概率论与数理统计(王明慈第二版)第5章数理统计的基本知识45PPT课件

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所以 Xi ~N(0,92),
i1
则1 9
9 i1
Xi
~N(0,1),
而 Y i~ N (0 ,9 )有 ,Y i 3 ~ N (0 ,1 ),故 (Y 3i)2~2(1)i,1,2, ,9.
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由可加 9 (Y 性 i)2~知 2(9)
3 i1
所以根据 t分布的定义有
则 1 2 2 2 有 n 2 ~ 2 ( k 1 k 2 k n ).
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(2) 期望与方差 ( P927题)
若X~ 2(k)，则E(X)= k，D(X)=2k .
近似
(3) 若 X ~（ 2k ） ,则 k 时 X ~ N ， ( k ,2 k ),
自由k： 度 指χ2 X12Xk2中包含独立变.量的
特别地,当k=1时,若 X 1~ N (0， ,则 1 X 1 2) ~（ 21 ）
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其概率密度函数:
f2
(x)
k 22
1 (k)
2
k1 x
x2 e 2
,
x
0;
0,
x 0.
其图形随着参数k的变化而改变，如图所示
fχ2 (x)
1
9
9 i 1
Xi
~ t(9)
9 ( Yi ) 2 9
3 i 1
9
故TXi i1
9
Yi2 ~t(9).
i1
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2. t 分布的分位点
定义2. 设 t~t(k),对于给定 (0的 1)数 满 , 足
P [t t(k ) ]t ft(x )d x (0 1 )
的t点 (k)称t(为 k)分布 分 的 位 . 点
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例2. 试求 0 2.0(5 1), 0 2.2(53)
解: 经查表2(P285)得
02.05(1)3.84
02.25(3)4.11
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二、t 分布
历史上，正态分布由于其广泛的应用背景和 良好的性质，曾被看作是“万能分布”。
在这样的背景下，十九世纪初英国一位年经 酿酒化学技师Gosset W S，他在酒厂从事试验和 数据分析工作， 对数据误差有着大量的感性的 认识，Gosset知道在总体均值和方差已知情况下，
k 2
k 6
k 1
O
x
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2. χ 2分布的性质
(1)可加Βιβλιοθήκη Baidu:若随机 12变 和22量 相互， 独 且 立
1 2~2 (k 1 ),2 2~2 (k 2 ),
则它们的和
1 22 2~ 2(k1k2).
此性质推广至多个变量的情形:
设 i2~2(ki)， 且 i2(i1,2, ,n)相互 ， 独
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其概率密度函数
ft (x)
(k1) 2
(1 x2 )(k1)
k(k) k
2
2
t 分布的概率密度函数图形如图所示
①关于x =0 对称；
ft (x)
②当k充分大时，其图形
k 30 k 3
与标准正态分布图形相似.
k 1
k l i m ft(x)(x)
1
x2
e 2,xR
2π
t(3)0 N(0,1)
则 若 的 存 称 x 2 为 点 x在 (kX ,)称 分 使 P [2 得 布 P2 为 (( 2 X k()的 k 分 )x] ()分 2上 布 f分 2 (x位 侧 )d.x的 点 位 ). 点
f2 (x)
O
2 (k )
x
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(P285)
χ20 . 9 0( 3 )
试求统X计 12量 X22X32的抽样. 分布 9
解：由于X1, X2, X3相互独立，且Xi ~N(0,9), 有
Xi ~N(0,1),i1,2,3 3
则Xi2 ~2(1)， i1,2,3
9
由可加性得
X2 1
X22
X32
~（ 2 3） .
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3. χ 2 分布的分位点
定（义分1位.设 点）2定~义2(：k)对,对 于X于 和给定给 的定 (0(0 的 1)1数 满 ,), 足
O
x
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例3. 设总 X和 Y相 体互 ， 且 独都 立 N(0 服 ,9),从
X 1,X 2, ,X 9 和 Y 1,Y 2, ,Y 9 来自 X ,Y 的 总， 样 体本
求统计 T的 量 分， 其 布中
9
T Xi i1
9
Yi2
i1
解: 由X 1于 ,X 2, ,X 9相互 ， 服 独 N (从 0 ,9 立 ),
n ,X1 ni n1Xi近 ~N 似 (,n2)
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但是Gosset在试验中遇到的样本容量仅有5-6个,
在其中他发现实际数据的分布情况与正态分布
有着较大的差异。 y
正态分布
Gosset样本曲线
O
x
于是Gosset怀疑存在一个不属于正态的其他分布，
通过学习终于得到了新的概率密度曲线，在1908年
以“Student”笔名发表了此项结果，后人称此分布
为“t分布”或“学生氏分
布”.
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1.t 分布的定义
定理2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 且
X~N (0,1),Y~2(k),
则随机变量
t X Y/k
服从自由度为k 的t 分布, 又称学生氏分布, 记为
记作
t ~ t(k).
第四节 χ 2分布 t分布 F分布
基本内容： 三大抽样分布：χ 2分布、t分布、F分布及其分位点.
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一、χ 2分布
1.定义 定理1.设 X1,X2,,Xk 相互独立, 都服从标准
正态分布N(0,1), 则随机变量 χ2X 1 2X 2 2 X k 2
服从自由k度 的为2 分布 , 记作 2 ~2(k).
且将其X 标 k准 近 ~似 N化 (0,1). 2k
分析： 由2分布的定义知，
XX 1 2X 2 2 X k 2
其中 X2,X2,,X2独立同分布， 2(均 1), 服从
1
2
k
由中心极限定理可得结论.
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例1. 设正 X ~ 态 N (0 ,9 )总 X ,1 ,X 2,体 X 3 是 X 的， 样
ft (x)
1
t(k)t1(k)O t (k )
x
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(P286)
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t 0.20 (9)
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例4.试求 t0.00(52),t0.45(3)0. 解: 经查表3(P286)得
t0.00(52)9.92,
t0.45(30)0.12.7
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三、F分布
1.定义
定理3. 设随机变量X与Y相互独立, 且