初二超经典相似三角形模型分析大全

相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）

B（不平行）

（二）8字型、反8字型

B

C

B

C

（蝴蝶型）

（平行）

（不平行）

（三）母子型

B

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展

C

B E

D

A

共享性

G

A B

C

E

F

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形:

例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2

．

例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．

求证：（1）DA DE DB ⋅=2

； （2）DAC DCE ∠=∠．

例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2

．

相关练习：

1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2

．

2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2

=NC ·

NB

A

C

D

E

B

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·DB

4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC

⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：∠=︒

GBM90

G

M

F

E

H

D

C

A

5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点

的距离为x，△BEP的面积为y．

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

双垂型:

A

B

P

求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED

2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

C

共享型相似三角形:

1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．

求证：（1）△ABE ∽△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．

C

一线三等角型相似三角形:

例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD

（2）当BD =1，FC =3时，求BE

A

例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.

①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；

②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合）

，且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.

例3：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝

DC ＝2．

（1）如图 ，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． A

B C

备用图

A

B

C D

A

B C

D

A

B C

P

Q

A

B

C

备用图

A

B

C

D

C

C B

A D （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长．

例4：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ． （1）求证：△MEF ∽△BEM ； （2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．

相关练习：

1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；

(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．

2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，

射线EF 交线段AC 于F ．

（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； A

A

B

C

D

E