第3章 被控对象特性与数学模型

干扰变量 工业过程的数学模型可分为动态 数学模型和静态数学模型。动态数学 模型是表示输出变量与输入变量之间 被控变量 随时间而变化的动态关系的数学描述 控制变量 。动态数学模型在对动态过程的分析 和控制中起着举足轻重的作用，可用 图3-1 对象的输入输出量示意图 于各类自动控制系统的设计和分析， 以及工艺设计和操作条件的分析和确 定。静态数学模型是描述输出变量与 输入变量之间不随时间而变化的数学 关系。
在建立对象数学模型（建模）时，一般将被控变量 看作对象的输出量，也叫输出变量，而将干扰作用和控 制作用看作对象的输入量，也叫输入变量。干扰作用和 控制作用都是引起被控变量变化的因素，从控制的角度 看，输入变量就是操纵变量（控制变量）和扰动变量， 输出变量就是被控变量，如图3-1所示。由对象的输入 变量至输出变量的信号联系称为通道，控制作用至被控 变量的信号联系称为控制通道；干扰作用至被控变量的 信号联系称为干扰通道。在研究对象特性时，应预先指 明对象的输入量是什么，输出量是什么，因为对于同一 个对象，不同通道的特性可能是不同的。
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量形式， 称为非参量模型；另一类是参量形式，称为参量模型。 1. 非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非 参量模型。
非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通 过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定 性的特征。但是，由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直 接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难，必要时 ，可以对它们进行一定的数学处理来得到参量模型的形式。
3.2 对象数学模型的建立
在工业控制过程中，建立被控对象的数学模型的目的 主要有以下几种。 （1）进行工业过程优化操作。 （2）控制系统方案的设计和仿真研究。 （3）控制系统的调试和控制器参数的整定。 （4）工业过程的故障检测与诊断。 （5）制订大型设备启动和停车操作方案。 （6）设计工业过程操作人员的培训系统。 （7）作为模型预测控制等先进控制方法的数学模型。
Q1
h
Q2
A
图3-4 积分对象示意图
A
式中 A—贮槽横截面积。 对式（3-16）积分，可得
dh Q1 dt
（3-16）
h
1 Q1dt A
(3-17)
这说明图3-4所示贮槽具有积分特性。
3.2.2 实验法建模
所谓对象特性的实验测取法，就是在所要研究的对象 上，加上一个人为的输入作用（输入量），然后，用仪表测 取并记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规 律，得到一系列实验数据（或曲线）。这些数据或曲线就可 以用来表示对象的特性。这种应用对象的输入输出的实测数 据来决定其模型的结构和参数，通常称为系统辨识。它的主 要特点就把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部特性 上来测试和描述它的动态特性，因此不需要深入了解其内部 机理，特别是对于一些复杂的对象，实验建模比机理建模要 简单和省力。GC
图3-3 直接蒸汽加热器示意图
均作为干扰变量。
假设加热器内温度是均匀的；加热器的散热量很小，可 Tc 忽略不计；蒸汽喷管和加热器的热容很小，忽略不计；Gc、 变化不大，近似为常数。 作为一个加热过程，遵循能量守恒定律即 单位时间内进入加热器的能量=单位时间带出加热器的能量+ 单位时间加热器内能量的变化量 可以分为如下两种情况： （1）当加热器内单位时间能量变化为零时，即所谓静态情况下， 这时 Ta 保持不变，有下式：
（3-9）
ca —液体比热容，近似为常数，下面统一用 c 表示。 cc、
由于热流体的流量 Ga Gc W ，一般所用W 较小，可近似为 Ga Gc ，由此可得 H Ta Tc W （3-11） Gc
a
该式描述了在静态情况下被控对象加热器的工艺参数 Ta、 Tc、 W 、Ga 之间的关系，它是系统的静态（稳态）数学模型。 （2）一般从控制角度来说，静态是相对的，我们更多的是 要研究系统的动态数学模型，即加热器内单位时间能量变化 量不为零，有下式：
第3章 被控对象特性与数学模型
