北航电磁场与电磁波课程习题答案

Φ-∇=E ，所以，若已知Φ则可求E

。该结论是否正确若已知V 100)0,0,0(=Φ，

能否求出)0,0,0(E

解：该结论是错误的 ，因为电场E

反映了电位函数在空间的变化情况，故只有知道电位在空间的变化函数)(r

Φ时，才可求出电场E 。而只知道某点处的电位值，是无法

求出电位在空间的变化情况的。正如我们在数学中学到的，如果求函数在某点的导数值，应先对该函数求导，后将坐标值代入。即：

)]([][)0,0,0()0,0,0()

0,0,0(Φ-∇≠Φ-∇=E

由Φ-∇=E

，能否根据E

分布求出Φ分布为什么

解：根据E

分布，求Φ分布时，还应注意电位参考点的问题。由于静电场是保守场，所以，由Φ-∇=E ，可求出某两点21P P 间的电位差为：

⎰

⋅-

Φ=Φ2

1

22P P P P S d E

若选择1P 点为零电位参考点，即：01=ΦP ，则空间任一点相对于1P 点的电位分布为

⎰

⋅-=Φ2

2

2P P P S d E

21

)(s

r r =Φ ，求)(r E

解：

)/(ˆ2)1(ˆˆ)()(33M V i r r Z i r i r r E s s

s r s

s r s r =⋅--=∂Φ∂-=Φ∇-

XOY 面上有三个点电荷，,1)0,(,2),0(1)0,(321c a q c a q c

a q ===-求：

)(r E

解：根据点电荷电位公式和场的叠加原理

,1

41

11s r q ⋅

=

Φπε 21222])[(1z y a x r s +++= ,142

022s r q ⋅=Φπε 2

1222])([2z a y x r s +-+=

,143

033s r q ⋅=Φπε 2

1222])[(3z y a x r s ++-=

321ˆΦ+Φ+Φ=Φz ∴ z z E ˆˆΦ-∇=

)/()](ˆ)(ˆ)(ˆ[413

213213213

333333330

ˆM V r z r z r z i r y r a y r y i r a x r x r a x i

E s s s z s s s y s s s x z ++++-++-+++=

∴πε

为何要引入参考电位若不引入参考电位会有什么后果

答：引入参考电位就是为了在系统内引入一个最基本的电位标准点，整个系统内任何一点的电位都是以此为基准的，是相对于此点的电位。如果没有这样一个参考电位，则整个系统无标准可循，电位分布没有唯一解。

对于图4-6所示的线电荷环，在下列两种情况下，求其轴线上的电位和电场分布：

（1） 0λλ=（常数） )/(M C (2) Φ=cos 0λλ )/(M C

解：系统示意图如图4-7-1所示。这是一个已知空间电荷分布，求电位与电场的问题。由于电荷是分布在空间有限域内，所以，我们可以用 ⎰

=

ΦCQ

Q QP

Q dS r r )

(410

λπε

来求解。首先看第一种情况 （1）0λλ= )/(M C 可求得

)

(2z

4412

2

00

20

2

2

V Z

R R d R R dS r C

QP

+=

+=

=Φ⎰

⎰

ελϕ

λπελπελ

下面我们来求电场，我们已经讲过，用电位求电场时必须在知道电位的空间表达式时，

由Φ-∇=E 求得的电场才是正确的。下面我们分析一下，此时，能否用Φ-∇=E

由

Φ求E 。

由对称性，我们可以知道，0λλ= 的圆环在z 轴上产生的电场只有z 方向上的分量。而上面求得的Φ又正好给出了电位在z 轴上随z 的全部变化关系，故可使用Φ

-∇=E

通过Φ求得z 轴上的电场E

来。

即：)/(2ˆ2

2

00M V z

R z R i

E z +=Φ-∇=ελ

∴

0λλ= 时，z 轴上的电位和电场分布为 V)(22

2

00

z

R R +=Φελ

V/M)()

2(ˆ3

2

2

00z R z R i

E z +=ελ

下面再来看第二种情况。 （2） )/(cos 0M C ϕλλ=

不难求得

V )(0cos 420

2

20

0=+=

Φ⎰

π

ϕϕ

πελd z

R R

这个结果是不难理解的。由于此时，园环上的电荷分布具有相对于yoz 平面的奇对称性，所以，整个yoz 平面都是零等位面，显然，z 轴的电位也应是等于零的。那么，z 轴上的电场呢只需简单分析一下，便会知道，在0x 的半空间有正电荷分布，显然，0=x 处电场应是指向负x 轴负方向的，而前面求得的Φ只反映了在z 轴方向电位保持常数。并未给出电位随x 变化的关系，因此，

不能再用Φ-∇=E 来由Φ求E 了，那么，如何求z 轴上的电场E

呢方法有两种，一

种是求出空间任一点出的位函数Φ，对Φ求负梯度得到E

，进而得到z 轴上的电位和

电场。另一种方法是，直接求带电园环在z 轴上产生的电场。有兴趣的读者，可以练习用第一种方法求解，下面我们采用第二种方法求解。首先在带电圆环1P 点处取一微元dS,则其在z 轴上产生的电场在z 处为：

)/(4cos ˆ4ˆ2

020M V r Rd i r ds i

E d Pz Pz πεϕϕλπελξ==

其中，Pz i ˆ为由1

P 点指向z 点的单位矢径。r 为P 点到z 点的距离。