o y 面上，底面中心为
坐标原点，顶点位于正z轴上，高度为h，求该正棱锥体的形心。
解：设 的形心坐标为 x, y, z 且 x 0, y0
的转动惯量依次为
n
n
I x mi yi 2 ， I y mi xi 2 .
i 1
i 1
2020/7/29
设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo面 y上 的 闭 区 域
D， 在 点 (x,y)处 的 面 密 度 为 (x,y)， 假 定 (x,y)在 D上 连 续 ， 平 面 薄 片 对 于 x轴 和 y 轴
x
My M
mi xi
i 1 n
，
mi
i 1
n
y
Hale Waihona Puke Baidu
Mx M
mi yi
i 1 n
mi
．
i 1
2020/7/29
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在
D 上连续，平面薄片的质心
x( x, y)d
y( x, y)d
由元素法 x D
第四节 重积分应用举例
• 一、曲面的面积 • 二、质心和转动惯量 • 三、引力
2020/7/29
2020/7/29
z Q
P
RO
Ny
L
M(x0,y0,0)
x
一、曲面的面积
• 例1 设一底面为矩形的柱体被一平面所截， 如果截面的法向量为
底面位于 x o y 面，证明截面（平行四边形）的
面积 S 与底面的面积 有如下的关系：
于是得截面面积
SM PM R c co os s ,c co os s ,1 x0y0c o
1 s
2020/7/29
１．设曲面的方程为： zf(x,y)
z
在xoy面上的投影区域D,为
s
如图， 设小区 d 域 D,
dA
M
点 (x,y)d,
为 S上M 过 (x,y,f(x,y))
o
的切 . 平面
x
y 1
ydxdy1
2a y(x)
dx ydy
AD
A0
0
61a2
2a[y(x)]2dxa 2[1cot]s3dt
0
60
5 6
.
所 求 形 心 坐 标 为 ( a ,6 5 ) .
2020/7/29
2、转动惯量
设xoy 平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 ) ，, ( xn , yn ) 处，质量分别 为m1 , m2 ,, mn ．则该质点系对于x 轴和y 轴
(x, y) y
d
以d边界为准线，母 于z线 轴平 的行 小
柱面，截s曲 为d面 s；截切平 为面 dA，
则有 dAds.
2020/7/29
d 为 d在 Axo 面 y 上, 的 d 投 dA c影 o , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxd
Dxy
2020/7/29
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A 1 yz 2 x y 2dz.dx Dzx
2020/7/29