3.1 石油加工对象的特点及其描述方法 3.2 对象数学模型的建立
3.3 描述对象特性的参数
3.1 石油加工对象的特点及其描述方法
在化工自动化中，常见的对象有各类换热器、精馏 塔、流体输送设备和化学反应器等，此外，在一些辅助 系统中，气源、热源及动力设备（如空压机、辅助锅炉 、电动机等）也可能是需要控制的对象。本章着重研究 连续生产过程中各种对象的特性，因此有时也称研究过 程的特性。 所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出 对象输入量与输出量之间的关系，这种对象特性的数学 描述就称为对象的数学模型。
dU Qc Qs Qa1 dt
(3-12)
式中
U —加热器中聚集的热量，U VcTa； V —加热器的有效容积；
—流体的密度；
因为Qc Gc cTc , Qs WH , Qa GacTa ，代入式（3-12）有
T
Gc c
Vc 一常数，用C表示，即 dU dT dT Vc a C a dt dt dt
阻力系数 R2 成反比，用式子表示为
Q2 h R2
(3-5)
将此关系式代入式（3-4），移项整理后可得
dh AR2 h R2Q1 dt 令T AR2， K R2 代入式（3-6），便有
(3-6)
T
dh h KQ1 dt
(3-7)
这就是用来描述简单的水槽对象特性的微分方程式。 它是一阶常系数微分方程式，式中T称时间常数，K称放大 系数。
Q2 、h都代表他们偏离初始 推导方程的过程中，假定Q1、
平衡状态的变化值。
如果在很短一段时间dt内，由于 Q1 不等于 Q2 ，引起液位 变化了dh，此时，流入和流出水槽的水量之差为
Q1 Q2 A dh dt
（3-4）
如果考虑变化量很微小（由于在自动控制系统中，各个 变量都是在它们的额定值附近做微小的波动，因此做这样的 假定是允许的），可以近似认为 Q2 与h成正比，与出水阀的
Q1 C h t0 t
t0
t
图3-5 水槽的阶跃响曲线
2. 矩形脉冲法 当对象处于稳定工况下，在时间t0突然加一阶跃干扰，幅值 为C，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随时间的 变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的干扰称 x 为矩形脉冲干扰。如图3-6所示 用矩形脉冲干扰来测取对象特性时， C 由于加在对象上的干扰，经过一段时间后 t1 t 即被除去，因此干扰的幅值可取得比较大 y t0 ，以提高实验精度，对象的输出量又不至 于长时间地偏离给定值，因而对正常生产 影响较小。目前，这种方法也是测取对象 t0 t 动态特性的常用方法之一。 图3-6 矩形脉冲特性曲线
3.2.1 机理分析法建模
机理建模是根据对象或生产过程的内部机理，列写出 各种有关的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动 量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方 程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过 程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。 机理法建模的具体步骤如下： （1）根据实际情况确定系统的输入、输出以及中间变量 ，搞清各变量之间的关系； （2）做出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使 问题简化；
Qc Qs Qa Q1
(3-8)
式中
Qc —单位时间冷流体带入的热量； Qs —单位时间蒸汽带入的热量；
Qa —单位时间热流体带出的热量；
Q1 —单位时间加热器散失的热量。
根据假设，可令 Q1 0 ，于是有：
Qc Qs Qa
可以得到系统输入输出变量在稳态时的关系式： GcccTc WH GacaTa 式中 H —蒸汽热焓，为常数；
对象特性的实验测取法有很多种，这些方法往往是以所加 输入形式的不同来区分的 。 1. 阶跃响应曲线法 所谓测取对象的阶跃响应曲线，就是用实验的方法测取对 象在阶跃输入作用下，输出量y随时间的变化规律。 例如要测取图3-2所示简单水槽的动态特性，这时，表征 水槽工作状况的物理量是液位h，我们要测取输入流量Q1改变 时，输出h的反应曲线。假定在时间t0之前，对象处于稳定状况 ，即输入流量Q1等于输出流量Q2，液位h维持不变。在t0时， 突然开大进水阀，然后保持不变。Q1改变的幅度可以用流量 仪表测得，假定为C。这是若用液位仪表测得h随时间的变化 规律，便是简单水槽的反应曲线，如图3-5所示。
