运筹学最短路最大流邮路PPT课件

足：0≤fij≤cij, ( vi,vj∈A), ∑Fij- ∑Fji=
V(f) (i=s) ; 0 (i≠s,t); -v(f) (i=t)
最大流问题
饱和弧：若给一个可行流 f=﹛ fij ﹜，把网络 中使fij = cij的弧称为饱和弧， fij ＜ cij的弧称 为非饱和弧。
零流弧（fij =0）；非零流弧（fij ＞0） 设网络中有一从vs到vt到的一条链μ，则与链
1－3－6－7
最短路径问题的应用
例：设备更新问题
某厂使用一种设备，每年年初设备科需要对该设备的更新与否作出 决策。若购置新设备，就要支付购置费；如果继续使用则需要支付 维修费，设备使用的年数越长，每年所需的维修费越多。现若第一 年年初购置了一台新设备，问在5年内如何制定设备更新计划，以 便使新设备购置费和维修费的总费用最小？已知设备在5年内各年 年初的价格及设备使用不同年数的维修费如下：
24
2520 1158104
10
8
3
6
6
11 7
20
*
*
通过一个网络的最短路径
狄克斯屈（Dijstra）方法（ωij≥0）
开始节点标永久标记[0,P],其余为临时标记[T,-]
找出与开始节点相邻的所有节点，为每一个设标记 [L,1]，其中L值最小的节点标记右上角标上*，使之成 为永久标志。L为两节点间距离，1表示始于第一节点
的方向一致的弧称为前向弧，（前向弧的全体 记μ + ），与链的方向相反的弧称为后向弧。 （后向弧的全体记μ- ）
最大流问题
增广链：设f是一个可行流，μ是从vs到vt的
一条链，若μ满足下列条件，则称之为增广链：
在弧（vi，vj) ∈μ +，0≤f<c， 在弧（vi，vj) ∈ μ- ，0＜f≤c 。
最大流量求解
线性规划方法 标号法
最大流问题
网络与流： 网络：给一个有向图D=（V，A），在 V中指定一点称为
发中点间（点记，为对应vs 每)，一而个另弧一（点vi称，为vj）收∈点A（，记对为应vt有）一，个其C余（点vi叫， vj）≥0（或简写为cij） ，称为弧的容量。通常我们就把D 叫做一个网络。记作D=（V，A，C）。
弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。
从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i （使用寿命为j-i年）
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22 具体权数计算结果如下：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3
17
通过一个网络的最短路径
k
[Di ,m] i
[Dj,k] j
Lij
从i-j时： 如果Di+Lij≥Dj,则不改变j的标记； 如果Di+Lij<Dj，则改为[Di+Lij,i]
通过一个网络的最短路径
*
例5－5 狄克斯屈方法 ：
*
*
20
[0,P]
1
[20,1] [T,-]
2
8
15
10
[35,4]
[44,2]
截集：对网络D=（V ，A，C），若点集V被剖分为 两个非空集合V1和V1，使vs ∈ V1 ， vt ∈ V1，则 把弧集（ V1，V1 ）称为截集。
23
31
4
17
23
5
18
通过一个网络的最短路径
例 设备更新问题 ：
22
2
41
16
16 30
1 30 59
41
4 23 17
6
22 17 31
3
23
5 18
使用Dijstra算法，上述问题最短路为1-3-6或1-4-6
即：第1、3年年初购买设备，或第1、4年年初购买设备
五年最佳总费用为53。
作业题：
24
[T,-]
5
*
[25,3]
[T,-] 10
4 8
11 [41,6] [T,-]
7
20
3
[T,-] [15,1]
*
6 6
[T,-]
[21,3]
*
通过一个网络的最短路径
从起始点到每一点的最短距离为：
节点 最短距离 路径
2
20
1－2
3
15
1－3
4
25
1－3－4
5
35
1－3－4－5
6
21
1－3－6
7
41
第i年
1
2
3
4
5
价格 ai
11
11
12
12
13
使用寿命
0－1
1－2
2－3
3－4
4－5
费用 bi
b1
b2
b3
b4
b5
5
6
8
11
18
最短路径问题的应用
例 设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新 设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在 第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。 路径的权数为购买和维修费用。
某地7个村镇之间现有交通距离如图
求：1)从村1到其余各村的最短距离？
2)如要沿路架设电话线，如何使总长度最小同时又使每个村都 能安装上电话？
4
7 10
12
26
1
11
2
10
24
5
7
15
16
12
25
15
3
6
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最大流问题
最大流问题（有向图或网络） 在一定条件下，使网络系统中从开始点到结束 点之间的某种物资流（交通流、信息流、资金 流、水流等 ）的流量达到最大的问题。限制 条件是每一条边的最大通过能力（流量）不等。 但有多条路。
流：定义在弧集合A上的一个 函数f=﹛f（vi，vj）﹜，并称 f（vi，vj）为弧（vi，vj）上的流量，可简写为fij
也可以描述成“加在网络各条弧上的一组负载量(fij)”
最大流问题
可行流 可行流：满足下述条件的流f称为可行流：
1）容量限制条件：对每一条（vi，vj) ∈A，
0≤ fij≤cij 2）平衡条件，即对于中间点，流出量=流入量。 可行流的流量：即发点的净输出量或收点的净输入量。 最大流问题就是求一个流，使其流量达到最大。且满
7.3 最短路问题
问题 在一个网络中，给定一个始点Vs，和一 个终点Vt，求Vs 到Vt的一条路，使路长 最短。
求解 能划分阶段的，可采用动态规划方法。 不能分阶段的，采用方法。
通过一个网络的最短路径
如果P是D中从Vs 到Vt的最短路，Vi是P中的一个点， 那么，从Vs 沿P到Vi的路是从Vs 到Vi的最短路。
从新的永久标志开始，找出从此节点出发可到达的所有 节点，计算这些节点的最短距离（现有距离和经新的永 久标志到达的距离的小的一个值），保持、新设或更改 这些节点的标志为 [最短距离，最短路径上前一节点标 号]，比较图中所有没有*的标记（临时性标记），找出 距离最短的一个节点，使之成为永久性标记。重复这一 步，直到所有的节点都成为永久性标志为止。