2. 参量模型 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。 对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微分方 程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。 对于线性的集中参数对象，通常可用常系数线性微分方 程来描述，如果以 x( t ) 表示输入量，y( t ) 表示输出量，则对象 特性可用下列微分方程式来描述
2）直接蒸汽加热器 图3-3所示为直接蒸汽加热器，它是 将温度为 Tc 的冷流体用 蒸汽直接加热，
Ta 的热流体的简单换热对象。 以获得温度为
Ta
热流体
其中冷流体的流量为 Gc ，蒸汽流量为W。
确定输出变量（被控变量）为Ta ; 输入 变量为蒸汽流量W 、冷流体的流量 Gc、 冷流体温度Tc、环境温度等，它们的变化 都会引起 Ta 的变化。 选择W 作为操纵 变量，其余量如Gc、T 、环境温度等
dTa Gc cTc WH Ga cTa dt
(3-13)
（3-14）
令 1 R, T RC, K HR ，则有
dTa T Ta Tc KW dt
（3-15）
令 Tc 0 ，得控制通道的数学模型；
W=0，得调节通道的数学模型。
2. 积分对象的数学模型 当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系 时，称为积分对象。 图3-4所示的液体贮槽，就具 有积分特性。因为贮槽中的液体 由正位移泵抽出，因而从贮槽中 流出的液体流量Q2将是常数，它 的变化量为零。因此，液位h的变 化就只与流入量的变化有关，如 果以h、Q1分别表示液位和流入 量的变化量，那么就有
h A
2
Q2
图3-2 水槽对象示意图
水槽就是被控对象，液位h就是被控变量。如果阀门 2的开度保持不变，而阀门1的开度变化是引起液位变化 的干扰因素，那么，这里所指的对象特性，就是指当阀 门1的开度变化时，液位h是如何变化的。在这种情况下 ，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对象的输出量是 液位h。下面推导表征h与Q1之间的关系的数学表达式。 以图3-2的水槽对象为例，截面积为A的水槽，当流入 水槽的流量 Q1 等于流出水槽的流量 Q2时，系统处于平衡 状态,即静态，这时液位h保持不变。 在用微分方程式来描述对象特性时，往往着眼于 一些量的变化，而不注重这些量的初始值，所以下面在
an y( n )( t ) an 1 y( n 1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) x( t )
（3-1）
一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性 （通常称一阶对象），则可表示为
a1 y( t ) a0 y( t ) x( t )
（3-2）
或表示成
Ty( t ) y( t ) Kx( t )
（3-3）
式中
T
K
a1 a0 ，称为时间常数；
1 a0 ，称为放大系数。
以上方程式中的系数以及T、K等都可以认为是相应的参量 模型中的参量，他们与对象的特性有关，一般需要通过对象的 内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。
总的来说，阶跃响应曲线法是一种比 较简单的动态特性测试方法。 这种方法也存在一些缺点。主要是对 象在阶跃信号作用下，从不稳定到稳定一 般所需时间较长，在这样长的时间内，对 象不可避免要受到许多其他干扰因素的影 响，因而测试精度受到限制。为了提高精 度，就必须加大所施加的输入作用幅值， 可是这样做就意味着对正常生产的影响增 加，工艺上往往不允许。一般所加输入作 用的大小是取额定值的5%～10%。因此， 阶跃响应曲线法是一种简易但精度较差的 对象特性测试方法。
（ 3）根据支配运动特性的基本规律，列出各部分的原始 方程； （4）消去中间变量，写出只有输入变量和输出变量的微 分方程； （5）对微分方程进行标准化处理。 1. 一阶对象的数学模型 下面通过一些简单的例子来讨论一阶对象及积分对象 机理建模的方法。 1 1）水槽对象 Q1 图3-2是一个水槽，水经过阀门1不断地 流入水槽，水槽内的水又通过阀门2不 断流出。工艺上要求水槽的液位h保持 一定数值。